2023-2024学年福建省三明市六校高一下学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2福建省三明市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由题得，所以，所以在复平面内的共轭复数对应的点为，在第一象限.故选：A.2.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，则，得.故选：D.3.已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A：若，，则或，故A错误；对于B：若，，则或与相交，故B错误；对于C：若，，则，故C正确；对于D：若，，，则或与异面，故D错误.故选：C.4.在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（）A. B.或 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，则，而，故或，显然，所得角均满足.故选：B.5.若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设正方体的棱长为，外接球的半径为，则，故球的表面积为，而正方体的表面积为，故正方体与这个球表面积之比为．故选：C．6.在中，已知，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，，，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形．故选：D．7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为，则该方亭的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，，则方亭的体积为，解得，则，画出的平面图，作于，，，则，，则该方亭的表面积为.故选：A.8.设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（）A. B.18 C.16 D.9〖答案〗B〖解析〗设中，角的对边分别为，，由，得，，若，则，，有，得，，当且仅当，即时等号成立，则的最小值是18.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.已知为虚数单位，则下面命题正确的是（）A.若复数，则B.复数满足在复平面内对应的点为，则C.复数的虚部是3D.复数满足，则最小值为1〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，，即，故B正确；对于C，复数的虚部为-3，故C错误；对于D，因为，所以，所以，则，所以，所以最小值为1，故D正确.故选：ABD.10.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.与的夹角的余弦值为B.在方向上的投影向量为C.与垂直的单位向量的坐标为D.若向量与向量共线，则〖答案〗AD〖解析〗设与夹角为，则，故A正确；在方向上的投影向量为，故B错误；设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；若向量与向量共线，设，因为不共线，所以，解得，故D正确.故选：AD.11.已知中，在上，为的角平分线，为中点，连接，使交于点，下列结论正确的是（）A. B.C. D.在的外接圆上，则的最大值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，在中，由余弦定理得，又因为，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，故A正确；对于B，因为，，所以，所以，因为平分，所以，，在中，由正弦定理得，所以，故，所以，故B错误；对于C，在中，由余弦定理得，所以，在中，，所以，所以由正弦定理得，，所以C正确；对于D，由B选项可知，即为外接圆的直径，故外接圆的半径，，故当取得最大值时，在优弧上，设，则，，所以在中由正弦定理得，所以，所以，其中，所以当时，最大值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为__________.〖答案〗〖解析〗由题意，，则，故原图形中，，，周长为.故〖答案〗为：.13.已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为___________.〖答案〗〖解析〗设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，又，所以圆锥的母线长，所以圆锥的高，所以圆锥的体积.故〖答案〗为：.14.如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗连接AC，因为，，，，所以，又，所以，所以，过点B作AD的垂线BF，垂足为F，易知，在中，，，所以，，以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则，设，则，，，函数在上单调递减，在上单调递增，，，，当时，有最小值；当时，有最大值，所以的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积．解：（1）由正弦定理可得：即：，，，由得：.（2），的周长为，，由余弦定理可得：，，的面积：.16.如图，四棱锥中，分别为线段，中点，与交于点，是线段上一点．求证：（1）平面；（2）平面平面．解：（1）连接，因为，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以为的中点，又因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）连接，，因为，分别是，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面．17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足，且．（1）若b＝c，求A的值；（2）求B的最大值．解：（1）因为，所以，即，所以，因为b＝c，所以，因为，所以．（2）因为，由余弦定理得，，即，所以，当且仅当时，即时，取等号，因为，所以B的最大值为．18.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点是棱的中点，点在棱上．（1）试在棱上找一点，使得平面，并加以证明；（2）求四棱锥的体积．解：（1）证法1：点为棱中点，证明如下：取的中点，连接，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴，又是棱中点，∴是棱的中点，∴∥，，∵，分别为棱，的中点，∴∥，，∴∥，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．证法2：为的中点时，平面，证明如下：∵平面，平面，平面平面，∴，平面，平面，所以平面，又∵为的中点，为的中点，∴是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴面，又∵与在平面内相交，∴面面，又∵面，∴平面．（2）解法一：连接，四棱锥可视为三棱锥和组合而成，三棱锥可视为，底面积，高为，设，体积为，三棱锥与等高，体积比为底面积之比，设，则，故，因此，，即为所求．