选择性必修第二册第五章第2课时 函数的最大（小）值

第2课时函数的最大（小）值

【学习目标】1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会求某闭区间上函数

的最值.

知识梳理-----------梳-理-教-材夯、-实-基-础-

知识点一函数最值的定义

1.一般地，如果在区间［a,1上函数y="）的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大

值和最小值.

2.对于函数人x）,给定区间/,若对任意存在x（）e/,使得*x）N/Uo）,则称人无。）为函数

人功在区间/上的最小值；若对任意xG/,存在XoG/,使得则称兀⑹为函数式彳）

在区间/上的最大值.

思考如图所示，观察区间［a,切上函数y=/（尤）的图象，找出函数/（X）在区间［a,加上的最大

值、最小值.若将区间改为（a,b）,y（尤）在（a,b）上还有最值吗？

答案函数y=/U）在区间［a,b］上的最大值是火。），最小值是兀⑸.

若区间改为（a,b）,则兀0有最小值加3），无最大值.

知识点二求函数的最大值与最小值的步骤

函数五犬）在区间［a,切上连续，在区间（a,b）内可导，求"v）在［a,切上的最大值与最小值的步

骤如下：

⑴求函数式龙）在区间3,6）上的极值;

（2）将函数"）的各极值与端点处的函数值*a）,*b）比较,其中最大的一个是最大值，最小的

一个是最小值.

-思考辨析判断正误

1.函数的最大值不一定是函数的极大值.（V）

2.函数式x）在区间［a,句上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.（X）

3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.（X）

4.函数於）在区间［a,加上连续，则於）在区间［a,句上一定有最值，但不一定有极值.（V）

题型探究探究重点提升素养

----------------------------------------1------------

一、不含参函数的最值问题

例1求下列函数的最值：

（1求X）=2X3-12X,%e[-2,3];

（2加x）=,x+sinx,xG[0,2兀].

解⑴因为於）=2?—12x,xd[—2,3],

所以]（尤）=6?—12

=6（x+g（x—也），

令/（无）=0,

解得x=—y[2或

当x变化时，/（x）,兀行的变化情况如表所示.

X-2（—2,一也）-小（一也，也）（也，3）3

/（X）+0一0+

於）8/8^2\-8^2/18

因为八一2）=8,©=18,

心⑵=—8也，犬—也）=8/，

所以当x=也时，

八x）取得最小值一8加；

当x=3时，

火x）取得最大值18.

（2）f（x）=T+cosx,令/（%）=0,

又[0,2K],

解得x=，或X=粤.

当x变化时，/（x）,«r）的变化情况如表所示.

2兀4兀（专,2兀）

X0（。*~3停,果~32兀

f«+0—0+

匹近2兀_仍

危）0//71

3十232

因为八0)=0,fi.27i)=Ti,/(J)=f+21

C2兀—吏

八3厂7一2-

所以当尤=0时,y(x)有最小值八0)=0；

当x=2n时，兀0有最大值大2%)=兀.

反思感悟求函数最值的步骤

(1)求函数的定义域.

(2)求/(尤)，解方程(x)=0.

(3)列出关于x,»,/(x)的变化表.

(4)求极值、端点处的函数值，确定最值.

注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.

跟踪训练1求下列函数的最值：

x—1

(2)f(x)=x1—x—lnx,x£[l,3].

x—1

解(1)函数加)=丁的定义域为R.

,l-eA-eA(x-l)2—尤

于仪)=由

当/(x)=0时，x=2,

当X变化时，f(x),«x)的变化情况如表所示.

(—8,2)2(2,十8)

f(X)+0一

1

fix)/\

・・・兀1)在(一8,2)上单调递增，

在(2,+8)上单调递减，

・\/(X)无最小值，且当％=2时，7(%)max=/(2)=5.

12*一x一1(2x+l)(x—1)

(2)r(x)=2x-l--=-~~■)

Vxe［l,3］,

(x)20在［1,3］上恒成立.

