2024届河北省保定市十校高三三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3河北省保定市十校2024届高三三模数学试题一、选择题1.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗设，则.因为，则，可得，解得，即，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.2.已知椭圆的离心率为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由椭圆，可得，，则，所以，解得.故选：B.3.若集合，，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，解得，所以，当时，，符合，当时，由，解得，所以，因为，所以，解得.综上可得的取值范围为.故选：D4.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立；当且时，设存在直线，，且，因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知，所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件.故选：C.5.三人被邀请参加同一个时间段两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（）A.8种 B.12种 C.16种 D.24种〖答案〗B〖解析〗第一种情况，只有两人参加晚会，有种去法；第二种情况，三人参加晚会，有种去法，共12种去法.故选：B.6.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（）A.为直角三角形 B.为锐角三角形C.为钝角三角形 D.的形状无法确定〖答案〗A〖解析〗由，可得，则，，，即，由，故只能为锐角，可得，因为，所以，.故选：A.7.已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，令，可得或，当，即时，令，得或；令，得；所以，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，满足题意；当，即时，恒成立，则在上单调递增，没有极值点，不满足题意；当，即时，令，得或；令，得；所以在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，不满足题意；综上，，即的取值范围为.故选：A.8.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.又，，所以，，则，则，所以是首项为和公差均为的等差数列，所以，所以，所以.故选：C.二、选择题9.已知函数，则（）A.是偶函数； B.是周期为的周期函数；C.在上单调递增； D.的最小值为.〖答案〗AD〖解析〗因为，所以是偶函数，故A正确；易知，故B错误；当时，，因为，所以在上单调递减，又单调递增，所以在上单调递减，故C错误；易知，所以是周期为的周期函数，当时，，显然时，时，则的最小值为，故D正确.故选：AD10.设，是双曲线的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方可能为（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为.当时，则，即，，即，所以.当时，，即，，即，所以.综上，双曲线的离心率的平方为.故选：CD.11.在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则（）A.存在某个位置，使得B.存在某个位置，使得直线平面C.四棱锥体积的最大值为D.当时，线段长度的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗设点A在平面上的投影为，即，而当时，平面，所以平面，平面，所以，这种情况显然存在，故A正确；若平面，平面，平面平面，所以，显然矛盾，故B错误；设，，则点A到的距离为，，，要使得四棱锥的体积最大，则，此时四棱锥的体积，，在上单调递减，且当时，.令，，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，即四棱锥体积的最大值为，C正确.过A，作的垂线，垂足分别为，，从而得到，，又，所以.因为二面角的大小为，所以与的夹角为120°.设，，则，，，，，所以，所以.故当时，有最小值28，故线段长度的最小值为，D正确.故选：ACD三、填空题12.的展开式中的系数为___________.〖答案〗〖解析〗由，所以的展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为.故〖答案〗为：.13.已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为___________.〖答案〗9〖解析〗由，可得的图象关于点对称，又是奇函数，所以，则的周期为3，所以，，而，则.故在上的零点个数的最小值为9.故〖答案〗为：9.14.设，则的最大值为___________.〖答案〗2〖解析〗设，则，，当且仅当，时，等号成立，故.令，解得，，所以，当，时，等号成立.故〖答案〗为：2.四、解答题15.已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）因，所以，则.因为，所以切点坐标为，所以的图象在点处的切线方程为.令，得，又，所以，所以.（2）由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增.令，解得，所以在上单调递减，又，，，所以在上的值域为.16.教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：甲777377818581778593737781乙7181737371738573已知甲12次投篮次数的方差，乙8次投篮次数的方差.（1）求这20次投篮次数的平均数与方差.（2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望.解：（1）甲12次投篮次数的平均数，乙8次投篮次数的平均数.这20次投篮次数的平均数，方差.（2）的可能取值为1，2，3，则，，，所以的分布列为123.17.如图，在三棱柱中，,四边形为菱形，，.（1）证明：.（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.（1）证明：设为的中点，连接，，，，因为，所以，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则，又平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，平面平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，所以四边形为菱形，即.（2）解：因为平面平面，且平面平面，，所以平面；以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.则，，，，，可得，，.设平面的法向量为，则令，则，，可得.设平面的法向量为，则令，则，，可得.，故二面角的正弦值为.18.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为的所有正因数之和.（1）判断28是否为完全数，并说明理由.（2）已知，若为质数，证明：为完全数.（3）已知，求，的值.（1）解：28的所有正因数为1，2，4，7，14，28，因为，所以28是完全数.（2）证明：的正因数为，，，，，，，，，，，所以为完全数.