2023-2024学年广东省梅州市部分学校高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3广东省梅州市部分学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章占80%，之前的占20%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由，，得.故选：B2.若复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A3.肠粉是广东一种非常出名的传统小吃，属于粤菜系，源于唐朝时的泷州．已知广东一家肠粉店制作销售的肠粉时，先让顾客从“放青菜”“放鸡蛋”“青菜与鸡蛋都不放”“青菜与鸡蛋都放”中四选一，再让顾客从牛肉、虾仁、香菇等七种食材中选其一，则这家肠粉店的肠粉共有（）A.7种 B.11种 C.28种 D.32种〖答案〗C〖解析〗根据分步乘法原理这家肠粉店的肠粉有，故选：C．4.已知函数，则（）A.有极小值，且极小值为0 B.有极小值，且极小值为C.有极大值，且极大值为0 D.有极大值，且极大值为〖答案〗D〖解析〗由，得，令，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以时，函数有极大值为故选：D5.12名学生与4名老师站成一排拍照，要求4名老师两两不相邻，则不同的排法数为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗首先将12名学生全排列有种排法，再将4名老师插入到12名学生所形成的个空（包括首、尾）中的个空中，有种排法，按照分步乘法计数原理可知一共有种排法.故选：B6.若函数不存在极值，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为的定义域为，且，又函数不存在极值，则没有变号零点，所以恒成立，则，解得，即的取值范围是.故选：D7.展开式的常数项为（）A. B. C.42 D.43〖答案〗B〖解析〗，其中的常数项为，的常数项，所以展开式的常数项，故选：B8.设，，，则（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，所以，且，令，得或；令，得，所以在单调递增，在，单调递减，，即，，即由，所以，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列判断正确的是（）A.B.由数字1，2，3，4可以组成24个无重复数字的四位数C.由数字0，1，2，3，4可以组成120个无重复数字的五位数D.若有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有70种不同的方法〖答案〗ABD〖解析〗对于A：，故A正确；对于B：由数字1，2，3，4可以组成个无重复数字的四位数，故B正确；对于C：由数字0，1，2，3，4可以组成个无重复数字的五位数，故C错误；对于D：有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有种不同的方法，故D正确.故选：ABD10.在空间直角坐标系中，已知，，，，，则（）A.B.直线与平面所成角的正弦值为C.从，，，，，这个点中选个点确定一条直线，则有13条不同的直线D.从，，，，，这个点中选个点确定一个平面，则有20个不同的平面〖答案〗AC〖解析〗对于A：因为，，所以，所以，即，故A正确；对于B：因为，，设平面的法向量为，则，取，设直线与平面所成角为，则，故B错误；对于C：因为，，三点共线，所以从，，，，，这个点中选个点确定一条直线有条，故C正确；对于D：因为，，，，五点共面，，，，四点共面，从，，，，，这个点中选个点确定一个平面，则有个不同的平面，故D错误.故选：AC11.已知是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.的极大值点为B.函数的零点个数为3C.函数的零点个数为7D.的解集为〖答案〗ABC〖解析〗由题意得，当时，，得，令，得，令，得；所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值点为1，又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对；当时，则，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以分别画出和图象，得函数的零点个数为3，B对；令，得或或，令，得，或，如图，分别画出的图象，由图可知：函数的零点个数为7，C对；令，则，故D错；故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.小李想去他大伯家借书，他除了对经济类的书不感兴趣，对其他类别的书都感兴趣．他大伯家的书有四种，文学类的有15本，经济类的有10本，历史类的有16本，心理学与励志类的有9本，同一类的书每本都不相同，则他按照兴趣借1本书，共有___________种选择．〖答案〗40〖解析〗由题意小李借的书可分为3类，由分类加法原理得：，故〖答案〗为：40.13.已知（）展开式中各二项式系数之和为，则___________．〖答案〗36〖解析〗因为二项式系数之和为，所以故〖答案〗为：3614.已知函数，则_______________，的最小值为___________．〖答案〗①②〖解析〗由已知得，所以，解得，，，，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，所以的极小值也是最小值为，故〖答案〗为：；．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求；（2）求．解：（1）令得，令得，所以；（2）展开式通项公式为，因此，，所以．16.已知函数．（1）当时，求在上的值域；（2）讨论的单调性．解：（1）当时，则，当时恒成立，所以在上单调递增，又，，所以在上的值域为.（2）函数的定义域为，又，当，即时恒成立，所以在上单调递减；当，即时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；综上可得：当时在上单调递减；当时在上单调递减，在上单调递增.17.已知函数的图象在点处的切线经过点．（1）当时，求的方程．（2）证明：数列是等差数列．（3）求数列的前项和．解：（1）当时，则，所以，又，所以切点为，切线的斜率为，则切线的方程为，即.（2）因为，则，，所以，则切线方程为，即，令，解得，所以，则，则，又，所以是以为首项，为公差的等差数列.（3）由（2）可得，所以，所以，则，所以，所以.18.已知双曲线（，）的焦距为，且经过抛物线的焦点．记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点，．（1）求的方程；（2）证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件．解：（1）设双曲线的焦距为，则，解得，又抛物线的焦点为，所以，则，所以的方程为.（2）当轴时，不妨设在第一象限，由，解得或，则，，所以，必要性得证；依题意直线的斜率存在，设直线：，由，消去整理得，由且，可得且，设，，所以，，所以，则，即，即，整理得，解得或（满足且），所以当或均有面积为，故充分性不成立，所以“的面积为”是“轴”的必要不充分条件.19.已知函数．（1）若，证明：在上单调递减．（2），，求的取值范围．解：（1）当时，则，当时，，所以对恒成立，所以在上单调递减；（2）因为，恒成立，即，恒成立，令，则，若，则在上恒成立，所以在上单调递减，则，符合题意；当时，令，则，当时，，所以在上恒成立，则在上单调递减，所以，当，即时在上恒成立，即在上恒成立，即在上单调递减，则，符合题意；当，即时，，，所以，使得，所以当时，即，所以在上单调递增，则当时，不符合题意；综上可得，的取值范围为.

