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经济数学Economicmathematics目录函 数

1极限与连续2导数与微分3导数的应用4积分学及其应用5随机变量及其数字特征数学软件Mathematica应用随机事件与概率线性代数初步89目录76第1章函数学习目标理解函数的概念，熟练掌握函数定义域和值域的求法，了解分段函数的特点。掌握函数的基本性质和表示方法。熟练掌握六类基本初等函数的概念、表达式、图形和性质．了解复合函数、初等函数的概念和性质，掌握复合函数的分解方法。了解常用经济函数的概念及相关运算，会建立简单的函数关系式。1.1函数的概念1.1.1函数的概念引例1

自由落体运动设物体下落的时间为t，下落距离为s，假定开始下落的时刻t＝0，那么s与t之间的依赖关系由给出，其中g为重力加速度．在这个关系中，距离s随着时间t的变化而变化．其特点是，当下落的时间t取定一个值时，对应的距离s的值也就确定了．引例2

医师用药医师给儿童用药和成年人不一样，用药量可由儿童的体重来确定．要计算1～12岁的儿童的体重可用经验公式y＝2x＋7，其中x代表年龄（岁），y代表体重（公斤），年龄确定了，相应的体重也就确定了．函数的定义1.1函数的概念定义1

设x，y是同一变化过程中的两个变量，若当x取其变化范围内任一值时，按照某种对应规则，总能唯一确定变量y的一个值与之对应，则称y是x的函数，记作y＝f（x）x叫做自变量，y叫做因变量．X的取值范围叫做函数的定义域，与x的值对应的y的值的集合叫做函数的值域．当自变量x取数值x0

时，因变量y按照对应法则f所对应的数值，称为函数y＝f（x）在点x0处的函数值，记作y＝f（x0）。1.1函数的概念例1.1

设f(x)＝2x2-3，求f(-1），f（x0）。例1.2

求函数的定义域。解解要使分式有意义，必须分母x2+2x-3≠0，即x≠-3且x≠1，所以这个函数的定义域是(－∞，－3)∪(－3，1)∪(1，＋∞)。求函数定义域时应遵守以下原则：（1）代数式中分母不能为零；（2）偶次根式内表达式非负；（3）基本初等函数要满足各自的定义要求；（4）对于表示实际问题的解析式，还应保证符合实际意义．1.1函数的概念1.1.2函数的表示常用的函数表示方法有表格法、图像法、解析法．(1)将自变量的值与对应的函数值列成表格以表示函数的方法叫表格法，如三角函数表、对数表及许多的财务报表等．(2)用图像来表示自变量值与函数值的关系的方法叫图像法，它的特点是较直观．(3)用数学表达式表示自变量和因变量的对应关系的方法叫解析法，如y＝sinX，y＝2x+1等，它的特点是便于推理与演算．分段函数引例3

乘座火车时，铁路部门规定：随身携带物品不超过20千克免费，超过20千克部分，每千克收费0.2元，超过50千克部分，再加收50％，应如何计算携带物品所交的费用．1.1函数的概念设物品的重量为x，应交费用为y，则有解对于分段函数，要注意以下几点：（1）分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不是几个函数。（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集。（3）在处理问题时，对属于某一段的自变量就应用该段的表达式。1.1函数的概念1.1.3反函数定义如果已知y是x的函数，y＝f（x），则由它所确定的以y为自变量，x为因变量的函数x＝φ（y）就是y＝f（x）的反函数，而y＝f（x）称为直接函数．函数y＝f（x）的定义域和值域分别是其反函数y＝f－1（x）的值域和定义域．函数y＝f（x）和它的反函数y＝f－1（x）的图像关于直线y＝x对称．单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同．例1.3

求函数y＝x2，x∈［0，＋∞）的反函数．解因为函数y＝x2

在区间［0，＋∞）上单调递增，所以存在反函数．由y＝x2

解得x＝√y，y≥0，于是y＝x2

的反函数为y＝√x，x∈［0，＋∞）求反函数的步骤是从y＝f（x）中解出x，得到x＝f－1（y），再将x和y互换即可．1.1函数的概念例1.4

求y＝２x＋１的反函数解由y＝２x＋１得互换字母x，y得所求反函数为1.1.4函数的性质1.函数的奇偶性定义２设函数y＝f(x)的定义域D关于原点对称，即x∈D<=>-x∈D若f(-x)＝f(x)，x∈D，则称f（x）为偶函数；若f(-x)＝-f(x)，x∈D，则称f（x）为奇函数．例如：y＝x２，x∈R，是偶函数，其图像如图1.1所示；y＝x３，x∈R，是奇函数，其图像如图1-2所示．1.1函数的概念图1-1图1-2偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称．两个偶函数之和、差、积、商仍是偶函数，两个奇函数之和、差仍是奇函数，两个奇函数之积、商是偶函数，奇函数与偶函数之积、商是奇函数．1.1函数的概念例1.5

判断下列函数的奇偶性．解（１）因为所以所以，所以即即是偶函数。2.函数的周期性1.1函数的概念定义3给定函数y＝f（x），x∈D，若存在常数T使得x∈D<=>x＋T∈D且f（x＋T）＝f（x），x∈D，则称f（x）为周期函数，常数T称为周期．满足条件的最小正数T称为f（x）的最小正周期，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期．例sinx，cosx是周期为２π的函数，tanx，cotx是周期为π的函数．以T为周期的函数图像沿x轴方向左右平移T的整数倍，图像将重合．3.函数的单调性定义4

若对于区间I内任意两点x１，x２，当x１＜x２时，有f（x１）＜f（x２），则称f（x）在I上单调增加（如图1-3），区间I称为单调递增区间；若f（x１）＞f（x２），则称f（x）在I上单调减少（如图1-4），区间I称为单调递减区间．单调增加与单调减少分别称为递增与递减．单调递增区间或单调递减区间统称为单调区间。1.1函数的概念图1-3图1-4４.函数的有界性1.1函数的概念定义５若存在正数M，使得在区间I上|f（x）|≤M，则称f（x）在I上有界．否则称为无界．例如函数y＝cosX在区间（－∞，＋∞）内有|cosX|≤１，，所以函数y＝cosX在（－∞，＋∞）内是有界的．1.2初等函数1.2.1基本初等函数常函数：y＝c（c为常数）。幂函数：y＝xα（α为常数）。指数函数：y＝ax（a＞０，且a≠１，a为常数）。对数函数：y＝logax（a＞０，且a≠１，a为常数）。三角函数：y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx。以上函数的定义域、值域、图像和性质列表，见P5表1.11.2.2复合函数定义

