2023-2024学年甘肃省白银市高一下学期5月阶段性检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2甘肃省白银市2023-2024学年高一下学期5月阶段性检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，因为，，所以．故选：A.2.复数的实部与虚部之和为（）A. B. C.8 D.6〖答案〗B〖解析〗因为，所以的实部与虚部之和为．故选：B.3.若向量，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，解得．故选：A.4.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由及正弦定理，得，因为，所以，反之亦成立，所以“”是“”的充要条件．故选：A.5.已知函数，则（）A.在上单调递减 B.的图象关于直线对称C.在上单调递增 D.的图象关于点对称〖答案〗D〖解析〗对于AC，当时，，则函数在上先增后减，A，C错误；对于B，而，则的图象不关于直线对称，B错误；对于D，，则的图象关于点对称，D正确．故选：D.6.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，又，所以．故选：C.7.如图，某同学为测量某观光塔的高度OP，在该观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物MN，在地面上点Q处（O，Q，N三点共线且在同一水平面上）测得建筑物MN的顶部M的仰角为，测得该观光塔的顶部P的仰角为，在建筑物MN的顶部M处测得该观光塔的顶部P的仰角为，则该观光塔的高OP为（）A.80米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗由题意可得，米，，则，在△PMQ中，由正弦定理可得，即，解得：米．故选：A.8.若．则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，，即，所以，可得．故选：D.二、多项选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（）A.该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万B.该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势C.该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万D.该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万〖答案〗AC〖解析〗对于A，该市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，则极差为万，故A正确；对于B，由图可知，B错误；对于C，，所以第60百分位数为730.50万，故C正确；对于D，平均数为万，故D错误．故选：AC.10.若，，，在复平面内所对应的点分别为A，B，C，D．若四边形ABCD为平行四边形，则（）A. B.C. D.为纯虚数〖答案〗ABD〖解析〗如图，由题意得，，，由于,则，，A正确；，B正确；，C错误；，D正确．故选：ABD.11.若△ABC的内心与外心分别为N，O，且，，，则（）A.B.点N到AB的距离为C.向量在向量上的投影向量为D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，设△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R，r．因为，且，所以，则，所以，A错误；对于B，因为△ABC的面积，而，所以，所以点N到AB的距离为，B正确；对于C，向量在向量上的投影向量为，C正确；对于D，因为，所以，又，所以，则，因为，且在上单调递减，所以，即，D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若．则______．〖答案〗〖解析〗．故〖答案〗为：.13.已知向量，的夹角为，，，，，则______，_____．〖答案〗〖解析〗因为，且，所以；又因为，则，解得．故〖答案〗为：.14.若函数有2个零点，则m的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由，得．设函数，作出的大致图象，如图所示：函数有2个零点，即函数与函数的图象有两个交点，由图可知，m的取值范围是．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．（1）求的〖解析〗式与最小正周期；（2）若，，求，的值．解：（1）函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，最小正周期．（2）因，，所以，所以，．16.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；（3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．解：（1）因为各组频率之和为1，组距为10，所以，解得.（2）因为，，所以中位数位于第三组中，设中位数为x，则，解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3.（3）由题红灯等待时间低于85秒的频率为，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次.17.已知函数．（1）证明：的定义域与值域相同．（2）若，，，求m的取值范围．解：（1）证明：由，得，所以的定义域为，，因为在上单调递增，所以，所以的值域为，所以的定义域与值域相同．（2）由（1）知在上单调递增，所以当时，，设，当，即时，取得最小值，且最小值为，因，，，所以，即m的取值范围为．18.如图，在△ABC中，，，其中，CP的延长线与AB交于点F．已知，，．（1）若，请用向量，表示向量，并求的值；（2）若，，证明：．解：（1）因为，所以，因为，，，所以，所以.（2）（方法一）由三点共线，可设，，因为，，所以，由（1）得，所以，所以，以.（方法二）因为，，所以，所以，因为C，P，F三点共线，所以，即．19.养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成，，三块区域，图中是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边上（点E与D，C均不重合），F在鱼塘岸边．上（点F与B，C均不重合）．