.•.於)在口,3］上单调递增,

当X=1时，Ax)min=y(l)=O,

当x=3时，«x)max=/(3)=6—In3.

二、含参函数的最值问题

例2已知函数/(幻=工3—加一〃2尤求函数人%)在［0,+8)上的最小值.

解f(x)=3^—lax—a2=(3x+d)(x—d),

令f(x)=0,得％1=—*X2=a.

①当。>0时，犬处在［0,〃)上单调递减，在［〃，+8)上单调递增.所以人工痂!!=/(〃)=—诡

②当。=0时，/(x)=3f10,犬的在［0,+8)上单调递增，所以人的而口二八。)：。.

③当a<0时，形)在0,一即上单调递减，

在［—争+8)上单调递增.

所以/U)min=/(一5)='〃.

综上所述，当a>0时，八£)的最小值为一/；

当。=0时，火x)的最小值为0；

当a<0时，危)的最小值为最

延伸探究

当a>0时，求函数人的二X3一加一“2%在［―〃,2〃］上的最值.

解f(%)=(3X+Q)(X—〃)(。>0),

令/(x)=0,得为=—

所以小)在［一。，一身上单调递增，在(一/上单调递减，在口,2甸上单调递增.

因为八一4)=—/,/(一§=自43,人4)=—/,

人20)=2/.

所以黄尤)max=f(2a)=2cz3.

汽劝面口二八一。)=黄。)=-/.

反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况

(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.

(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、

小于。三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取

得；若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.

跟踪训练2已知adR,函数求五功在区间［0,2］上的最大值.

解/(%)=——2ax.

令，(尤)=0,解得尤1=0,X2=2a.

令g(a)=/(尤)max,

①当2aW0,即aWO时，

«r)在［0,2］上单调递增，

8

从而g(a)=Xx)max=A2)=g-4%

②当2a，2,即a2l时，

/U)在［0,2］上单调递减，

从而g(a)=/(X)max=A0)=0.

③当0<2a<2,即0<打1时，

兀v)在［0,20上单调递减，在［2凡2］上单调递增,

82

4〃，0<〃Wg,

2

{0,q<a<l,

8//

4a,aWg,

综上所述，g(a)=

八2

0,O>y

三、由函数的最值求参数问题

例3已知函数人尤)="3—6加+6,尤昼［-1,2］的最大值为3,最小值为一29,求小。的值.

解由题设知aWO,否则人x)=6为常数函数，与题设矛盾.

求导得(x)=3ax2—12<7x=3ax(x—4),

令,(尤)=0，得尤1=0,尤2=4(舍去).

①当a>0,且当无变化时，

f(x),Kx)的变化情况如下表：

X-1(-1,0)0(0,2)2

f'(x)+0一

於)—7a+b/b\—16。+/?

由表可知，当x=0时，兀v)取得极大值b,也就是函数在［-1,2］上的最大值，；.{0)=6=3.

又/(—1)=—7a+3,fi2)——16o+3</(—1),

.\/(2)=-16。+3=—29,解得a=2.

②当a<0时，同理可得，当x=0时，«r)取得极小值b,也就是函数在［—1,2］上的最小值,

.•30)=6=-29.

又八―1)=一7。一29,八2)=-16。一294—1),

.*.X2)=-16a-29=3,解得”=一2.

综上可得，a—2,6=3或a=—2,b——29.

反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般

先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)

解决问题.

跟踪训练3已知函数/1(月=必+3/一9x+l在区间伙,2]上的最大值是28,求人的取值范围.

解h(x)=x3+Sx2—9x+1,

：.h'(x)=3^+6x~9.

令/?'(x)=0,得xi=-3,无2=1,

当X变化时，h'(x),/7(尤)的变化情况如下表：

X(―00,—3)-3(—3,1)1(1,+°°)

h'(%)+0一0+

h(x)/28\-4/

...当x=—3时，/?(x)取极大值28；

当x=l时，〃(x)取极小值一4.