设y是u的函数y＝f（u），u是x的函数u＝φ（x），如果u＝φ（x）的值域或其部分包含于y＝f（u）定义域中，则y通过中间变量u构成x的函数，称为x的复合函数，记为y＝f［φ（x）］，其中x是自变量，u是中间变量．例1.6

设y＝2u，u＝sinx，则由这两个函数组成的复合函数为y＝2sinx．复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成，例如，由函数y＝sinu，u＝eυ

，υ＝tanx复合后可得复合函数y＝sinetanx．例1.7

函数是由哪些基本初等函数复合而成的？解设，则是由函数复合而成的复合函数。1.2.3初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数。例如，等都是初等函数．而不满足有限次运算，1.2初等函数不是一个解析式子表示，因此都不是初等函数。例1.8

设，试分析它的结构。解函数可分解为1.2初等函数1.3利息、贴现及常用经济函数1.3.1单利、复利与贴现1.单利计算公式设初始本金为P元，银行年利率为r．第一年末的利息为P·r，本利和为第二年利息不计入本金，即本金为P，第二年末的利息仍为P·r，本利和为依此方法，第n年末的本利和Sn为(1.1)2.复利计算公式设初始本金为P元，银行年利率为r．第一年末的本利和为第二年利息计入本金，第二年末的利息为，本利和为依此方法，第n年末的本利和Sn为（1.2）例1.9

设有初始本金2000元，银行年储蓄利率为４％．试求：（１）按单利计算，３年末的本利和是多少？（２）按复利计算，３年末的本利和是多少？解（１）本金P＝2000元，年利率r＝0.04，存期３年，由单利计算公式（1.1）知（２）由复利计算公式（1.2）知1.3利息、贴现及常用经济函数1.3利息、贴现及常用经济函数3.贴现债券或其他票据的持有人，为了在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到所余金额的现金，这就是贴现．假设未来n年复利年利率r不变，n年后到期价值R的票据现值为P，则由复利计算公式（1.2）可得例如，复利年利率为５％，５年后到期价值是1000元的票据的现值为1.3.2需求函数与供给函数1.需求函数一种商品的市场需求量与消费群体的人数、收入、习惯及该商品的价格等诸多因素有关，为简化问题的分析，我们只考虑商品价格对需求量的影响，而其他因素暂时保持某种状态不变，需求量犙可以看成价格犘的一元函数，称为需求函数，记作1.3利息、贴现及常用经济函数一般地，价格犘越高，需求量犙要下降；价格犘越低，需求量犙要上升，所以需求函数为价格犘的单调减少函数．常见需求函数有以下几种类型：（１）线性需求函数均为常数；（２）二次需求函数均为常数；（３）指数需求函数２.供给函数在市场经济规律作用下，某种商品的市场供给量将依赖于该商品的价格高低，价格上涨将刺激该商品的供给量增多，供给量S可以看成是价格P的函数，称为供给函数，记作1.3利息、贴现及常用经济函数３.市场均衡由于需求函数Q是单调减少函数，供给函数S是单调增加函数，若把需求与供给曲线画在同一坐标系（如图1-5），它们将相交于一点（P０，Q０），这里的P０就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格，Q０就是均衡数量，此时我们称之为市场均衡．例1.10

某种商品的供给函数和需求函数分别是求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量．解按市场均衡条件Q＝S，即25P－10＝200－5P，则P０＝７，此时Q０＝200－５×７＝165，即市场均衡价格为7，市场均衡数量为165．1.3利息、贴现及常用经济函数1.3.3成本、收入和利润函数在生产和产品经营活动中，成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量q密切相关，它们都可以看成q的函数，分别称为总成本函数，记作C＝C（q）；收入函数，记作R＝R（q）；利润函数，记作L＝L（q）．1.总成本函数总成本C由固定成本C０和可变成本C１两部分组成．固定成本C0

如厂房、设备、企业管理费等与产量q无关．可变成本C１如原材料费、劳动者工资等随产量狇的变化而变化，即C１＝C１（q），这样总成本C＝C０＋C１（q）．平均成本，记作，其中C（q）是总成本.1.3利息、贴现及常用经济函数2.收入函数收入是指销售某种商品所获得的收入，又可分为总收入和平均收入．设P为商品价格，q为商品的销售量，则有总收入函数：平均收入函数：３.利润函数生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是它的总利润，记作其中q为产品数量．它的平均利润，记作1.3利息、贴现及常用经济函数例1.13

已知生产某种商品狇件时的总成本（单位：万元）为该商品每件售价是９万元，试求：（１）该商品的利润函数；（２）生产10件该商品时的总利润和平均利润；（３）生产40件该商品时的总利润．例1.14

已知某种商品的成本函数为，销售单价定为11元／件，试求该商品的盈亏平衡点，并说明随产量q变化时的盈亏情况．本章小结一、本章主要内容及学习要点1.函数的概念2.函数的基本性质3.反函数和复合函数4.基本初等函数与初等函数5.经济函数二、重点与难点1.重点2.难点ThankYou!经济数学Economicmathematics第2章极限与连续学习目标了解极限的描述性定义，左右极限的定义．握极限四则运算法则，熟练使用两个重要极限．了解无穷小的定义及性质，了解无穷小与无穷大的关系，会利用其求极限．理解并会利用无穷小的比较求极限方法．了解函数连续的定义，会判断函数在一点的连续性．了解闭区间上连续函数的性质，会求函数的间断点．2.1极限2.1.1数列的极限1.极限的概念图2.12.1极限图2.2图2.3定义设有数列｛an｝，当n无限增大时，an无限接近于某个确定的常数，那么就称为数列｛an｝的极限，记作此时，也称数列｛an｝收敛于，否则称数列没有极限，或称数列发散．2.1极限2.数列极限的性质性质１若数列收敛，则其极限值必唯一．性质２若数列收敛，则它必有界．性质３单调有界数列必有极限．2.1.2函数的极限1.x→∞的情形定义如果当x无限增大时，函数∫（x）无限地接近于某一个确定的常数，则称为函数∫（x）当x→∞时的极限，记作例2.1

