2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二下学期期中数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，若（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，则.故选：B.2.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设过点且与直线平行的直线方程是，将点的坐标代入直线的方程得，解得，故所求直线方程为，即.故选：A.3.在等差数列中，若，则（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗在等差数列中，，解得，所以．故选：D4.平面向量与的夹角为，，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，.故选：B5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列条件可以推出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗D〖解析〗对于A，，，，有可能出现平行这种情况，故A错误；对于，，，，不能保证m垂直于内两条相交直线，会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，又由，则内一定存在某直线a，满足，则，故，故D正确，故选：D.6.已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，，所以，则，结合已知〖解析〗式知：.故选：D7.设公差不为0的等差数列的前项和为，则有成等差数列.类比上述性质，若公比不为1的等比数列的前项积为，则有（）A.成等比数列B.成等比数列C.成等比数列D.成等比数列〖答案〗D〖解析〗根据题意，，，同理可得，所以若公比不为1的等比数列的前项积为，则有构成以为首项、为公比的等比数列.故选：D8.已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可将不等式化为，构造函数，，则.由题意可知，在上单调递增，所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需满足即可.令，则.由可得，.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以，.故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数的图象经过点则（）A.的图象经过点 B.的图象关于y轴对称C.在上单调递减 D.在内的值域为〖答案〗CD〖解析〗将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．故选：CD.10.在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7．现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则（）A.事件与事件相互独立 B.事件与事件互斥C. D.〖答案〗ACD〖解析〗从甲盒、乙盒里分别随机抽取一个小球的样本空间为：，，，，，，，，，，，，共12种．事件：，，，；事件：，，，，，，，故A正确；事件和事件都有，事件与事件不互斥，故B不正确；事件：，，，，，故C正确；事件：，，，，，，故D正确．故选：ACD．11.南宋数学家杨辉所著《详析九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗根据题意可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即，对A：因为，所以，故A错误；对B：因为，所以，故B正确；对C：因为，，，且，所以上述各式相加得，故；经检验：满足，所以，则，故C错误；对D：由选项C可知，则，故D正确.故选：BD.12.已知函数，若，其中，则（）A. B.C. D.的取值范围为〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以，令，解得或，当时，或，所以单调递增区间为和；当时，，所以单调递减区间为，的图象如右图所示，设，则，，故A错误；又，所以，即，对照系数得，故选项C正确；，故选项D正确；因为，所以，解得，故选项B正确．故选：BCD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知为虚数单位，复数，则___．〖答案〗〖解析〗复数，则．故〖答案〗为：．14.若直线与圆相切，则实数_________．〖答案〗或〖解析〗圆可化.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：或7.故〖答案〗为：或15.在中，内角的对边分别为，且，则__________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理边角关系得：，又，所以，由余弦定理得，故〖答案〗为：16.设椭圆左、右焦点分别为、，P是椭圆C上一点，且直线与轴垂直，直线的斜率为，则椭圆的离心率为___________.〖答案〗〖解析〗因为直线与轴垂直，将代入椭圆的方程可得，解得，因为直线的斜率为，易知点，因为点，所以，，所以，，即，等式两边同时除以可得，因为，解得.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.为了加强对数学文化的学习，某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假设每名学生的成绩均不低于50分）．（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取2人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生恰有2人被抽到的概率．解：（1），这50名学生的平均成绩估计为：；（2）后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，所以成绩在的学生恰有2人被抽到的概率为：．18.已知函数．（1）求函数的最小正周期及其单调递增区间；（2）当时，恒成立，求的最大值．解：（1），故函数的最小正周期.由得.∴函数的单调递增区间为，.（2）∵，∴，∴，.由恒成立，得，即，故a的最大值为0.19.如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）取中点为，连接，，如图所示，因为，分别是，的中点，所以且，又因为且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设平面的法向量为，因为，，所以，令，解得，即，又因为，所以直线与平面所成角的正弦值为．20.已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．解：（1）设等差数列公差为，则，整理得，解得，∴，，对于数列：当时，，当时，由，得，两式相减得，当时，也满足上式，∴，．