广东省梅州市部分学校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章占80%，之前的占20%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由，，得.故选：B2.若复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选：A3.肠粉是广东一种非常出名的传统小吃，属于粤菜系，源于唐朝时的泷州．已知广东一家肠粉店制作销售的肠粉时，先让顾客从“放青菜”“放鸡蛋”“青菜与鸡蛋都不放”“青菜与鸡蛋都放”中四选一，再让顾客从牛肉、虾仁、香菇等七种食材中选其一，则这家肠粉店的肠粉共有（）A.7种 B.11种 C.28种 D.32种〖答案〗C〖解析〗根据分步乘法原理这家肠粉店的肠粉有，故选：C．4.已知函数，则（）A.有极小值，且极小值为0 B.有极小值，且极小值为C.有极大值，且极大值为0 D.有极大值，且极大值为〖答案〗D〖解析〗由，得，令，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以时，函数有极大值为故选：D5.12名学生与4名老师站成一排拍照，要求4名老师两两不相邻，则不同的排法数为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗首先将12名学生全排列有种排法，再将4名老师插入到12名学生所形成的个空（包括首、尾）中的个空中，有种排法，按照分步乘法计数原理可知一共有种排法.故选：B6.若函数不存在极值，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为的定义域为，且，又函数不存在极值，则没有变号零点，所以恒成立，则，解得，即的取值范围是.故选：D7.展开式的常数项为（）A. B. C.42 D.43〖答案〗B〖解析〗，其中的常数项为，的常数项，所以展开式的常数项，故选：B8.设，，，则（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，所以，且，令，得或；令，得，所以在单调递增，在，单调递减，，即，，即由，所以，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列判断正确的是（）A.B.由数字1，2，3，4可以组成24个无重复数字的四位数C.由数字0，1，2，3，4可以组成120个无重复数字的五位数D.若有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有70种不同的方法〖答案〗ABD〖解析〗对于A：，故A正确；对于B：由数字1，2，3，4可以组成个无重复数字的四位数，故B正确；对于C：由数字0，1，2，3，4可以组成个无重复数字的五位数，故C错误；对于D：有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有种不同的方法，故D正确.故选：ABD10.在空间直角坐标系中，已知，，，，，则（）A.B.直线与平面所成角的正弦值为C.从，，，，，这个点中选个点确定一条直线，则有13条不同的直线D.从，，，，，这个点中选个点确定一个平面，则有20个不同的平面〖答案〗AC〖解析〗对于A：因为，，所以，所以，即，故A正确；对于B：因为，，设平面的法向量为，则，取，设直线与平面所成角为，则，故B错误；对于C：因为，，三点共线，所以从，，，，，这个点中选个点确定一条直线有条，故C正确；对于D：因为，，，，五点共面，，，，四点共面，从，，，，，这个点中选个点确定一个平面，则有个不同的平面，故D错误.故选：AC11.已知是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.的极大值点为B.函数的零点个数为3C.函数的零点个数为7D.的解集为〖答案〗ABC〖解析〗由题意得，当时，，得，令，得，令，得；所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值点为1，又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对；当时，则，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以分别画出和图象，得函数的零点个数为3，B对；令，得或或，令，得，或，如图，分别画出的图象，由图可知：函数的零点个数为7，C对；令，则，故D错；故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.小李想去他大伯家借书，他除了对经济类的书不感兴趣，对其他类别的书都感兴趣．他大伯家的书有四种，文学类的有15本，经济类的有10本，历史类的有16本，心理学与励志类的有9本，同一类的书每本都不相同，则他按照兴趣借1本书，共有___________种选择．〖答案〗40〖解析〗由题意小李借的书可分为3类，由分类加法原理得：，故〖答案〗为：40.13.已知（）展开式中各二项式系数之和为，则___________．〖答案〗36〖解析〗因为二项式系数之和为，所以故〖答案〗为：3614.已知函数，则_______________，的最小值为___________．〖答案〗①②〖解析〗由已知得，所以，解得，，，，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，所以的极小值也是最小值为，故〖答案〗为：；．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求；（2）求．解：（1）令得，令得，所以；（2）展开式通项公式为，因此，，所以．16.已知函数．（1）当时，求在上的值域；（2）讨论的单调性．解：（1）当时，则，当时恒成立，所以在上单调递增，又，，所以在上的值域为.（2）函数的定义域为，又，当，即时恒成立，所以在上单调递减；当，即时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；综上可得：当时在上单调递减；当时在上单调递减，