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高级中学名校试卷PAGEPAGE3河北省保定市十校2024届高三三模数学试题一、选择题1.已知复数满足,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗设,则.因为,则,可得,解得,即,所以复数在复平面内对应的点为,位于第一象限.故选:A.2.已知椭圆的离心率为,则()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由椭圆,可得,,则,所以,解得.故选:B.3.若集合,,且,则的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由,即,解得,所以,当时,,符合,当时,由,解得,所以,因为,所以,解得.综上可得的取值范围为.故选:D4.设,是两个不同的平面,,是两条不同的直线,且则“”是“且”的()A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗当时,可能在内或者内,故不能推出且,所以充分性不成立;当且时,设存在直线,,且,因为,所以,根据直线与平面平行的性质定理,可知,所以,即必要性成立,故“”是“且”的必要不充分条件.故选:C.5.三人被邀请参加同一个时间段两个晚会,若两个晚会都必须有人去,去几人自行决定,且每人最多参加一个晚会,则不同的去法有()A.8种 B.12种 C.16种 D.24种〖答案〗B〖解析〗第一种情况,只有两人参加晚会,有种去法;第二种情况,三人参加晚会,有种去法,共12种去法.故选:B.6.在中,内角,,的对边分别为,,,且,,则()A.为直角三角形 B.为锐角三角形C.为钝角三角形 D.的形状无法确定〖答案〗A〖解析〗由,可得,则,,,即,由,故只能为锐角,可得,因为,所以,.故选:A.7.已知0是函数的极大值点,则的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为,所以,令,可得或,当,即时,令,得或;令,得;所以,上单调递增,在上单调递减,所以是函数的极大值点,满足题意;当,即时,恒成立,则在上单调递增,没有极值点,不满足题意;当,即时,令,得或;令,得;所以在,上单调递增,在上单调递减,所以是函数的极小值点,不满足题意;综上,,即的取值范围为.故选:A.8.假设在某种细菌培养过程中,正常细菌每小时分裂1次(1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌),非正常细菌每小时分裂1次(1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌).若1个正常细菌经过14小时的培养,则可分裂成的细菌的个数为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设经过小时,有个正常细菌,个非正常细菌,则,.又,,所以,,则,则,所以是首项为和公差均为的等差数列,所以,所以,所以.故选:C.二、选择题9.已知函数,则()A.是偶函数; B.是周期为的周期函数;C.在上单调递增; D.的最小值为.〖答案〗AD〖解析〗因为,所以是偶函数,故A正确;易知,故B错误;当时,,因为,所以在上单调递减,又单调递增,所以在上单调递减,故C错误;易知,所以是周期为的周期函数,当时,,显然时,时,则的最小值为,故D正确.故选:AD10.设,是双曲线的两条渐近线,若直线与直线关于直线对称,则双曲线的离心率的平方可能为()A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗由题可知经过第二、四象限,经过第一、三象限,设的倾斜角为.当时,则,即,,即,所以.当时,,即,,即,所以.综上,双曲线的离心率的平方为.故选:CD.11.在长方形中,,,点在线段上(不包含端点),沿将折起,使二面角的大小为,,则()A.存在某个位置,使得B.存在某个位置,使得直线平面C.四棱锥体积的最大值为D.当时,线段长度的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗设点A在平面上的投影为,即,而当时,平面,所以平面,平面,所以,这种情况显然存在,故A正确;若平面,平面,平面平面,所以,显然矛盾,故B错误;设,,则点A到的距离为,,,要使得四棱锥的体积最大,则,此时四棱锥的体积,,在上单调递减,且当时,.令,,则,,所以在上单调递增,在上单调递减,故,即四棱锥体积的最大值为,C正确.过A,作的垂线,垂足分别为,,从而得到,,又,所以.因为二面角的大小为,所以与的夹角为120°.设,,则,,,,,所以,所以.故当时,有最小值28,故线段长度的最小值为,D正确.故选:ACD三、填空题12.的展开式中的系数为___________.〖答案〗〖解析〗由,所以的展开式中含的项为,所以的展开式中的系数为.故〖答案〗为:.13.已知奇函数的定义域为,,且,则在上的零点个数的最小值为___________.〖答案〗9〖解析〗由,可得的图象关于点对称,又是奇函数,所以,则的周期为3,所以,,而,则.故在上的零点个数的最小值为9.