判断当x→∞时，的极限情况．解如图2.4为的图像，可以看出，当和x→－∞时，图像无限接近于零，所以即x→＋∞2.1极限图2.4定理当x→∞时，函数∫（x）的极限存在的充分必要条件是当x→＋∞时和x→－∞时函数∫（x）的极限都存在而且相等，即2.x→x0

的情形定义设函数∫(x)在x0的左右两侧有定义，如果当x无限接近x0时，函数值∫(x)无限接近于某一确定的常数，则称是函数∫(x)当x→x0

时的极限，记作2.1极限定义当x从x0左侧（或右侧）无限接近于x0

时，函数∫(x)无限地趋于某一确定的常数，则称时，函数∫(x)的左(右)极限为，记作例2.2

求当x→１时，函数∫（x）＝２x＋１的极限．解如图2.5所示，当x从１的左右两侧接近于１时，对应的函数值从数值３两侧无限接近于３，因此图2.5图2.62.1极限例2.3当x→1时，函数∫(x)的极限情况解如图2.6所示，x无限接近于１时，∫(x)的函数值从数值4的两侧无限接近于4，即例2.4

设函数解如图2.7所示，当x从０的右侧接近于０时，函数值∫（x）接近于数值１，即

当x从０的左侧接近于０时，函数值∫(x)接近于数值-1，关于函数∫(x)在一点处极限存在有如下定理:定理2.1极限图2.7图2.82.1极限例2.5设函数问当x→０时，∫(x)的极限是否存在？若存在是多少？解如图2.8所示，当x从０的左侧接近于０时，有０；当x从０的右侧接近于０时，有存在的定理知，函数∫(x)在x→０时极限存在，根据极限在一点处2.1.3函数极限的性质性质１（唯一性）如果函数∫(x)的极限存在，则极限值唯一．性质２（夹逼定理）设函数∫(x)，g(x)，h(x)在x0的左右两侧满足条件：则2.1极限2.1.4函数极限的四则运算法则定理如果则例2.6

求解例2.7求解2.1极限例2.8求解习题2.1见课本P21。2.2两个重要极限与无穷小、无穷大2.2.1两个重要极限1.重要极限Ⅰ注意，第Ⅰ重要极限形式为形式，为了强调其形式，可形象记为其中方框□代表同一变量。例2.9解2.2两个重要极限与无穷小、无穷大例2.10解例2.11解例2.12解2.2两个重要极限与无穷小、无穷大例2.13解2．重要极限Ⅱ重要极限Ⅱ的形式是类型，为了强调其形式，我们也可将它表示为其中方框□表示同一变量．2.2两个重要极限与无穷小、无穷大例2.14解例2.15解例2.16解2.2两个重要极限与无穷小、无穷大2.2.2无穷小量（简称无穷小）1．无穷小的定义定义以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母α，β，γ来表示无穷小．关于无穷小一定要注意以下几点：（１）谈无穷小一定离不开自变量的变化趋势．（２）不能把无穷小混同于一个非常小的数，但零是唯一可以作为无穷小的常数，因为lim0＝０．例2.19

自变量狓在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小．（１）因为解，所以x→∞时是无穷小2.2两个重要极限与无穷小、无穷大（２）因为（３）因为（４）因为２．无穷小的性质性质１有限个无穷小的代数和是无穷小．性质２有界函数与无穷小的乘积是无穷小．例2.20解因为是有界函数，所以2.2两个重要极限与无穷小、无穷大推论常数与无穷小的乘积是无穷小．性质３有限个无穷小的积是无穷小．2.2.3无穷大量（简称无穷大）定义在自变量狓的某个变化过程中，若相应函数值的绝对值|∫（x）|无限增大，则称∫（x）为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作ｌｉｍ∫（x）＝∞．例如，是x→０时的无穷大，可记为无穷大要注意以下几点（１）谈无穷大不能离开自变量的变化趋势．（２）不能将无穷大与非常大的常数混为一谈．（３）借用ｌｉｍ∫（x）＝∞，并不表示∫（x）的极限存在，事实上∫（x）的极限不存在．2.2两个重要极限与无穷小、无穷大2.2.4无穷小与无穷大的关系定理在自变量的同一个变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，除常数零外的无穷小的倒数是无穷大．例如，当x→０时，２x是无穷小，则当x→０时，为无穷大．又例如，当x→∞时，x２＋２是无穷大，则当x→∞时，是无穷小．2.2.5无穷小的比较定义设α和β是同一变化过程中的无穷小，即limα=0，limβ=0．2.2两个重要极限与无穷小、无穷大定理设α１、α２、β１、β２是同一变化过程中的无穷小，且有α１～α２，β１～β２，若（或无穷大），则例2.21

求下列极限：2.2两个重要极限与无穷小、无穷大解2.3函数的连续性2.3.1函数连续的定义定义设Δx＝x－x０是自变量的增量，Δy＝∫（x）－∫（x０）是函数的增量，函数y＝∫(x）在x０的左右两侧（含x０点）有定义，当自变量的改变量Δx趋于零时，相应的函数改变量Δy也趋于零，即则称y＝∫(x）在点x０处连续．函数∫（x）在点x０处连续必须满足以下３个条件：例2.22

若∫（x）＝x２，证明y＝∫（x）在x＝１处连续．证明2.3函数的连续性而，所以函数在x＝１处连续．例2.23

设某城市出租车白天的收费（单位：元）x与路程（单位：ｋｍ）狓之间的关系为讨论函数∫(x)在x＝７处是否连续．解2.3函数的连续性故函数∫(x)在x＝７处连续2.3.2连续函数的运算１．连续函数的四则运算设函数∫(x),g(x)在点x０处连续，则有以下性质．性质１