而下(2)=3<〃(-3)=28,

如果以龙)在区间氏2]上的最大值为28,则kW—3.

所以上的取值范围为(一8,-3].

四、导数在解决实际问题中的应用

例4请你设计一个包装盒，如图所示，四边形48CD是边长为60cm的正方形硬纸片，切

去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,。四个点重

合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E,尸在边A8上，是被切去的一

个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AE=F8=x(cin).

某厂商要求包装盒的容积Men?)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长

的比值.

角翠,/V(x)=(gy义(60—2x)X坐

=由『X(60-2x)=-2g3+60y[2^(Q<x<30).

Vr(x)=-6y[2^+12Mx=-6y/2x(x~20).

令V'(尤)=0,得x=0(舍去)或尤=20.

:当0<x<20时，V(尤)>0；

当20a<30时，V(x)<0.

在x=20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.

...底面边长为也尤=2(h/^(cm),

高为也(30—x)=10\/^(cm),

即高与底面边长的比值为去

反思感悟解决最优问题应从以下几个方面入手

(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.

(2)在实际应用问题中，若函数人x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.

跟踪训练4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热

层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑

物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=w上

(OWxWlO),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设穴x)为隔热层建造费用与20年

的能源消耗费用之和.

⑴求k的值及/U)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用*r)达到最小，并求最小值.

解(1)由题设可知，隔热层厚度为xcm,

每年能源消耗费用为。(%)=力不，再由C(0)=8,

40

得％=40,因此C(X)=3%+5,

而建造费用为Ci(x)=6x

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

40

危)=20C(x)+Ci(x)=20X+6x

(OWxW10).

2400

⑵f(x)=6_0九+5y，令，(%)=0,

即鬲240等0=6.解得羽=5,Q=—年25(舍去).

当0<x<5时，f(x)<0,当5<x<10时，f(x)>0,

故x=5是的最小值点，对应的最小值为

15)=6义5+由不=70.

即当隔热层修建5cm厚时，总费用火x）达到最小，且最小值为70万元.

随堂演练基础巩固学以致用

--------1--------

1.下列结论正确的是（）

A.若五功在团，切上有极大值，则极大值一定是团，句上的最大值

B.若/（x）在m，句上有极小值，则极小值一定是［m句上的最小值

C.若犬尤）在出，田上有极大值，则极小值一定是在尤=a和尤=b处取得

D.若/U）在团，切上连续，则八尤）在他，切上存在最大值和最小值

答案D

解析函数人x）在团，切上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点

处取得，而在［a,切上一定存在最大值和最小值.

兀

2.函数〉=%—sinx,兀的最大值是（）

兀

A.71—1B.2-1C.7iD.K+1

答案C

兀

解析y'=1—cosX,当71时，y'>0,

则函数在区间自7T，可上单调递增，

所以y的最大值为ymax=n—sin兀=兀.

3.函数兀x）=x3—3元（|x|<l）（）

A.有最值，但无极值

B.有最值，也有极值

C.既无最值，也无极值

D.无最值，但有极值

答案C

解析/（尤）=3/—3=3（尤+1）（无一1）,

当xe（—1,1）时，/（X）<O,

所以/（x）在（一1,1）上单调递减，

无最大值和最小值，也无极值.

4.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm,要使其体积最大，则高应为（）

l（h/30„16^3「近

AA.3cmB.3cmC.3cmD.3cm

答案B

解析设圆锥的高为%cm,0</z<20,

V圆锥=$(2()2—/^)*%：；；^^。。一/?2)%

.*.V,=1^(400-3/z2),令V,=0得

当//e［o,2狗时，V>0,当〃e仔手，20)时，V'<0,

故当〃=呼时，体积最大.

