2023-2024学年贵州省六盘水市高二下学期期中质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题注意事项：1.答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卷上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卷上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卷交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）．A.5，7 B.6，7 C.8，5 D.8，7〖答案〗D〖解析〗数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选：D．2.设集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，，则.故选：A3.设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（）A.4 B.8 C.16 D.32〖答案〗C〖解析〗根据题意，椭圆中，根据椭圆定义，的周长为.故选：C4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗D〖解析〗D.由，公差，得，从而，所以，解得k=55.已知，，，则（）A.6 B.7 C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，则，所以.故选：B.6.已知函数是最小正周期为的奇函数，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，且，又因为，可得，所以，若，即，所以.故选：B.7.现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设事件“选中第一袋”，事件“选中第二袋”，事件“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各一份”，则，且，，，所以.故选：C.8.已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得当时，方程为，图形为单位圆在第一象限的部分（含端点）；当时，方程为，图形为双曲线在第四象限的部分；当时，方程为，图形为双曲线在第二象限的部分；当时，方程为，没有意义，不表示任何图形.作出的图形，如图，设点为曲线上的一个动点，则A到直线的距离为，由图可知，当A在圆心O到直线的垂线段上时，即时，，达到最小值；又双曲线、的一条渐近线方程为，所以小于直线与的距离，而这两直线的距离为，故，解得，即的取值范围为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是虚数单位，是复数，则下列说法正确的是（）A. B.的虚部是C. D.对应的点在第一象限〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：，故A错误；对于选项B：因为，所以的虚部是，故B正确；对于选项C：设，则，所以，故C正确；对于选项D：对应的点的坐标为，位于第一象限，故D正确；故选：BCD.10.同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，是偶函数，且最大值为，满足条件，故A正确；对于B，最大值为，不满足条件②，故B错误；对于C，无最大值，故C错误；对于D，偶函数，且最大值为，满足条件，故D正确.故选：AD11.已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（）A. B.0是的极值点C.在上单调递增 D.的最小值为0〖答案〗ABC〖解析〗由，则，令，易得，是单调递增函数且是奇函数，由上可得，，则，故A正确；，由恒成立，所以时，，则单调递减，时，，则单调递增，且0是的极值小点，，所以最小值为，故BC正确，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，.则__________.〖答案〗〖解析〗根据题意，，所以.故〖答案〗为：13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有__________斛.〖答案〗10〖解析〗设圆锥底面半径为尺，则，解得，所以圆锥的体积为立方尺，所以堆放的米约有斛.故〖答案〗为：1014.已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗设函数，，由在上仅有两个零点，即在上仅有两个根，即与的图象在上仅有两个交点，先研究与的图象相切的情况，如图，设公切点，即点同时在函数，图象上，在点处的切线斜率相等，就有，，则，有，函数的图象向右平移便可知，仅有两个零点，根据图象，可知实数的取值范围介于当或者1时，即.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.（1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数”的概率.解：（1）可能取的值为0，1，2..所以，的分布列为012P（2）由（1），的数学期望为;（3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为.16.如图，长方体中，，点M是棱的中点，点E在上，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值解：（1）由已知中点为，连接交于点，连接，因为，,得点E是CM的中点，O是AC的中点，所以，平面，平面，所以平面；（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系.依题设，，，，，.，，设向量是平面的法向量，则，即，令，则，，由已知是平面的一个法向量.记平面与平面的夹角为，.17.已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2），，求的取值范围.解：（1）当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，；（2），，，令，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，，即取值范围是.18.在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线C：相切.（1）求m的值；（2）已知点，在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程.解：（1）因为直线与抛物线C：相切，所以方程组有唯一解，所以有唯一解，所以，且，解得．（2）设直线的方程为，，因为点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限，联立方程，消去x得，则，可得，因为，即，整理得，即，解得，可知直线的方程为，可知，，符合题意，则四边形的面积为．令，所以，因为在上恒成立，可知在上单调递增，当且仅当，即时，，所以四边形面积的最小值为，此时直线的方程为.19.若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2）记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值；（3）记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.解：（1）由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为.（2）设，其中，且，因为，则，，，，则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，在数列中，；在数列中，；因为，可知，即项数m越大，数列和的距离越大，由得：，可知：若时，；又因为，可知：若时，；综上所述：所以m的最大值为3469.