∫(x)±g(x)在x０处连续．性质２

∫(x)·g(x)在x０处连续．性质３若处连续．2.3函数的连续性２．复合函数的连续性定理设函数u＝g（x）在x＝x０处连续，y＝∫(u)在u０＝g(x0)处连续，则复合函数y＝∫［g（x）］在x０点处连续．例2.24解例2.25解2.3函数的连续性例2.26解例2.27解在求连续的复合函数极限时，极限符号与函数符号可交换次序，即2.3函数的连续性2.3.3闭区间上连续函数的性质性质１（有界定理）若∫(x)在［a，b］上连续，则∫(x)在［a，b］上有界．性质２（最值定理）若∫(x)在［a，b］上连续，则∫(x)在［a，b］上必能取得最大值和最小值．性质３（介值定理）若∫(x)在［a，b］上连续，且最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任意实数C（m＜C＜M），必定存在点ξ∈（a，b），使得∫（ξ）＝C．2.3.4函数的间断点定义如果函数∫(x)在x0处不连续，则称点x0为∫(x)的一个间断点．根据连续的定义，有下列三种情况之一的点x０即为函数∫(x)的间断点：（１）在点x0处，∫(x)无定义；（２）在点x0处，∫(x)的极限不存在；（３）在点x0处有定义，且有极限，但2.3函数的连续性例2.28解因为左、右极限存在但不相等．所以x＝０为∫(x)的跳跃间断点．例2.29的间断点．解

∫(x)在x＝１处无定义，所以x＝１是∫(x)的间断点．而所以x＝１是∫(x)的可去间断点．2.3函数的连续性例２．３０讨论处间断点的类别．解因为例２．３１解进一步可知，当x→０时，在－１和１之间振荡，所以x＝０是的振荡间断点．本章小结一、本章主要内容及学习要点１．极限的概念２．无穷小与无穷大的概念３．连续的概念４．函数的间断点及其类型的判定５．极限的计算方法６．求函数连续区间的方法二、重点与难点１．重点２．难点ThankYou!经济数学Economicmathematics第3章导数与微分学习目标理解导数的概念，导数的几何意义，会求曲线的切线方程，了解可导与连续的关系．了解左右导数的概念，了解可导的充要条件．熟练掌握导数基本公式，四则运算法则，复合函数求导法则．会求二阶导数以及较简单函数的狀阶导数．了解微分概念，掌握求微分的方法．3.1导数的概念3.1.1两个引例１．变速直线运动的瞬时速度设一物体做变速直线运动，其运动方程（路程s与时间t之间的函数关系）为s＝s（t），求该物体在t０时刻的瞬时速度．当时间由t０变到t０＋Δt时，物体经过的路程为从t０到t０＋Δt这一段时间的平均速度表示为当Δt很小时，可以用近似表示为物体在t０时刻的瞬时速度，Δt越小，就越接近物体在t０时刻的瞬时速度．而t０时刻的瞬时速度即为平均速度当Δt→０的极限，即3.1导数的概念２．切线的斜率图３.１3.1导数的概念设曲线L的方程为y＝f(x),求此曲线上点M处切线的斜率k（图３.１）设M、N是曲线L上的任意两个定点，作直线MN，称MN为曲线L的割线，当点N沿曲线L趋于定点M时，割线MN趋于极限位置MT，称MT为曲线L在点M处的切线．下面求切线MT的斜率k．设点M的坐标为（x０，f(x)），点N的坐标为（x０＋Δx，f(x0

＋Δx）），割线MN对x轴的倾角为φ，切线MT对x轴的倾角为α，割线MN的斜率为当Δx→０时，点N就沿曲线L趋于点M，此时割线MN就随之趋于它的极限位置MT，所以当Δx→０时，若的极限存在，则定义此极限值为曲线L在点M处的切线MT的斜率k，即3.1导数的概念3.1.2导数的定义定义设函数y＝f(x)在点x０及近旁有定义，当自变量x在x０处取得增量Δx时，相应的函数y取得增量Δy=f(x0＋Δx）-f(x0)；如果极限则称函数y＝f(x)在点x0处可导，并称这个极限值为函数y＝f(x)在点x０处的导数，记作；如果极限不存在，则称函数y＝f(x)在点x０处不可导．定义设函数y＝f(x)在x０点及左侧（右侧）有定义，若极限3.1导数的概念存在，则称此极限为函数y＝f(x)在点x０处的左（右）导数，记作也可写成另一种形式定理函数y＝f(x)在x０点可导的充分必要条件是它在这一点处的左、右导数存在且相等．左右导数的定义及定理主要用于判断闭区间的左右端点的可导性及分段函数分界点处的可导性．3.1导数的概念例3.1解因为f(0)=１，所以有3.1导数的概念3.1.3利用定义求导数根据导数的定义求导数，可归纳为以下三个步骤（俗称求导三步曲）．（１）当自变量x在x０处取得增量Δx时，求函数y相应的增量（２）求两个增量的比值．（３）求当Δx→０时，的极限，即例3.2

求常数函数y＝C的导数．解（１）求增量：因为y＝C不论x取什么值，y的值总等于C，所以3.1导数的概念（２）算比值：（３）取极限：即常数函数的导数等于零．例3.3

求函数y＝x２的导数，并求解3.1导数的概念例3.4求f(x）＝xn（n为正整数）在x＝a点的导数．解若将a视为任一点，并用x取代a，即得更一般地，3.1导数的概念例3.5

求函数f（x）＝sinx的导数．解3.1导数的概念例3.6解3.1导数的概念即3.1.4导数的几何意义由引例２及导数的定义可知，函数y＝f（x）在x０处的导数f′(x０）就是该曲线在x０点处的切线斜率k，从而得到曲线y＝f（x）在点x０处的切线方程为法线方程为但要注意函数在某一点导数不存在不等于它对应的曲线在该点无切线，如曲线在某点的切线垂直于狓轴，而函数在这一点却不可导．例3.7

求曲线y＝x２在点（１，１）处的切线和法线方程．解因为y′=（x２）′=２x，由导数的几何意义知，曲线y＝x２在点（1，1）处的切线斜率为所以，所求切线方程为y－１＝２（x－１）即y＝２x－１．3.1导数的概念法线方程为3.1.5导数的经济应用某产品的总成本函数是，q是产品的产量，当产量由q0