5.己知函数人无)=2%3—6%2+。在［-2,2］上有最小值一37,则。的值为，式功在［-2,2］

上的最大值为.

答案33

解析f(x)=6f—12x=6x(x—2).

由/(%)=0,得％=。或x=2.

当x变化时，f(x),兀i)的变化情况如下表：

X-2(-2,0)0(0,2)2

f(X)+0一0

於)—40+。/极大值aX—8+〃

所以当X=—2时，危)min=—40+〃=—37,所以4=3.

所以当x=0时，次X)取得最大值3.

■课堂小结

1.知识清单：

(1)函数最值的定义.

(2)求函数最值的步骤.

(3)函数最值的应用.

2.方法归纳：方程思想、分类讨论.

3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系.

课时对点练注重双基强化落实

-----------------------\--------

g基础巩固

1.设M,,〃分别是函数五尤)在团，切上的最大值和最小值，若M=m,则/'(x)()

A.等于0B.小于0C.等于1D.不确定

答案A

解析因为M=»7,所以兀r)为常数函数，故/'(尤)=0,故选A.

2.已知函数危)，g(x)均为［a,b］上的可导函数，在［a,b］上连续且(x)<g'(尤)，则«x)—g(x)

的最大值为()

A.fl,a)—g(a)B.ftp)—g(b)

C.g(b)D.fib)~g(a)

答案A

解析令尸(x)=/i»—g(无)，：/(无)<g'(x),

：.F'(x)=f(x)-g'(x)<0,

...F(x)在［a,切上单调递减，

网尤)max=F(a)=/(a)—g(a).

3.函数八x)=V—3尤+1在区间［—3,0］上的最大值和最小值分别是()

A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-19

答案C

解析f(X)=3X2-3=3(X-1)(X+1),

令f(x)=0,得*=±1.

又八-3)=—27+9+1=—17,式0)=1,

X-l)=-l+3+l=3,lg［-3,0］.

所以函数人x)的最大值为3,最小值为一17.

4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为尸元，销量为

Q，销量。(单位：件)与零售价尸(单位：元)有如下关系：。=8300—170P—/,则最大毛利

润为(毛利润=销售收入一进货支出)()

A.30元B.60元C.28000元D.23000元

答案D

解析设毛利润为〃P).

则L(P)=PQ-20Q

=(8300-170P-P2)(P-20)

=-P3-150P2+ll700P-166000,

所以L'(尸)=一3尸一300P+11700.

令〃(P)=0,解得P=30或尸=一130(舍去).

此时，£(30)=23000.

根据实际问题的意义知，〃30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元.

5.(多选)函数八的=炉-3ax—。在(0,1)内有最小值，则a的值可以为()

A.0B.gC.；D.1

答案BC

解析(尤)=3/—3a,

且/(%)=0有解，.'.a—x2.

又W(O,1),.,.0<a<l.

6.若函数/U)=V—3x在区间［0,3］上的最大值、最小值分别为机，"，则机=,n=

答案18-2

解析/(尤)=3/—3,

令/'(尤)=0,得尤=1或x=—1(舍去).

又因为尤e［0,l)时，f'(x)<0,尤e(l,3］时，f'(x)>0,

所以当x=l时，40取得极小值/U)=—2.

又共0)=0,八3)=18,所以m=18,n=~2.

7.设04<兀，则函数尸-$1：：的最小值是.

答案小

,/siR—(2—cosx)cosx1—2cosx

解析>=sii?x=sin2x,

因为0<X<7l,

TT

所以当铲XV兀时，y'>0；

TT

当0<x<Q时，y'<0.

所以当X=即寸，>min=3.

