2024届辽宁省丹东市高三总复习质量测试（二）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3辽宁省丹东市2024届高三总复习质量测试（二）数学试卷一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，，所以，，．故选：D.2.样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为（）A.17 B.18 C.19 D.20〖答案〗C〖解析〗数据从小到大排序为12，13，14，14，16，18，20，24，则，所以75%分位数为.故选：C.3.一个口袋中装有大小形状相同的3个红球和2个白球，从中不放回抽取3个球，已知口袋中剩下的2个球颜色相同的条件下，抽取的3个球颜色不同的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗事件“口袋中剩下的2个球颜色相同”，事件“抽取的3个球颜色不同”，所以事件A共有个基本事件，事件AB共有个基本事件，所以．故选：A4.过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（）A. B.2 C. D.4〖答案〗C〖解析〗如图，由圆可得x轴，y轴，即是过点O的切线，所以切点为，，故．故选：C.5.在△中，点D在边上，平分，，，，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以,即，代入，，可得，则，解得．故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解法1：由，得，得，得，所以，所以．解法2：将展开得，整理得，即，所以．故选：A7已知函数，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数，可得，当时，；当时，；当时，，所以在和上递增，在上递减，因为，可得，所以，又因为，，所以，所以，即，所以.故选：D.8.双曲线的右焦点为，点在轴的正半轴上，直线与在第一象限的交点为，，且，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设双曲线的左焦点为，连接，，由，则，又，所以，则，，根据双曲线的性质有，又，所以，所以，所以，即，又，即，即，所以．故选：A二、选择题9.已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（）A.是虚数B.若，则C.若，则与对应的点关于x轴对称D.若是纯虚数，则〖答案〗ACD〖解析〗可设复数，A选项：根据虚数定义可知A正确；B选项：，所以，则，所以，，所以，故B不正确；C选项：若，所以，所以，，所以，对应的点分别为和，则关于x轴对称，故C正确；D选项：因为，且是纯虚数，所以，所以，，则，所以，故D正确．故选：ACD.10.在正方体中，过对角线的平面与，分别交于，且，，则（）A.四边形一定是平行四边形B.四边形可能是正方形C.D.四边形在侧面内的投影一定是平行四边形〖答案〗AC〖解析〗对于A中，在正方体，平面平面，又因为平面平面，且平面平面，所以，同理可证，所以四边形是平行四边形，所以A正确；对于B中，四边形是平行四边形，不妨设，当为中点时，，，所以，所以B不正确；对于C中，因为，，由A知，，所以，即，所以C正确．对于D中，当点与重合时，且点与重合（或）时，直线在平面内的射影为，此时，即为，所以四边形在侧面内的投影是一条线段或者是平行四边形，所以D不正确．故选：AC.11.已知函数的定义域为，满足，当，，则（）A. B.在上单调递减C.在上有极小值 D.〖答案〗ABD〖解析〗A选项：因为，当时，，所以，所以，故A正确．B选项：令，所以，所以，即，所以，所以，当时，在上单调递减，且，当时，上单调递减，且，所以在上单调递减，故B正确．C选项：令，所以，所以，即，由B可得，，所以，则上递增，在上递减，所以在上有极大值，故C不正确．D选项：根据对称性，由，所以，，所以由时，得，即，故D正确．故选：ABD.三、填空题12.设向量，的夹角为，且，，则______．〖答案〗9〖解析〗法1：由向量数量积几何意义得，在向量上的投影的数量为，所以，所以；法2：根据数量积定义有，所以；法3：设，，，所以.故〖答案〗为：.13.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，椭圆，记P为抛物线与D在第一象限的交点，延长PO交D于Q，若，则的面积为______．〖答案〗〖解析〗由，可得，由，可得与椭圆短轴的一个顶点重合，根据椭圆的对称性，，所以的面积等于的面积的2倍，由抛物线的定义知，点到准线的距离为，所以点的横坐标为，代入抛物线得点的纵坐标为，所以的面积为．故〖答案〗为：.14.已知球O的半径为4，平面，与球面分别相交，得圆C与圆D，AB为圆C与圆D的公共弦，若，，则点O到直线AB的距离为______，四面体ABCD的体积为______．〖答案〗〖解析〗取AB的中点E，根据球的截面性质得，则截面圆C，截面圆D，可知，，平面OCED，所以平面OCED，且平面OCED，所以，所以OE就是点O到直线AB的距离，因为，即，可得，因为，即，可得，同理可得，，又因为，即，所以点O到直线AB的距离为，在中，，可知，同理可得，即，所以是等边三角形，其面积为，所以四面体ABCD的体积．故〖答案〗为：；.四、解答题15.已知数列中，，．（1）求的通项公式；（2）设数列是等差数列，记为数列的前n项和,，，求．解：（1）由，得，当时，，当时，，所以．（2）设数列的公差为d，因为，得，易知，因为，所以，可得，又因为，所以，所以．16.如图，三棱柱中，，，，M为的中点．（1）求证：平面ABC；（2）若平面ABC⊥平面，，，求二面角的正弦值．（1）证明：取BC的中点D，连接AD，ND，因为N是的中点，所以，且，又因为M为的中点，所以，且，所以且，所以四边形AMND是平行四边形，所以，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．