变到q0

＋Δq时，总成本相应的改变量为则总成本的变化率为当Δq→０时，极限为q０时的总成本的变化率，又称边际成本。是产量同样收入函数R＝R（q）的导数R′＝R′（q）称为边际收入；利润函数L＝L（q）的导数L′＝L′（q）称为边际利润．3.1导数的概念3.1.6可导与连续的关系定理如果函数在点x０处可导，则在该点处必连续．注意：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导．例如，函数因为处连续，但不可导，即y＝|x|在x０处连续，但该函数在x＝０处的左导数是而右导数是左右导数不相等，故函数在该点不可导，所以连续是可导的必要而非充分条件．所以3.2求导法则3.2.1函数的和、差、积、商求导法则定理若函数u（x）与v（x）在点x处可导，则（１）函数u（x）±v（x）在点x处可导，且（２）函数u（x）·v（x）在点x处可导，且（３）特别对任意常数C，有（４）若v（x）≠０，函数在点x处可导，且其中法则（１）、（２）可推广到有限个函数的情形，下面只给出法则（１）的证明．3.2求导法则证则例3.8解3.2求导法则例3.9解例3.10解3.2求导法则3.2.2复合函数的求导法则定理如果u＝φ（x）在点x处可导，而y＝f（u）在对应的点u＝φ（x）处可导，则复合函数y＝f［φ（x）］在点x处可导，且有若y＝f（u），u＝φ（v），v＝g（x），则复合函数y＝f｛φ［g（x）］｝的导数为例3.16

求下列函数的导数．解（１）函数y=(1-2x)７是由y=u７，u=1-2x两个函数复合而成的．3.2求导法则（２）函数y＝sin２x是由函数y＝u２，u＝sinx复合而成．所以所以3.2求导法则例3.17解例3.18解3.2求导法则3.2.4基本初等函数的求导公式现把基本初等函数求导公式归纳如下：3.2求导法则3.2.6高阶导数连续两次以上对某个函数求导数，所得的结果称为这个函数的高阶导数．定义如果函数y＝f（x）的导数f′（x）在点x处可导，则称f′（x）在点x处的导数为函数y＝f（x）在点x处的二阶导数类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，……（n－１）阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作y″，y(4)…，x（n）函数的二阶及二阶以上的导数统称为函数的高阶导数．3.2求导法则例3.26解例3.27解例3.28解3.3函数的微分及应用3.3.1微分的概念先分析一个具体问题．一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x０变到x０＋Δx（如图3.2），问此薄片的面积改变了多少？图3.23.2求导法则定义设函数y＝f（x）在点x及其近旁有定义，x＋Δx仍在这个范围内，如果函数的增量。可表示为其中A是不依赖于Δx的常数，而ο（Δx）是比Δx高阶的无穷小，那么称函数y＝f（x）在点x处是可微的，而AΔx叫做函数y＝f（x）在点x处的微分，记作dy，即定理函数y＝f(x)在点x处可微的充要条件是f（x）在点x处可导，且有dy＝f′(x)Δx．关于定义及定理的几点说明：（１）由定义知dx=Δx，dx称为自变量的微分，从而dy＝f′(x)dx．（２）由因此函数的导数f′(x） 又称为函数的微商．3.2求导法则（３）由定理知，一元函数的可导与可微是等价的，但它们是有区别的：导数是函数在一点处的变化率；而微分是函数在一点处由自变量增量所引起的函数增量的主要部分，由于它是Δx的线性函数，因此又称微分为线性主部，导数值只与x有关，而微分值与x和Δx都有关．（４）定理告诉我们，求函数的微分dy只需求出函数导数f′(x)，然后再乘以dx即可．（５）函数的微分dy与其增量Δy之间有关系事实上3.2求导法则例3.30

求函数y＝x３在x０＝1，Δx＝0.03时的改变量和微分．解而则比较Δy与dy知，Δy－dy＝0.092727-0.09=0.002727较小．3.3.2微分的几何意义图3-33.2求导法则3.3.3微分基本公式与运算法则3.2求导法则1.微分基本公式2.函数的和、差、积、商的微分运算法则设u（x）、v（x）都是可微函数，则有3.2求导法则3.复合函数微分法则设函数y＝f（u）可微，根据微分的定义，函数y＝f（u）的微分是如果u不是自变量，而是狓的函数u＝φ（x）且可微，则复合函数y＝f［φ（x）］的导数为于是，复合函数y＝f［φ（x）］的微分为由于所以3.2求导法则例3.31解例3.32解例3.32解3.2求导法则3.3.4微分在近似计算中的应用从微分的定义可知，Δy≈dy，（当|Δx|很小），即例3.35

某工厂每周生产x件产品所获得利润为y元，已知当每周产量由100件增至102件时，试用微分求其利润增加的近似值．解由题意，x＝100，Δx＝dy＝102-100＝2，因为3.2求导法则例3.36解则3.2求导法则在公式（3.2）中，令x0+Δx＝x，且x0

＝0，则公式（3.2）变为利用公式（3.2）可以推得下面几个在工程上常用的近似计算公式例3.37

证明下列近似式．证：（１）令f(x)＝ex，则f′（x)＝ex,当x＝０时，f(０)＝1，f′(０)＝1，由f(x)≈f(０)+f′(０)x得ex≈1＋x．（２）令f(x)=ln(1+x)，则当x＝0时，f(0)＝0，f′(0)＝1，由f(x)≈f(0)＋f′(0)x得ln(1+x)＝x．本章小结一、本章主要内容及学习要点1.导数的概念2.导数的计算3.微分4.可导（可微）与连续的关系二、重点与难点1.重点2.难点ThankYou!经济数学Economicmathematics第4章导数的应用学习目标了解罗尔中值定理，理解拉格朗日中值定理及其推论．熟练掌握用洛必达法则求型和型未定式极限的方法．掌握函数单调性的判别法，会求单调区间．理解函数极限值的概念，了解极值点、驻点、不可导点之间的关系，掌握求极值的方法．掌握函数凸凹性的判别法，会求函数的拐点．了解函数最值的概念，会求闭区间上函数的最值，熟练掌握求平均成本函数、收入函数、利润函数等常见经济函数的最值方法．理解边际、弹性的概念及其经济意义，掌握求成本、收入和利润等经济函数边际的方法，掌握求弹性特别是需求弹性的方法．4.2洛必达法则4.2.1型不定式，有如下定理．定理(洛必达法则)设函数f(x)，g(x)在x0