（2）由（1）得，，则，∴，∵，∴数列是单调递增数列，当时，，∴，故不等式对任意恒成立．21.已知双曲线：的离心率为，且过．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）根据题意可得，解得，，所以双曲线的方程为．（2）设，，联立，得，，，，又所以，所以，所以直线的方程为，恒过定点．22.已知函数，．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若存在实数，，使，且，求的取值范围．解：（1）若，则，，所以在处的切线斜率为，又，所以函数在处的切线方程为，即．（2）因为，所以，因为存在实数，，使，且，所以存在实数，，使，且，即，，设，记，，所以在上单调递减，所以，即，所以取值范围是．浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二下学期期中数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，若（）A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，则.故选：B.2.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设过点且与直线平行的直线方程是，将点的坐标代入直线的方程得，解得，故所求直线方程为，即.故选：A.3.在等差数列中，若，则（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗在等差数列中，，解得，所以．故选：D4.平面向量与的夹角为，，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，.故选：B5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列条件可以推出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗D〖解析〗对于A，，，，有可能出现平行这种情况，故A错误；对于，，，，不能保证m垂直于内两条相交直线，会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，又由，则内一定存在某直线a，满足，则，故，故D正确，故选：D.6.已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，，所以，则，结合已知〖解析〗式知：.故选：D7.设公差不为0的等差数列的前项和为，则有成等差数列.类比上述性质，若公比不为1的等比数列的前项积为，则有（）A.成等比数列B.成等比数列C.成等比数列D.成等比数列〖答案〗D〖解析〗根据题意，，，同理可得，所以若公比不为1的等比数列的前项积为，则有构成以为首项、为公比的等比数列.故选：D8.已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可将不等式化为，构造函数，，则.由题意可知，在上单调递增，所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需满足即可.令，则.由可得，.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以，.故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数的图象经过点则（）A.的图象经过点 B.的图象关于y轴对称C.在上单调递减 D.在内的值域为〖答案〗CD〖解析〗将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．故选：CD.10.在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7．现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则（）A.事件与事件相互独立 B.事件与事件互斥C. D.〖答案〗ACD〖解析〗从甲盒、乙盒里分别随机抽取一个小球的样本空间为：，，，，，，，，，，，，共12种．事件：，，，；事件：，，，，，，，故A正确；事件和事件都有，事件与事件不互斥，故B不正确；事件：，，，，，故C正确；事件：，，，，，，故D正确．故选：ACD．11.南宋数学家杨辉所著《详析九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗根据题意可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即，对A：因为，所以，故A错误；对B：因为，所以，故B正确；对C：因为，，，且，所以上述各式相加得，故；经检验：满足，所以，则，故C错误；对D：由选项C可知，则，故D正确.故选：BD.12.已知函数，若，其中，则（）A. B.C. D.的取值范围为〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以，令，解得或，当时，或，所以单调递增区间为和；当时，，所以单调递减区间为，的图象如右图所示，设，则，，故A错误；又，所以，即，对照系数得，故选项C正确；，故选项D正确；因为，所以，解得，故选项B正确．故选：BCD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知为虚数单位，复数，则___．〖答案〗〖解析〗复数，则．故〖答案〗为：．14.若直线与圆相切，则实数_________．〖答案〗或〖解析〗圆可化.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：或7.故〖答案〗为：或15.在中，内角的对边分别为，且，则__________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理边角关系得：，又，所以，由余弦定理得，故〖答案〗为：16.设椭圆左、右焦点分别为、，P是椭圆C上一点，且直线与轴垂直，直线的斜率为，则椭圆的离心率为___________.〖答案〗〖解析〗因为直线与轴垂直，将代入椭圆的方程可得，解得，因为直线的斜率为，易知点，因为点，所以，，所以，，即，等式两边同时除以可得，因为，解得.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.为了加强对数学文化的学习，某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假设每名学生的成绩均不低于50分）．（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取2人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生恰有2人被抽到的概率．解：（1），这50名学生的平均成绩估计为：；（2）后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，所以成绩在的学生恰有2人被抽到的概率为：．18.已知函数．（1）求函数的最小正周期及其单调递增区间；（2）当时，恒成立，求的最大值．解：（1），故函数的最小正周期.由得.∴函数的单调递增区间为，.（2）∵，∴，∴，.由恒成立，得，即