（2）解：取AB的中点O，连接OC，因为，所以OC⊥AB，又因为平面ABC⊥平面，平面平面，所以OC⊥平面，因为，，连接，所以，，以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则，，，，，，，所以，，，设平面BMN的法向量为，所以，所以，解得平面BMN的一个法向量为，设平面的法向量为，所以，所以，解得平面的一个法向量为，所以，则，所以二面角的正弦值为．17.已知椭圆：的左右顶点分别为，，过的直线与交于点，点在上，.（1）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；（2）求面积的最大值.（1）证明：由题意可知，，设点，，，因为，得，所以，即；（2）解：不妨令，，，由（1）可设直线的斜率，则直线：，将代入中，得，所以，所以，因为，用替换，得，，所以的面积，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以当时，有最小值，即，所以（当且仅当，即时等号成立），所以面积的最大值为.18.蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有--定的改良蓝莓植株基因的作用，能使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升．某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植株中的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植株．（1）经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概率；（2）从该基地多个种植区域随机选取-一个，记为甲区域，在甲区域第一次喷洒A型营养药后，对全部N株植株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能值；（3）该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组n株，一株检测费为10元，n株混合后的检测费用为元，若混合后检测出有未改良成功的，还需逐一检测，求n的估计值，使每株检测的平均费用最小，并求出最小值．（结果精确到0.1元）解：（1）记事件“该基地的植株经过三次喷洒后，随机检测一株植株能获得基因改良”，所以，（2）因为植株经过一次喷洒后基因改良的概率为0.8，经过一次喷洒后基因改良的株数k服从二项分布，，当时，当时，设若时，则若时，则，所以，解得，又，所以所以甲区域种植总数N的最大可能值为202株．（3）设每组n株的总费用为X元，则X的取值为，所以XP所以则每组中每株检测的平均费用为所以因为所以（当且仅当时等号成立）所以当以10个每组时，检测成本最低，每株2.6元．19.设函数的定义域为I，若，曲线在处的切线l与曲线有n个公共点，则称为函数的“n度点”，切线l为一条“n度切线”．（1）判断点是否为函数的“2度点”，说明理由；（2）设函数.①直线是函数的一条“1度切线”，求a的值；②若，求函数的“1度点”.解：（1）因为，所以，，则函数在点处的切线方程，将切线l的方程与联立得，记，，当时，，当和时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，，因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点，则点为函数的“2度点”．（2）①设直线与曲线相切于点，，，则，整理得，对于给定函数我们定义它的导数为，定义它的导数的导数为.设，则，，在上单调递减，在上单调递增，，在R上递增，又，，，经检验符合题意；②设点，曲线在点P处的切线方程为，令，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，有唯一零点，，且，，令，则，，，单调递减；，，单调递增；（i）若，由，；，，在R上单调递增，只有唯一零点；（ii）若，由，单调递增，且，则当，，，当，，其中，，必存在，使得，，故在内存在零点，即在R上至少有两个零点；（iii）若，同理利用，可得在R上至少有两个零点；综上所述，函数的“1度点”为．辽宁省丹东市2024届高三总复习质量测试（二）数学试卷一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，，所以，，．故选：D.2.样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为（）A.17 B.18 C.19 D.20〖答案〗C〖解析〗数据从小到大排序为12，13，14，14，16，18，20，24，则，所以75%分位数为.故选：C.3.一个口袋中装有大小形状相同的3个红球和2个白球，从中不放回抽取3个球，已知口袋中剩下的2个球颜色相同的条件下，抽取的3个球颜色不同的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗事件“口袋中剩下的2个球颜色相同”，事件“抽取的3个球颜色不同”，所以事件A共有个基本事件，事件AB共有个基本事件，所以．故选：A4.过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（）A. B.2 C. D.4〖答案〗C〖解析〗如图，由圆可得x轴，y轴，即是过点O的切线，所以切点为，，故．故选：C.5.在△中，点D在边上，平分，，，，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以,即，代入，，可得，则，解得．故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解法1：由，得，得，得，所以，所以．解法2：将展开得，整理得，即，所以．故选：A7已知函数，，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数，可得，当时，；当时，；当时，，所以在和上递增，在上递减，因为，可得，所以，又因为，，所以，所以，即，所以.故选：D.8.