的左右两侧可导，且满足：4.2洛必达法则例4.6解这是型不定式，且满足洛必达法则条件，故有例4.7解例4.8解4.2洛必达法则例4.11这是类型，应用洛必达法则．解例4.12解例4.13解原式4.3函数单调性的判别利用拉格朗日中值定理，导出一个根据导数符号确定函数单调性的简便方法．图4.2从图4.2可以看出：如果函数在某区间上单调增加(单调减少)，则它的图形是随x的增大而上升(下降)的曲线，如果所给曲线每一点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负(非正)，即f′(x)≥０(f′(x)≤０)．4.3函数单调性的判别定理设函数y＝f(x)在区间［a，b］上连续，在(a，b)内可导(１)如果在(a,b)内f′(x)＞０，则函数f(x)在［a,b］上单调增加．(２)如果在(a,b)内f′(x)＜０，则函数f(x)在［a,b］上单调减少．证

,不妨设x1＜x2,则函数f(x)在[x1,x2]应用拉格朗日中值定理，得如果在(a，b)内恒有f′(x)＞0，必有f′(ξ)＞０，又因x２-x1>０，则定有f(x2)>f(x1)．所以函数f(x)在［a，b］上单调增加．同理，如果在(a，b)内f′(x)<０，可推出f(x)在[a，b]单调减少．例4.20

判定函数上的单调性．解因为f(x)＝x－sinx在［０，２π］上连续，在(０，２π)内可导，且有4.3函数单调性的判别所以由定理知，上单调增加.有时，函数在其整个定义域内并不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性，如图4.4所示.图4.4确定函数单调区间的方法：(1)指出函数定义域，求出f′(x);(2)求出f′(x)＝0的点或f′(x)不存在的点；(3)这些点把定义域分成若干区间，在这些区间上根据导数的符号判断其单调性．4.3函数单调性的判别例4.21解4.3函数单调性的判别令f′(x)＝０，得x1

＝1，x2

＝2，这两个点将定义域(－∞，＋∞)分成三个区间，(－∞，1］，［1，2］，［2，＋∞)，列表4.2讨论如下：例4.22

确定函数的单调区间．解4.3函数单调性的判别例4.23

判断函数的单调性．解函数的定义域为(－∞，＋∞)，图形如图4.5所示，函数的导数不存在，X=0点将定义域分成两个区间(－∞，0)，(0，＋∞)，见表4.3.4.4函数的极值与最值4.4.1函数的极值定义设函数y＝f(x)在点x０及附近有定义，如果对于该范围内的任意一点x(x≠x０)，恒有f(x)＜f(x０)(或f(x)＞f(x０))，则f(x０)称为函数f(x)的一个极大值(极小值)，x０称为函数的极大值点(或极小值点)．极大值、极小值都称为函数的极值．(１)函数极大值和极小值的概念是局部的.(２)函数的极大值不一定比极小值大．(３)函数的极值点一定出现在区间的内部.图4.64.4函数的极值与最值定理设函数f(x)在点x０处可导，在x０处取得极值，则f′(x0)＝０．使f′(x0)=0的点，称为函数f(x)的驻点或稳定点，由定理知，可导的函数极值点必为驻点或稳定点．但反过来函数的驻点未必是极值点．图4.7图4.74.4函数的极值与最值定理（第一充分条件）设函数f(x)在x０的附近（不包含x０点）可导，则(1)如果当x＜x０时，f′(x0)>０；当x＞x０时，f′(x)<０，那么x０是f(x)的极大值点，f(x0)是f(x)的极大值．(3)如果在x０的两侧，f′(x)的符号保持不变，那么x０就不是f(x)的极值点，f(x)在x０处就没有极值．(2)如果当x＜x０时，f′(x0)<０；当x＞x０时，f′(x)>０，那么x０是f(x)的极小值点，f(x0)是f(x)的极小值．例4.27求函数f(x)=x３＋３x２－８的极值．解函数f(x)的定义域是（－∞，＋∞），令f′(x)=0，求得驻点x１＝０，x２＝－２，且无不可导的点．x１

=0，x２

=－2将函数的定义域分成三个部分：（－∞，－２），（－２，０），（０，＋∞），列表讨论见表4.5:4.4函数的极值与最值由上表知，函数的极大值f（－２）＝－４，极小值f（０）＝－８例4.28解函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞）令f′（x）＝０，得x＝１，另外，x＝－１为不可导点．列表讨论见表4.6：4.4函数的极值与最值所以函数的极大值f(-1)=０，极小值定理（第二充分条件）设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f´(x0)=0，f"(x0)≠０，则4.4函数的极值与最值例4.29解4.4函数的极值与最值例4.30解函数f(x)的定义域为（－∞，＋∞）令f´(x)＝０得驻点x１=－１，x２=０，x３=１又因为f"(x)=6＞0，故f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=0．又因为f"(-1)=f"(1)=0，因此第二充分条件失效．再用第一充分条件列表讨论见表4.7．4.4函数的极值与最值函数的图形如图４-９所示．图４-９4.4函数的极值与最值4.4.2函数的最值极值的概念是局部的，而最值的概念是全局的，但是求最值往往借助于极值.例4.31求函数在［－２，６］上的最大值与最小值．解而f(-1)=10，f(3)=-22，f(-2)=3，f(6)=59，比较可得f(x)在[-2,6]上的最大值是f(6)=59，最小值是f(3)=-22．图4.104.4函数的极值与最值例4.33铁路线上犃犅段的距离为１００ｋｍ，工厂C距A处为２０ｋｍ，AC垂直于AB（如图４-１１所示），为了运输需要，要在AB沿线选定一点D向工厂修筑一条公路．已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为３∶５，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？例4.32

求函数的最值．4.5函数图形的凹向与拐点4.5.1曲线的凹向与拐点图4.124.5函数图形的凹向与拐点定义设曲线y＝f（x）在（a，b）内各点都有切线，如果曲线上每一点的切线都在它的下方，则称曲线y＝f（x）在（a，b）内是凹的，也称（a，b）为曲线y＝f（x）的凹区间；如果曲线上每一点处的切线都在它的上方，则称曲线y＝f（x）在（a，b）内是凸的，也称（a，b）为曲线y＝f（x）的凸区间．如何判定曲线的凹凸呢？图4-134.5函数图形的凹向与拐点定理设函数y＝f（x）在（a，b）内具有二阶导数，那么（1）如果在（a，b）内f″（x）>０，则曲线y＝f（x）在（a，b）内是凹的（也称下凸的）.（2）如果在（a，b）内f″（x）<０，则曲线y＝f（x）在（a，b）内是凹的（也称上凸的）.例4.35

