2023-2024学年广东省深圳市名校联考高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2广东省深圳市名校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由正弦定理，得.故选：B.3.如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗因为为等腰直角三角形，所以，，根据斜二测画法可得，所以.故选：B.4.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理知，因为，所以，故C正确.故选：C.5.已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得，则在上的投影向量为，故D正确.故选：D.6.在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（）A.，，三点确定一个平面 B.，，三点共线C.，，，四点共面 D.，，，四点共面〖答案〗B〖解析〗如下图所示：根据题意，连接，则，所以四点共面，所以面，又，所以面，又面，所以点在面与面的交线上面，同理可得点在面与面的交线上面，所以，，三点共线，故A选项错误，B选项正确；由异面直线判定定理可知C选项中为异面直线，故C选项错误；由异面直线判定定理可知D选项中为异面直线，故D选项错误.故选：B.7.如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若（，），则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以，，．故选：D.8.已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下图，四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点，而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得，因平面，平面，平面平面，因此得，于是得，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.若与是单位向量，则B.若非零向量与是相反向量，则C.D.若与共线，与共线，则与共线〖答案〗BC〖解析〗与是单位向量且方向不同时，，A错误；根据相反向量的定义可知，与方向相反且两个向量模相等，即，B正确；，C正确；若为零向量，、为非零向量，则与不一定共线，D错误．故选：BC.10.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，由正弦定理可得，又，所以，因为，，所以，所以，所以或，当时，；当时，，故A、C正确.故选：AC.11.已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点（包括边界），则下列结论中正确的是（）A.若，则满足条件的点不唯一B.若，则点的轨迹是一段圆弧C.若∥平面，则的最大值为D.若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为〖答案〗BCD〖解析〗由题意在上底面内，与上底面垂直，因此有，选项A，，则，但上底面矩形中，对角线，因此不存在符合条件的点，A错；选项B，由上可知，因此点轨迹是一段圆弧，B正确；选项C，连接，由与平行且相等得是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，∥平面，所以平面，从而，在中，，因此的最大值是，C正确；选项D，连接，交于点，连接，由正四棱柱性质可得，取中点，由与平行且相等可得是平行四边形，即，且，而平面，平面，因此平面，所以该点为满足条件点，平面即正四棱柱的对角面，它截正四棱柱的外接球的截面即为该球的大圆，由正四棱柱性质知其外接球直径等于四棱柱对角线长，因此截面面积为，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________.〖答案〗〖解析〗根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面，上底面半径下底面半径高则该圆台的母线长为故圆台的侧面积故〖答案〗为：.13.设，向量，，且，则____________；当时，的取值范围为____________．〖答案〗〖解析〗空1：因为，所以，即，得；空2：由题知，又，所以当时，取得最小值，最小值为12，当时，取得最大值，最大值为28，故的取值范围为．故〖答案〗为：.14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是边BC边上一点，，，且，则的最小值为____________．〖答案〗〖解析〗由等面积法可得：，所以，所以，可得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数（为虚数单位，），且是纯虚数.（1）求复数；（2）在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.解：（1）因为，且是纯虚数，所以是纯虚数，则，即，所以.（2），由题意可得，解得，所以实数的取值范围是.16.已知向量满足，，．（1）求与的夹角；（2）若，，求．解：（1）因为，，，设，所以，所以，因为，所以，即与的夹角为.（2）因为，则，故．17.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，且．（1）求B；（2）若，，求的取值范围．解：（1）由题知，所以，又，所以，所以，因为，，所以，又，所以．（2）因为，所以，即，又，所以，因为，所以，即，所以，故，所以，故的取值范围为．18.如图，正三棱柱中，E、F、G分别为棱、、的中点．（1）证明：∥平面；（2）在线段是否存在一点，使得平面∥平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：取的中点，连接，，在中，因为E、M分别为、的中点，所以且，又为的中点，，所以且，即且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）当N为的中点时，平面平面，证明：连接，，因为N，F分别是和的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面，，所以平面平面．19.重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.（1）将用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？解：（1）因为，，所以，.（2）因为，所以，在中，由余弦定理易得，因为，所以，当，即时，取最大值取最大值，此时，，故当时，取最大值.广东省深圳市名校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由正弦定理，得.故选：B.3.如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗因为为等腰直角三角形，所以，，根据斜二测画法可得，所以.故选：B.4.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理知，因为，所以，故C正确.故选：C.5.已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得，则在上的投影向量为，故D正确.故选：D.6.在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（）A.，，三点确定一个平面 B.，，三点共线C.，，，四点共面 D.，，，四点共面〖答案〗B〖解析〗如下图所示：根据题意，连接，则，所以四点共面，所以面，又，所以面，又面，所以点在面与面的交线上面，同理可得点在面与面的交线上面，所以，，三点共线，故A选项错误，B选项正确；由异面直线判定定理可知C选项中为异面直线，故C选项错误；由异面直线判定定理可知D选项中为异面直线，故D选项错误.故选：B.7.如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若（，），则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以，，．故选：D.8.已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下图，四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点，而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得，因平面，平面，平面平面，因此得，于是得，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.若与是单位向量，则B.若非零向量与是相反向量，则C.D.若与共线，与共线，则与共线〖答案〗BC〖解析〗与是单位向量且方向不同时，，A错误；根据相反向量的定义可知，与方向相反且两个向量模相等，即，B正确；，C正确；若为零向量，、为非零向量，则与不一定共线，D错误．故选：BC.10.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，由正弦定理可得，又，所以，因为，，所以，所以，所以或，当时，；当时，，故A、C正确.故选：AC.11.已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点（包括边界），则下列结论中正确的是（）A.若，则满足条件的点不唯一B.若，则点的轨迹是一段圆弧C.若∥平面，则的最大值为D.若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为〖答案〗BCD〖解析〗由题意在上底面内，与上底面垂直，因此有，选项A，，则，但上底面矩形中，对角线，因此不存在符合条件的点，A错；选项B，由上可知，因此点轨迹是一段圆弧，B正确；选项C，连接，由与平行且相等得是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，∥平面，所以平面，从而，在中，，因此的最大值是，C正确；选项D，连接，交于点，连接，由正四棱柱性质可得，取中点，由与平行且相等可得是平行四边形，即，且，而平面，平面，因此平面，所以该点为满足条件点，平面即正四棱柱的对角面，它截正四棱柱的外接球的截面即为该球的大圆，由正四棱柱性质知其外接球直径等于四棱柱对角线长，因此截面面积为，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________.〖答案〗〖解析〗根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面，上底面半径下底面半径高则该圆台的母线长为故圆台的侧面积故〖答案〗为：.13.设，向量，，且，则____________；当时，的取值范围为____________．〖答案〗〖解析〗空1：因为，所以，即，得；空2：由题知，又，所以当时，取得最小值，最小值为12，当时，取得最大值，最大值为28，故的取值范围为．故〖答案〗为：.14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是边BC边上一点，，，且，则的最小值为____________．〖答案〗〖解析〗由等面积法可得：，所以，所以，可得，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知复数（为虚数单位，），且是纯虚数.（1）求复数；（2）在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.解：（1）因为，且是纯虚数，所以是纯虚数，则，即，所以.（2），由题意可得，解得，所以实数的取值范围是.16.已知向量满足，，．（1）求与的夹角；（2）若，，求．解：（1）因为，，，设，所以，所以，因为，所以，即与的夹角为.（2）因