双曲线的右焦点为，点在轴的正半轴上，直线与在第一象限的交点为，，且，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设双曲线的左焦点为，连接，，由，则，又，所以，则，，根据双曲线的性质有，又，所以，所以，所以，即，又，即，即，所以．故选：A二、选择题9.已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（）A.是虚数B.若，则C.若，则与对应的点关于x轴对称D.若是纯虚数，则〖答案〗ACD〖解析〗可设复数，A选项：根据虚数定义可知A正确；B选项：，所以，则，所以，，所以，故B不正确；C选项：若，所以，所以，，所以，对应的点分别为和，则关于x轴对称，故C正确；D选项：因为，且是纯虚数，所以，所以，，则，所以，故D正确．故选：ACD.10.在正方体中，过对角线的平面与，分别交于，且，，则（）A.四边形一定是平行四边形B.四边形可能是正方形C.D.四边形在侧面内的投影一定是平行四边形〖答案〗AC〖解析〗对于A中，在正方体，平面平面，又因为平面平面，且平面平面，所以，同理可证，所以四边形是平行四边形，所以A正确；对于B中，四边形是平行四边形，不妨设，当为中点时，，，所以，所以B不正确；对于C中，因为，，由A知，，所以，即，所以C正确．对于D中，当点与重合时，且点与重合（或）时，直线在平面内的射影为，此时，即为，所以四边形在侧面内的投影是一条线段或者是平行四边形，所以D不正确．故选：AC.11.已知函数的定义域为，满足，当，，则（）A. B.在上单调递减C.在上有极小值 D.〖答案〗ABD〖解析〗A选项：因为，当时，，所以，所以，故A正确．B选项：令，所以，所以，即，所以，所以，当时，在上单调递减，且，当时，上单调递减，且，所以在上单调递减，故B正确．C选项：令，所以，所以，即，由B可得，，所以，则上递增，在上递减，所以在上有极大值，故C不正确．D选项：根据对称性，由，所以，，所以由时，得，即，故D正确．故选：ABD.三、填空题12.设向量，的夹角为，且，，则______．〖答案〗9〖解析〗法1：由向量数量积几何意义得，在向量上的投影的数量为，所以，所以；法2：根据数量积定义有，所以；法3：设，，，所以.故〖答案〗为：.13.已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，椭圆，记P为抛物线与D在第一象限的交点，延长PO交D于Q，若，则的面积为______．〖答案〗〖解析〗由，可得，由，可得与椭圆短轴的一个顶点重合，根据椭圆的对称性，，所以的面积等于的面积的2倍，由抛物线的定义知，点到准线的距离为，所以点的横坐标为，代入抛物线得点的纵坐标为，所以的面积为．故〖答案〗为：.14.已知球O的半径为4，平面，与球面分别相交，得圆C与圆D，AB为圆C与圆D的公共弦，若，，则点O到直线AB的距离为______，四面体ABCD的体积为______．〖答案〗〖解析〗取AB的中点E，根据球的截面性质得，则截面圆C，截面圆D，可知，，平面OCED，所以平面OCED，且平面OCED，所以，所以OE就是点O到直线AB的距离，因为，即，可得，因为，即，可得，同理可得，，又因为，即，所以点O到直线AB的距离为，在中，，可知，同理可得，即，所以是等边三角形，其面积为，所以四面体ABCD的体积．故〖答案〗为：；.四、解答题15.已知数列中，，．（1）求的通项公式；（2）设数列是等差数列，记为数列的前n项和,，，求．解：（1）由，得，当时，，当时，，所以．（2）设数列的公差为d，因为，得，易知，因为，所以，可得，又因为，所以，所以．16.如图，三棱柱中，，，，M为的中点．（1）求证：平面ABC；（2）若平面ABC⊥平面，，，求二面角的正弦值．（1）证明：取BC的中点D，连接AD，ND，因为N是的中点，所以，且，又因为M为的中点，所以，且，所以且，所以四边形AMND是平行四边形，所以，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．（2）解：取AB的中点O，连接OC，因为，所以OC⊥AB，又因为平面ABC⊥平面，平面平面，所以OC⊥平面，因为，，连接，所以，，以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则，，，，，，，所以，，，设平面BMN的法向量为，所以，所以，解得平面BMN的一个法向量为，设平面的法向量为，所以，所以，解得平面的一个法向量为，所以，则，所以二面角的正弦值为．17.已知椭圆：的左右顶点分别为，，过的直线与交于点，点在上，.（1）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；（2）求面积的最大值.（1）证明：由题意可知，，设点，，，因为，得，所以，即；（2）解：不妨令，，，由（1）可设直线的斜率，则直线：，将代入中，得，所以，所以，因为，用替换，得，，所以的面积，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以当时，有最小值，即，所以（当且仅当，即时等号成立），所以面积的最大值为.18.蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有--定的改良蓝莓植株基因的作用，能使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升．某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植株中的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植株．（1）经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概率；（2）从该基地多个种植区域随机选取-一个，记为甲区域，在甲区域第一次喷洒A型营养药后，对全部N株植株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能值；（3）该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组n株，一株检测费为10元，n株混合后的检测费用为元，若混合后检测出有未改良成功的，还需逐一检测