讨论曲线f（x）＝x３的凹凸性．解函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞）4.5函数图形的凹向与拐点例4..36

讨论曲线的凹凸性．当x≠１时，所以，当x＜１时，f″（x）＞０，f（x）在（－∞，１）内是凹的，当x＞１时，f″（x）＜０，f（x）在（１，＋∞）内是凸的．显然，x＝１时f″（x）不存在．点（１，０）是曲线f（x）上由凹变凸的分界点．一般地，连续曲线弧上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点．求拐点的方法：（１）确定函数的定义域；（２）求出使f″（x）＝０的点和f″（x）不存在的点；（３）判断这些点两侧f″（x）的符号来确定是否为拐点．4.5函数图形的凹向与拐点例4.37

求函数的凹凸区间及拐点解函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞）令列表讨论见表4.8：函数f（x）在（－∞，０）与（２，＋∞）内是凹的，在（０，２）内是凸的，拐点分别为（０，－５），（２，－１７）．4.6导数在经济分析中的应用4.6.1边际分析在经济学中，习惯上，用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y相对于另外一个经济变量x的变化．概念“平均”表示y在自变量x的某一个范围内的平均值，概念“边际”表示当x的改变量Δx趋于零时，y的相对改变量Δy与Δx的比值Δy/Δx的变化，即当x在某一给定值附近有微小变化时y的瞬时变化，也就是y对x的导数．其实际意义是：当x改变一个单位时，y对应改变y′个单位．１．边际成本设生产某种产品数量q时所需要的总成本函数为C＝C（q），则边际成本函数为：通常记作MC，即MC＝C′（q）．4.6导数在经济分析中的应用例4.42

一企业某产品的日生产能力为５００台，每日产品的总成本（单位：万元）是日产量狇（单位：台）的函数求：（1）产量为400台时的总成本；（2）产量为400台时的平均成本；（3）当产量由400台增加到484台时，总成本的平均变化率；（4）产量为400台时的边际成本．解4.6导数在经济分析中的应用所以产量为400台时的边际成本为:4.6导数在经济分析中的应用２．边际收入设销售某种产品数量q时的总收入函数为R＝R（q），则边际收入函数为，记作MR，即MR＝R′（q）例4.43

设某产品的需求函数为P＝２０－q/５，其中狆为价格，狇为销量，求销售量为１５个单位时的总收入、平均收入与边际收入，并求当销售量从１５个单位增加到２０个单位时，收入的平均变化率．解总收入函数为故销售量为１５个单位时，总收入平均收入4.6导数在经济分析中的应用边际收入收入的平均变化率３．边际利润设销售某种产品数量狇时的利润函数为L＝L（q），则边际利润为因为利润函数lL（q）＝R（q）－C（q）所以由导数的运算法则知4.6导数在经济分析中的应用例4.44

某煤炭公司每天生产煤狇吨的总成本函数为C（q）＝2000＋450q＋0.02q２，如果每吨销售价为490元，求：（１）边际成本函数C′（q）；（２）利润函数L（q）及边际利润函数L′（q）；（３）边际利润为０时的产量．解（１）因为C（q）＝2000＋450q＋0.02q２所以C′（q）＝450＋0.04q（３）边际利润为零０，即L′（q）＝－0.04q＋40＝０可得q＝1000（吨）（２）因为总收入R（q）＝pq＝490q所以利润函数边际利润函数4.6导数在经济分析中的应用4.6.2弹性分析设函数y＝f（x）在x处可导，则函数的相对改变量与自变量的相对改变量称为函数f（x）从x到x＋Δx两点间的弹性．当Δx→０时，的极限称为f（x）在x处的弹性．在经济学中，设某种商品的市场需求量为q，价格为p，需求函数q＝f（p）可导，则称为该商品的需求价格弹性，简称需求弹性．由导数的定义可得从而4.6导数在经济分析中的应用例4.45

某商品需求函数为q＝１０－p/２，求：（１）需求价格弹性函数；（２）当p＝３时的需求价格弹性．解（１）需求弹性：（２）当狆＝３时，需求价格弹性本章小结一、本章主要内容及学习要点1.中值定理2.洛必达法则3.函数的单调性4.函数的极值与最值5.曲线的凹凸性与拐点二、重点与难点1.重点2.难点6.边际函数7.弹性ThankYou!经济数学Economicmathematics第5章积分学及其应用学习目标理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的性质及几何意义。掌握不定积分的基本公式和直接积分法，掌握第一类换元法和分部积分法，了解第二换元积分法。会利用积分相关知识求经济函数（成本函数、收入函数、利润函数）的方法。理解定积分的概念，掌握微元法，了解定积分的几何意义及性质．掌握牛顿—莱布尼茨公式，会计算定积分。了解并能计算简单的广义积分。了解用定积分求平面图形的面积、体积的方法，了解定积分在经济中的应用。5.1不定积分5.1.1原函数的概念定义设函数f（x）在某区间上有定义，如果存在F（x），对于该区间上任意一点x，使得则称函数F（x）是已知函数f（x）在该区间上的一个原函数．例如，因为在区间（－∞，＋∞）内有（x３）′＝３x２，所以x３是３x２在区间（－∞，＋∞）内的一个原函数，又因为（x３＋１）′＝３x２，（x３＋√2）′＝３x２，（x３＋C）２＝３x２（C为任意常数），所以x３＋１，x３＋√2，x３＋C都为３x２在区间（－∞，＋∞）内的原函数．定理１（原函数族定理）如果函数f（x）在某区间内有一个原函数F（x），那么它必有无穷多个原函数，其形式可表示为F（x）＋C（C为任意常数），且任意两个原函数之间相差一个常数．定理２（原函数存在定理）如果函数f（x）在某一区间内连续，则函数f（x）在该区间上的原函数一定存在．5.1不定积分5.1.2不定积分的概念定义若F(x)是f(x)在某区间内的一个原函数，则称F(x)+C（C为任意常数）为f(x)在该区间上的不定积分，记为其中，∫称为积分符号，f(x)称为被积分函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量．由此可知，不定积分与原函数是整体与个体的关系，即其中F(x)+C称为f(x)的原函数的一般表达式，C取一切实数值，称之为积分常数．由定义可知，求函数f(x)的不定积分，就是求f(x)的全体原函数，故求不定积分的运算其实质就是求导（或求微分）运算的逆运算．5.1不定积分例5.1