（3）解：的正因数为，，，，，，，，，，，，，，，，所以.因为，所以.19.已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于，（，异于点）两点，且以为直径的圆过点.（1）求的方程；（2）已知，，是上的三点，若为正三角形，为的中心，求直线斜率的最大值.解：（1）设，，，联立方程得，则，.因为以为直径的圆过点，所以，则，即，解得，所以，解得，所以的方程为.（2）设，，.不妨设，，按逆时针顺序排列.①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设，则，.与抛物线的方程联立得，，中心.②当三边的斜率都存在时，，.又，所以，化简可得，同理可得，，三式相加得.因为，，是上的三点，所以，又，所以.设，则，，代入上式得.又①也满足，所以的轨迹方程为.当，直线的斜率为，当且仅当时，直线的斜率取得最大值.当时，直线的斜率.综上，直线斜率的最大值为.河北省保定市十校2024届高三三模数学试题一、选择题1.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗设，则.因为，则，可得，解得，即，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.2.已知椭圆的离心率为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由椭圆，可得，，则，所以，解得.故选：B.3.若集合，，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，解得，所以，当时，，符合，当时，由，解得，所以，因为，所以，解得.综上可得的取值范围为.故选：D4.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立；当且时，设存在直线，，且，因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知，所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件.故选：C.5.三人被邀请参加同一个时间段两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（）A.8种 B.12种 C.16种 D.24种〖答案〗B〖解析〗第一种情况，只有两人参加晚会，有种去法；第二种情况，三人参加晚会，有种去法，共12种去法.故选：B.6.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（）A.为直角三角形 B.为锐角三角形C.为钝角三角形 D.的形状无法确定〖答案〗A〖解析〗由，可得，则，，，即，由，故只能为锐角，可得，因为，所以，.故选：A.7.已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，令，可得或，当，即时，令，得或；令，得；所以，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，满足题意；当，即时，恒成立，则在上单调递增，没有极值点，不满足题意；当，即时，令，得或；令，得；所以在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，不满足题意；综上，，即的取值范围为.故选：A.8.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.又，，所以，，则，则，所以是首项为和公差均为的等差数列，所以，所以，所以.故选：C.二、选择题9.已知函数，则（）A.是偶函数； B.是周期为的周期函数；C.在上单调递增； D.的最小值为.〖答案〗AD〖解析〗因为，所以是偶函数，故A正确；易知，故B错误；当时，，因为，所以在上单调递减，又单调递增，所以在上单调递减，故C错误；易知，所以是周期为的周期函数，当时，，显然时，时，则的最小值为，故D正确.故选：AD10.设，是双曲线的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方可能为（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为.当时，则，即，，即，所以.当时，，即，，即，所以.综上，双曲线的离心率的平方为.故选：CD.11.在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则（）A.存在某个位置，使得B.存在某个位置，使得直线平面C.四棱锥体积的最大值为D.当时，线段长度的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗设点A在平面上的投影为，即，而当时，平面，所以平面，平面，所以，这种情况显然存在，故A正确；若平面，平面，平面平面，所以，显然矛盾，故B错误；设，，则点A到的距离为，，，要使得四棱锥的体积最大，则，此时四棱锥的体积，，在上单调递减，且当时，.令，，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，即四棱锥体积的最大值为，C正确.过A，作的垂线，垂足分别为，，从而得到，，又，所以.因为二面角的大小为，所以与的夹角为120°.设，，则，，，，，所以，所以.故当时，有最小值28，故线段长度的最小值为，D正确.故选：ACD三、填空题12.的展开式中的系数为___________.〖答案〗〖解析〗由，所以的展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为.故〖答案〗为：.13.已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为___________.〖答案〗9〖解析〗由，可得的图象关于点对称，又是奇函数，所以，则的周期为3，所以，，而，则.故在上的零点个数的最小值为9.故〖答案〗为：9.14.设，则的最大值为___________.〖答案〗2〖解析〗设，则，，当且仅当，时，等号成立，故.令，解得，，所以，当，时，等号成立.故〖答案〗为：2.四、解答题15.已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）因，所以，则.因为，所以切点坐标为，所以的图象在点处的切线方程为.令，得，又，所以，所以.（2）由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增.令，解得，所以在上单调递减，又，，，所以在上的值域为.16.教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：甲777377818581778593737781乙7181737371738573已知甲12次投篮次数的方差，乙8次投篮次数的方差.（1）求这20次投篮次数的平均数与方差.（2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望.解：（1）甲12次投篮次数的平均数，乙8次投篮次数的平均数.这20次投篮次数的平均数，方差.（2）的可能取值为1，2，3，则，，，所以的分布列为123.17.如图，在三棱柱中，,四边形为菱形，，.（1）证明：.（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.（1）证明：设为的中点，连接，，，，因为，所以，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则，又平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，平面平面，