解法二：分别取和的中点，，连接，，连接交于点，连接，，∵和是正三角形，且，分别是和的中点，∴，且∥，，则，，，四点共面，∵平面，平面，∴，又平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，在矩形中，，，∴，∴，且，∴，即．又平面平面，平面平面，平面，∴平面，在等腰梯形中，，，，∴等腰梯形的高，∴四棱锥的体积．19.如图，海上有A，B两个小岛相距，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上泥下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且，设.（1）用x分别表示和，并求出x的取值范围；（2）晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值.解：（1）在中，，由余弦定理得，又，所以①，在，中，，由余弦定理得②，①+②得，①-②得，即，又，所以，即，又，即，所以.（2）易知，故，又，设，所以，，，在上是增函数，所以的最大值为，即BD的最大值为10.福建省三明市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由题得，所以，所以在复平面内的共轭复数对应的点为，在第一象限.故选：A.2.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，则，得.故选：D.3.已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A：若，，则或，故A错误；对于B：若，，则或与相交，故B错误；对于C：若，，则，故C正确；对于D：若，，，则或与异面，故D错误.故选：C.4.在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（）A. B.或 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，则，而，故或，显然，所得角均满足.故选：B.5.若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设正方体的棱长为，外接球的半径为，则，故球的表面积为，而正方体的表面积为，故正方体与这个球表面积之比为．故选：C．6.在中，已知，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，，，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形．故选：D．7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为，则该方亭的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，，则方亭的体积为，解得，则，画出的平面图，作于，，，则，，则该方亭的表面积为.故选：A.8.设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（）A. B.18 C.16 D.9〖答案〗B〖解析〗设中，角的对边分别为，，由，得，，若，则，，有，得，，当且仅当，即时等号成立，则的最小值是18.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.已知为虚数单位，则下面命题正确的是（）A.若复数，则B.复数满足在复平面内对应的点为，则C.复数的虚部是3D.复数满足，则最小值为1〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，，即，故B正确；对于C，复数的虚部为-3，故C错误；对于D，因为，所以，所以，则，所以，所以最小值为1，故D正确.故选：ABD.10.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.与的夹角的余弦值为B.在方向上的投影向量为C.与垂直的单位向量的坐标为D.若向量与向量共线，则〖答案〗AD〖解析〗设与夹角为，则，故A正确；在方向上的投影向量为，故B错误；设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；若向量与向量共线，设，因为不共线，所以，解得，故D正确.故选：AD.11.已知中，在上，为的角平分线，为中点，连接，使交于点，下列结论正确的是（）A. B.C. D.在的外接圆上，则的最大值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，在中，由余弦定理得，又因为，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，故A正确；对于B，因为，，所以，所以，因为平分，所以，，在中，由正弦定理得，所以，故，所以，故B错误；对于C，在中，由余弦定理得，所以，在中，，所以，所以由正弦定理得，，所以C正确；对于D，由B选项可知，即为外接圆的直径，故外接圆的半径，，故当取得最大值时，在优弧上，设，则，，所以在中由正弦定理得，所以，所以，其中，所以当时，最大值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为__________.〖答案〗〖解析〗由题意，，则，故原图形中，，，周长为.故〖答案〗为：.13.已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为___________.〖答案〗〖解析〗设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，又，所以圆锥的母线长，所以圆锥的高，所以圆锥的体积.故〖答案〗为：.14.如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗连接AC，因为，，，，所以，又，所以，所以，过点B作AD的垂线BF，垂足为F，易知，在中，，，所以，，以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则，设，则，，，函数在上单调递减，在上单调递增，，，，当时，有最小值；当时，有最大值，所以的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积．解：（1）由正弦定理可得：即：，，，由得：.（2），的周长为，，由余弦定理可得：，，的面积：.16.如图，四棱锥中，分别为线段，中点，与交于点，是线段上一点．求证：（1）平面；（2）平面平面．解：（1）连接，因为，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以为的中点，又因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）连接，，因为，分别是，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面．17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足，且．（1）若b＝c，求A的值；（2）求B的最大值．解：（1）因为，所以，即，所以，因为b＝c，所以，因为，所以．（2）因为，由余弦定理得，，即，所以，当且仅当时，即时，取等号，因为，所以B的最大值为．18.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点是棱的中点，点在棱上．（1）试在棱上找一点，使得平面，并加以证明；（2）求四棱锥的体