求下列不定积分．解（１）被积函数f（x）＝２x，因为（x２）′＝２x，x２是２x的一个原函数，即f（x）＝x２，所以不定积分（２）被积函数f(x)=cosx，因为(sinx)′=cosx，所以不定积分例5.2

求函数的不定积分．解被积函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)当狓＞０时，因为5.1不定积分所以内的一个原函数．因此在（０，＋∞）内当x＜０时，因为所以内的一个原函数．因此在（－∞，０）内合并以上两种情况，当x≠０时，得5.1不定积分5.1.4不定积分的几何意义若y＝F（x）是f（x）的一个原函数，则称y＝F（x）的图形是f（x）的积分曲线，因为不定积分是f（x）的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族，积分曲线族y＝F（x）＋C有如下特点．图５-１5.1不定积分例5.3

已知曲线上任意一点处切线斜率等于该点处横坐标平方的两倍，且该曲线经过点（０，３），求曲线方程．解设所求曲线为y＝f（x），由题意（１）积分曲线中任意一条积分曲线都可以由曲线y＝F（x）沿y轴方向上、下平移图５-１得到．（２）由于（F（x）＋C）′＝F′（x）＝f（x），即横坐标相同点处，所有曲线的切线都是互相平行的，如图５-１．于是又因为曲线过点（０，３），代入上式可得C＝３，所以，所求曲线的方程为5.1不定积分5.1.4不定积分的性质性质１不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），即性质２一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个常数，即性质３两个函数的代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即性质４被积函数中的非零常数因子可以提到积分符号外，即5.1不定积分5.1.5基本积分公式5.1不定积分5.1.6直接积分法用积分基本公式和不定积分的性质，直接求出积分的方法称为直接积分法．例5.4

求不定积分解：把被积函数转化成代数和形式，再积分有5.1不定积分例5.5

求不定积分解5.1不定积分例5.6

求不定积分解例5.7

求不定积分解5.1不定积分应用案例１设某商品的边际收益函数为试求收益函数解

因为收益函数是边际收益的的原函数，所以由于R（０）＝０，得C＝０，所以应用案例２已知某产品产量对时间的变化率是时间t的函数设此产品在时间t的产量为Q（t），且Q（0）＝０，求Q（t）．解因为Q（t）是的原函数，所以将Q（０）＝０代入，得C＝０，所以5.2不定积分的积分法5.2.1第一换元积分法（凑微分法）首先，考察不定积分因为被积函数是x的复合函数，基本积分公式中没有这种公式，我们可将原积分进行适当变形，转化为某个基本积分公式的形式：5.2不定积分的积分法验证：因为所以确为一般地，若不定积分可以化为的原函数。的形式，则可令当积分容易求出时，就可用下面方法进行计算：通常将这种积分方法称为第一换元法（或称为凑微分法）．5.2不定积分的积分法1.利用等式均为常数且a≠０凑微分例5.8解故再将代入上式，得5.2不定积分的积分法例5.9解令u＝２x＋４，则ｄu＝２ｄx，即故再将u＝２x＋４代回上式，得熟练之后，可以将设φ（x）＝u一步省略，直接进行凑微分．5.2不定积分的积分法例5.10解2．利用等微分公式凑微分思路：当被积函数是两个函数乘积且含有上式各因子时，不妨将它凑成相应微分来解决所求积分．5.2不定积分的积分法例5.11解被积函数可以看成的被积形式，且被积公式中含有可将其凑微分，即则5.2不定积分的积分法例5.12解例5.13解5.2不定积分的积分法例5.14解例5.15解5.2不定积分的积分法３．利用三角恒等式凑微分例5.16解例5.17解5.2不定积分的积分法例5.18解5.2不定积分的积分法我们可以归纳出常用的凑微分公式5.2不定积分的积分法5.2.2第二换元积分法一般地，如果积分不易凑微分，可设x＝φ（t），则上式化为其中，x＝φ（t）的反函数t＝φ-1（x）存在且可导，则有再将t＝φ-1（x）代入上式有，这种求不定积分的方法称为第二换元法．5.2不定积分的积分法例5.19解因为被积函数含有根号，不容易凑微分，为了去掉根号，令则有关系ｄx＝２tｄt，于是有将t＝√x代入上式，得5.2不定积分的积分法例5.20解被积函数含有根号，由第二换元法，设变量，找关系，求积分，5.2不定积分的积分法代回变量，将代入上式得5.2.3积分表续5.24分部积分法在某一区间上具有连续导数，由乘积的设微分法则，得5.2不定积分的积分法移项得，两边同时积分，有例5.21解被积函数是幂函数与指数函数的乘积，用分部积分法，令则由分部积分公式，得5.2不定积分的积分法例5.22解被积函数是幂函数与三角函数的乘积，用分部积分法，令得例5.23解被积函数是幂函数与对数函数的乘积，用部分积分法，得5.2不定积分的积分法（１）当被积函数是幂函数与指数函数或三角函数乘积时，设幂函数为u，指数函数或三角函数与ｄx乘积部分为ｄv，如例5.21和例5.22．（２）当被积函数是幂函数与对数函数乘积时，设对数函数为u，幂函数与ｄx乘积部分为ｄv，如例5.23．利用分部积分求积分解题步骤归纳如下 （１）凑微分（是关键，原则如上述）． （２）利用公式，交换u，v的位置． （３）求积分，得结果．5.3定积分的概念与性质5.3.1引例例5.24

计算曲边梯形的面积图５-２设y＝f（x）为闭区间［a，b］上的连续函数，且f（x）≥０．由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的平面图形（图５-２）称为f（x）在［a，b］上的曲边梯形，下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）．（１）分割．在［a，b］中任意插入n－１个分点把［a，b］分成狀个子区间，每个子区间的长度为（２）近似．（３）求和．（４）逼近（取极限）5.3定积分的概念与性质5.3.2定积分的概念定义设f（x）在［a，b］上有界，在［a，b］上任取n－１个分点把区间［a，b］分割成狀个小区间各小区间的长度依次为在每个小区间上任取一点作函数小区间长度Δxi的乘积值并作和式记，如果不论对［a，b］怎样的分法，5.3定积分的概念与性质也不论在小区间式的极限存在，我们就称函数f（x）在闭区间［a，b］上可积，并且称此极限值为函数