（3）假设T中的元素个数大于等于17个，在数列中，，则仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个：，那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的，设这个数列分别为；；，其中，因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，则在和中，中至少有三个成立，不妨设，由题意，中一个等于0，而另一个等于1，又因或1，于是得和中必有一个成立，同理可得：和中必有一个成立，和中必有一个成立，即“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立，从而得和中必有一个成立，与T中任何两个元素的距离大于或等于3矛盾，即假设不成立，所以T中的元素个数小于或等于16.贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题注意事项：1.答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卷上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卷上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卷交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）．A.5，7 B.6，7 C.8，5 D.8，7〖答案〗D〖解析〗数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，因此，这组数据的众数为8，中位数为7．故选：D．2.设集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，，则.故选：A3.设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（）A.4 B.8 C.16 D.32〖答案〗C〖解析〗根据题意，椭圆中，根据椭圆定义，的周长为.故选：C4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗D〖解析〗D.由，公差，得，从而，所以，解得k=55.已知，，，则（）A.6 B.7 C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，则，所以.故选：B.6.已知函数是最小正周期为的奇函数，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，且，又因为，可得，所以，若，即，所以.故选：B.7.现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设事件“选中第一袋”，事件“选中第二袋”，事件“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各一份”，则，且，，，所以.故选：C.8.已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得当时，方程为，图形为单位圆在第一象限的部分（含端点）；当时，方程为，图形为双曲线在第四象限的部分；当时，方程为，图形为双曲线在第二象限的部分；当时，方程为，没有意义，不表示任何图形.作出的图形，如图，设点为曲线上的一个动点，则A到直线的距离为，由图可知，当A在圆心O到直线的垂线段上时，即时，，达到最小值；又双曲线、的一条渐近线方程为，所以小于直线与的距离，而这两直线的距离为，故，解得，即的取值范围为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是虚数单位，是复数，则下列说法正确的是（）A. B.的虚部是C. D.对应的点在第一象限〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：，故A错误；对于选项B：因为，所以的虚部是，故B正确；对于选项C：设，则，所以，故C正确；对于选项D：对应的点的坐标为，位于第一象限，故D正确；故选：BCD.10.同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于A，是偶函数，且最大值为，满足条件，故A正确；对于B，最大值为，不满足条件②，故B错误；对于C，无最大值，故C错误；对于D，偶函数，且最大值为，满足条件，故D正确.故选：AD11.已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（）A. B.0是的极值点C.在上单调递增 D.的最小值为0〖答案〗ABC〖解析〗由，则，令，易得，是单调递增函数且是奇函数，由上可得，，则，故A正确；，由恒成立，所以时，，则单调递减，时，，则单调递增，且0是的极值小点，，所以最小值为，故BC正确，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，.则__________.〖答案〗〖解析〗根据题意，，所以.故〖答案〗为：13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有__________斛.〖答案〗10〖解析〗设圆锥底面半径为尺，则，解得，所以圆锥的体积为立方尺，所以堆放的米约有斛.故〖答案〗为：1014.已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是__________.〖答案〗〖解析〗设函数，，由在上仅有两个零点，即在上仅有两个根，即与的图象在上仅有两个交点，先研究与的图象相切的情况，如图，设公切点，即点同时在函数，图象上，在点处的切线斜率相等，就有，，则，有，函数的图象向右平移便可知，仅有两个零点，根据图象，可知实数的取值范围介于当或者1时，即.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.（1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数”的概率.解：（1）可能取的值为0，1，2..所以，的分布列为012P（2）由（1），的数学期望为;（3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为.16.如图，长方体中，，点M是棱的中点，点E在上，且.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值解：（1）由已知中点为，连接交于点，连接，因为，,得点E是CM的中点，O是AC的中点，所以，平面，平面，所以平面；（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系.依题设，，，，，.，，设向量是平面的法向量，则，即，令，则，，由已知是平面的一个法向量.记平面与平面的夹角为，.17.已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2），，求的取值范围.解：（1）当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，；（2），，，令，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，，即取值范围是.18.在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线C：相切.（1）求m的值；（2）已知点，在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程.解：（1）因为直线与抛物线C：相切，所以方程组有唯一解，所以有唯一解，所以，且，解得．（2）设