故〖答案〗为:9.14.设,则的最大值为___________.〖答案〗2〖解析〗设,则,,当且仅当,时,等号成立,故.令,解得,,所以,当,时,等号成立.故〖答案〗为:2.四、解答题15.已知,函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.(1)求的值;(2)求在上的值域.解:(1)因,所以,则.因为,所以切点坐标为,所以的图象在点处的切线方程为.令,得,又,所以,所以.(2)由(1)可知,令,解得,所以在上单调递增.令,解得,所以在上单调递减,又,,,所以在上的值域为.16.教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数,得到如下数据:甲777377818581778593737781乙7181737371738573已知甲12次投篮次数的方差,乙8次投篮次数的方差.(1)求这20次投篮次数的平均数与方差.(2)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为,乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲,且甲、乙总共投篮了3次,表示甲投篮的次数,求的分布列与期望.解:(1)甲12次投篮次数的平均数,乙8次投篮次数的平均数.这20次投篮次数的平均数,方差.(2)的可能取值为1,2,3,则,,,所以的分布列为123.17.如图,在三棱柱中,,四边形为菱形,,.(1)证明:.(2)已知平面平面,求二面角的正弦值.(1)证明:设为的中点,连接,,,,因为,所以,因为四边形为菱形,,所以为等边三角形,则,又平面,平面,,所以平面,因为平面,所以,因为,平面平面,平面,,所以平面,因为平面,所以,所以四边形为菱形,即.(2)解:因为平面平面,且平面平面,,所以平面;以为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设.则,,,,,可得,,.设平面的法向量为,则令,则,,可得.设平面的法向量为,则令,则,,可得.,故二面角的正弦值为.18.“完全数”是一类特殊的自然数,它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数,记函数,为的所有正因数之和.(1)判断28是否为完全数,并说明理由.(2)已知,若为质数,证明:为完全数.(3)已知,求,的值.(1)解:28的所有正因数为1,2,4,7,14,28,因为,所以28是完全数.(2)证明:的正因数为,,,,,,,,,,,所以为完全数.(3)解:的正因数为,,,,,,,,,,,,,,,,所以.因为,所以.19.已知为坐标原点,经过点的直线与抛物线交于,(,异于点)两点,且以为直径的圆过点.(1)求的方程;(2)已知,,是上的三点,若为正三角形,为的中心,求直线斜率的最大值.解:(1)设,,,联立方程得,则,.因为以为直径的圆过点,所以,则,即,解得,所以,解得,所以的方程为.(2)设,,.不妨设,,按逆时针顺序排列.①当有一边斜率不存在时,另一顶点为,不妨设,则,.与抛物线的方程联立得,,中心.②当三边的斜率都存在时,,.又,所以,化简可得,同理可得,,三式相加得.因为,,是上的三点,所以,又,所以.设,则,,代入上式得.又①也满足,所以的轨迹方程为.当,直线的斜率为,当且仅当时,直线的斜率取得最大值.当时,直线的斜率.综上,直线斜率的最大值为.河北省保定市十校2024届高三三模数学试题一、选择题1.已知复数满足,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗设,则.因为,则,可得,解得,即,所以复数在复平面内对应的点为,位于第一象限.故选:A.2.已知椭圆的离心率为,则()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由椭圆,可得,,则,所以,解得.故选:B.3.若集合,,且,则的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由,即,解得,所以,当时,,符合,当时,由,解得,所以,因为,所以,解得.综上可得的取值范围为.故选:D4.设,是两个不同的平面,,是两条不同的直线,且则“”是“且”的()A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗当时,可能在内或者内,故不能推出且,所以充分性不成立;当且时,设存在直线,,且,因为,所以,根据直线与平面平行的性质定理,可知,所以,即必要性成立,故“”是“且”的必要不充分条件.故选:C.5.三人被邀请参加同一个时间段两个晚会,若两个晚会都必须有人去,去几人自行决定,且每人最多参加一个晚会,则不同的去法有()A.8种 B.12种 C.16种 D.24种〖答案〗B〖解析〗第一种情况,只有两人参加晚会,有种去法;第二种情况,三人参加晚会,有种去法,共12种去法.故选:B.6.在中,内角,,的对边分别为,,,且,,则()A.为直角三角形 B.为锐角三角形C.为钝角三角形 D.的形状无法确定〖答案〗A〖解析〗由,可得,则,,,即,由,故只能为锐角,可得,因为,所以,.