其中△的面积与四边形的面积相等，△为等边三角形．（1）若测得EC的长为80米，求的长．（2）已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E，F应如何设置，才能使得购买不锈钢网所需的花费最少？最少约为多少元？（安装费忽略不计，取）解：（1）依题意得平方米，由米，得平方米，解得米，即CF的长为62.5米.（2）设米，米，，，在△ECF中，由余弦定理可得，因为平方米，所以米，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故当E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米时，EF最短，此时购买的不锈钢网面积最小，花费最小，当时，不锈钢网的面积为平方米，所需的花费最少为元．甘肃省白银市2023-2024学年高一下学期5月阶段性检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，因为，，所以．故选：A.2.复数的实部与虚部之和为（）A. B. C.8 D.6〖答案〗B〖解析〗因为，所以的实部与虚部之和为．故选：B.3.若向量，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，解得．故选：A.4.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由及正弦定理，得，因为，所以，反之亦成立，所以“”是“”的充要条件．故选：A.5.已知函数，则（）A.在上单调递减 B.的图象关于直线对称C.在上单调递增 D.的图象关于点对称〖答案〗D〖解析〗对于AC，当时，，则函数在上先增后减，A，C错误；对于B，而，则的图象不关于直线对称，B错误；对于D，，则的图象关于点对称，D正确．故选：D.6.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，又，所以．故选：C.7.如图，某同学为测量某观光塔的高度OP，在该观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物MN，在地面上点Q处（O，Q，N三点共线且在同一水平面上）测得建筑物MN的顶部M的仰角为，测得该观光塔的顶部P的仰角为，在建筑物MN的顶部M处测得该观光塔的顶部P的仰角为，则该观光塔的高OP为（）A.80米 B.米 C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗由题意可得，米，，则，在△PMQ中，由正弦定理可得，即，解得：米．故选：A.8.若．则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，，即，所以，可得．故选：D.二、多项选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（）A.该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万B.该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势C.该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万D.该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万〖答案〗AC〖解析〗对于A，该市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，则极差为万，故A正确；对于B，由图可知，B错误；对于C，，所以第60百分位数为730.50万，故C正确；对于D，平均数为万，故D错误．故选：AC.10.若，，，在复平面内所对应的点分别为A，B，C，D．若四边形ABCD为平行四边形，则（）A. B.C. D.为纯虚数〖答案〗ABD〖解析〗如图，由题意得，，，由于,则，，A正确；，B正确；，C错误；，D正确．故选：ABD.11.若△ABC的内心与外心分别为N，O，且，，，则（）A.B.点N到AB的距离为C.向量在向量上的投影向量为D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，设△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R，r．因为，且，所以，则，所以，A错误；对于B，因为△ABC的面积，而，所以，所以点N到AB的距离为，B正确；对于C，向量在向量上的投影向量为，C正确；对于D，因为，所以，又，所以，则，因为，且在上单调递减，所以，即，D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若．则______．〖答案〗〖解析〗．故〖答案〗为：.13.已知向量，的夹角为，，，，，则______，_____．〖答案〗〖解析〗因为，且，所以；又因为，则，解得．故〖答案〗为：.14.若函数有2个零点，则m的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由，得．设函数，作出的大致图象，如图所示：函数有2个零点，即函数与函数的图象有两个交点，由图可知，m的取值范围是．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．（1）求的〖解析〗式与最小正周期；（2）若，，求，的值．解：（1）函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，最小正周期．（2）因，，所以，所以，．16.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；（3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．解：（1）因为各组频率之和为1，组距为10，所以，解得.（2）因为，，所以中位数位于第三组中，设中位数为x，则，解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3.（3）由题红灯等待时间低于85秒的频率为，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次.17.已知函数．（1）证明：的定义域与值域相同．（2）若，，，求m的取值范围．解：（1）证明：由，得，所以的定义域为，，因为在上单调递增，所以，所以的值域为，所以的定义域与值域相同．（2）由（1）知在上单调递增，所以当时，，设，当，即时，取得最小值，且最小值为，因，，，所以，即m的取值范围为．18.如图，在△ABC中，，，其中，CP的延长线