3

8.已知函数人%)=丁一呼后+仇〃，/?为实数，且〃>1)在区间上的最大值为1,最小值

为一2,贝!J。一〃=,兀0的解析式为•

答案I危)=好一2f+l

解析/(%)=3，-3"=3x(x—〃)，

令/(%)=。得为=0,X2=a,

当x£［—1,0］时，f(x)^0,危)单调递增,

当犬£(0,1］时，f(x)<0,加)单调递减,

所以7(X)max=X0)=8=1,

33

因为月―1)=一呼，汽1)=2—呼，

3

所以危)min=/(—l)=一于，

s34

所以一万4=—2,即〃=w，

所以a—Z?=1-1=|,

所以危)=炉一22+1.

9.求下列函数的最值：

「兀

(l)/(x)=sinx+cosx,%£一亍

(2求x)=ln(l+x)—*,%e[0,2].

解(1^(x)=cosx—sinx

令/(x)=0,即tanx=l,

所以%=£.

又因为了。=卷

所以当XG•寸，函数的最大值为70)=也，

最小值为了(一3)=一L

⑵f(x)=R^一斗

令长一5”

化简为x?+x—2=0,

解得为=—2(舍去)，尤2=1.

当0Wx<l时，/(x)>0,黄尤)单调递增；

当14W2时，/(x)<0,八尤)单调递减，

所以7U)=ln2—(为函数人x)的极大值.

又共0)=0,A2)=ln3-l>0,4)次2).

所以犬0)=0为函数兀r)=ln(l+尤)一*在［0⑵上的最小值,

；U)=ln2-｝为函数在［0,2］上的最大值.

10.已知。为常数，求函数兀0=—x3+3ax(0WxWl)的最大值.

解f'(X)——3^+30——3CX2—tz).

若aWO,则/(x)W0,函数八x)单调递减，

所以当x=0时，处0有最大值犬0)=0.

若a>0,则令f(x)=0,解得

因为x£[0,l],

所以只考虑x=6的情况.

⑴若即则当时，段)有最大值代而)=26后.(如下表所示)

X0(0,y[a)y[a(也，1)1

fw+0—

f(x)0/2a\[a3a—1

(2)若即贝[当04W1时，/(尤)》0,函数於)在[0,1]上单调递增，当x=l时,

人x)有最大值/(l)=3a—1.

综上可知，当aWO,x=0时，兀0有最大值0,

当0<ci<l,x=W时，7(x)有最大值2ay^i,

当a2l,尤=1时，犬尤)有最大值3。一1.

g综合运用

11.已知函数/(x)=ex—x+a,若/(x)>0恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(-1,+°°)B.(—8,-1)

C.[-1,+8)D.(-8,-1]

答案A

解析/(尤)=e，—1,令/(尤)>0,解得无>0,令(x)<0,解得x<0,

故於)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，故危)而n=/(O)=l+a.

若兀v)>0恒成立，贝I1+。>0,解得。>—1,故选A.

12.下列关于函数用0=(2尤-f)e*的判断正确的是()

①/(x)>0的解集是｛x[0<r<2｝；

②A—也)是极小值，式也)是极大值；

③/(X)没有最小值，也没有最大值.

A.①③B.①②③C.②D.①②

答案D

解析由兀。>0得0<%<2,故①正确.

f'

令f(X)=0,得

当x<一也或了八尼时，f(x)<0,

当一啦<x〈血时，f(x)>0,

...当X=—陋时，/(X)取得极小值，

当X=立时，八X)取得极大值，故②正确.

当X—-8时，式x)<0,当无一+8时，式无)<0,

且心⑵>0，

结合函数的单调性可知，函数八X)有最大值无最小值，

故③不正确.

AY__

13.函数兀¥)=f+](%£[-2,2])的最大值是,最小值是

答案2-2

解析f(X)J(乙)2

4(1-.r2)4(l+x)(l-x)

=(f+1)2=~(f+1)2-，

令/'(尤)=0,得Xl=-1,X2=l.

QQ

又八一2)=—予A-l)=-2,刈)=2,32)=/

,♦/(x)niax—2，y{x}min——2.

14.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥

(如图所示).当帐篷的顶点0到底面中心01的距离为m时，帐篷的