故选:A.7.已知0是函数的极大值点,则的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为,所以,令,可得或,当,即时,令,得或;令,得;所以,上单调递增,在上单调递减,所以是函数的极大值点,满足题意;当,即时,恒成立,则在上单调递增,没有极值点,不满足题意;当,即时,令,得或;令,得;所以在,上单调递增,在上单调递减,所以是函数的极小值点,不满足题意;综上,,即的取值范围为.故选:A.8.假设在某种细菌培养过程中,正常细菌每小时分裂1次(1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌),非正常细菌每小时分裂1次(1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌).若1个正常细菌经过14小时的培养,则可分裂成的细菌的个数为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设经过小时,有个正常细菌,个非正常细菌,则,.又,,所以,,则,则,所以是首项为和公差均为的等差数列,所以,所以,所以.故选:C.二、选择题9.已知函数,则()A.是偶函数; B.是周期为的周期函数;C.在上单调递增; D.的最小值为.〖答案〗AD〖解析〗因为,所以是偶函数,故A正确;易知,故B错误;当时,,因为,所以在上单调递减,又单调递增,所以在上单调递减,故C错误;易知,所以是周期为的周期函数,当时,,显然时,时,则的最小值为,故D正确.故选:AD10.设,是双曲线的两条渐近线,若直线与直线关于直线对称,则双曲线的离心率的平方可能为()A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗由题可知经过第二、四象限,经过第一、三象限,设的倾斜角为.当时,则,即,,即,所以.当时,,即,,即,所以.综上,双曲线的离心率的平方为.故选:CD.11.在长方形中,,,点在线段上(不包含端点),沿将折起,使二面角的大小为,,则()A.存在某个位置,使得B.存在某个位置,使得直线平面C.四棱锥体积的最大值为D.当时,线段长度的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗设点A在平面上的投影为,即,而当时,平面,所以平面,平面,所以,这种情况显然存在,故A正确;若平面,平面,平面平面,所以,显然矛盾,故B错误;设,,则点A到的距离为,,,要使得四棱锥的体积最大,则,此时四棱锥的体积,,在上单调递减,且当时,.令,,则,,所以在上单调递增,在上单调递减,故,即四棱锥体积的最大值为,C正确.过A,作的垂线,垂足分别为,,从而得到,,又,所以.因为二面角的大小为,所以与的夹角为120°.设,,则,,,,,所以,所以.故当时,有最小值28,故线段长度的最小值为,D正确.故选:ACD三、填空题12.的展开式中的系数为___________.〖答案〗〖解析〗由,所以的展开式中含的项为,所以的展开式中的系数为.故〖答案〗为:.13.已知奇函数的定义域为,,且,则在上的零点个数的最小值为___________.〖答案〗9〖解析〗由,可得的图象关于点对称,又是奇函数,所以,则的周期为3,所以,,而,则.故在上的零点个数的最小值为9.故〖答案〗为:9.14.设,则的最大值为___________.〖答案〗2〖解析〗设,则,,当且仅当,时,等号成立,故.令,解得,,所以,当,时,等号成立.故〖答案〗为:2.四、解答题15.已知,函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.(1)求的值;(2)求在上的值域.解:(1)因,所以,则.因为,所以切点坐标为,所以的图象在点处的切线方程为.令,得,又,所以,所以.(2)由(1)可知,令,解得,所以在上单调递增.令,解得,所以在上单调递减,又,,,所以在上的值域为.16.教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数,得到如下数据:甲777377818581778593737781乙7181737371738573已知甲12次投篮次数的方差,乙8次投篮次数的方差.(1)求这20次投篮次数的平均数与方差.(2)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为,乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲,且甲、乙总共投篮了3次,表示甲投篮的次数,求的分布列与期望.解:(1)甲12次投篮次数的平均数,乙8次投篮次数的平均数.这20次投篮次数的平均数,方差.(2)的可能取值为1,2,3,则,,,所以的分布列为123.17.如图,在三棱柱中,,四边形为菱形,,.(1)证明:.(2)已知平面平面,求二面角的正弦值.(1)证明:设为的中点,连接,,,,因为,所以,因为四边形为菱形,,所以为等边三角形,则,又平面,平面,,所以平面,因为平面,所以,因为,平面平面,
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