2022-2023学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高二下学期期末数学试题一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，即，解得，即，因为，且，则，所以，.故选：B.2.“”的一个充分条件是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据得为任意实数，所以A错；由，得，当且时，有；当且时，有，不满足题意，所以B错；因为满足，也满足，不满足题意，所以C错；因为，所以，所以能推出，满足题意，D正确.故选：D.3.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，，所以，故选：D.4.函数在上的图象的大致形状是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，排除CD选项，且当时，，，则，排除B选项.故选：A.5.质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（）参考数据：A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，令，两边同时取常用对数得，∴，∴，结合选项知与最接近的数为.故选：C.6.若为奇函数，则实数a，b的值分别为（）A.e，1 B.，1 C.e， D.，〖答案〗C〖解析〗，当时，，所以和是方程的两个根，所以，即，因为，所以，即，即.故选：C7.已知实数a，b满足，，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，即，又因为，即，构造函数，则恒成立，故在上单调递增，即存在唯一的实数，使得，所以，所以，即，所以，故选：C.8.已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可得函数图象，当或时，有两个解；当时，有4个解；当时，有3个解；当时，有1个解；因为最多有两个解.因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.则存在下列几种情况：①有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足，即，解得，②有3个解，有3个解，设即，，则应满足，无解，舍去，综上所述，取值范围为.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗对A，等比数列的公比，和异号，，故A正确；对B，因为不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系，故B不正确；对CD，和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又，，故D正确，一定是负数，即，故C不正确.故选：AD.10.下面命题正确的是（）A.不等式的解集为B.不等式解集为C.不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为D.函数在区间内仅有一个零点，则实数m的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，不等式化为，解得，则原不等式的解集为，A正确；对于B，不等式化为，解得，不等式的解集为，B错误；对于C，不等式在时恒成立，当时，成立，，，恒成立，在上单调递增，，当且仅当时取等号，因此，则，所以实数m的取值范围为，C正确；对于D，函数在区间内仅有一个零点，则当在上有等根时，，解得，当在上只有1个根时，，解得，或或，解得，于是，所以实数m的取值范围为，D正确.故选：ACD11.函数和有相同的最大值b，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点的横坐标依次，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于AB，，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，由，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有，，因此选项AB正确，对于CD，两个函数图像如下图所示：由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，且，由，又，又当时，单调递增，所以，又，又，又当时，单调递减，所以，，，于是有，即，因为，所以选项C错误，D正确，故选：ABD12.已知函数，下列选项正确的是（）A.当有三个零点时，的取值范围为B.是偶函数C.设的极大值为，极小值为，若，则D.若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，令可得，令，则直线与函数的图象有三个交点，，令，可得，列表如下：增极大值减极小值增如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，A对；对于B选项，，该函数的定义域为，，故函数是偶函数，B对；对于C选项，，令，可得，列表如下：减极小值增极大值减所以，，，所以，，解得，C错；对于D选项，设切点坐标为，则，所以，曲线在处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程得，整理可得，令，其中，则，令，可得或，列表如下：减极小值增极大值减若过点可以作图象的三条切线，则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，合乎题意，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，且，则的最小值是___________.〖答案〗〖解析〗由，，则，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.故〖答案〗为：14.已知，若与的值域相同，则实数a的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗，当时，；当时，；即函数在上单调递减，在上单调递增，，即，因为与的值域相同，所以.故〖答案〗为：15.若为奇函数，则的表达式可以为______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗函数中，必有，即或，而函数是奇函数，即恒成立，因此对定义域内任意实数有成立，即成立，于是函数图象关于点对称，取，所以的表达式可以为.故〖答案〗为：16.已知定义在上的函数满足，且关于对称，当时，.若，则______.〖答案〗〖解析〗因为函数关于对称，则，即，所以，，即函数为上的偶函数，又因为，则，即，所以，。则，所以，函数是周期为的周期函数，又因为当时，，则，①在等式中，令可得，即，②联立①②可得，，故当时，，所以，.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，若曲线在处的切线方程为．（1）求，的值；（2）求函数在上的最小值．解：（1）由已知可得．又，所以．（2）由（1）可知，，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减．又，，所以函数在上的最小值为．18.已知数列的前项和，数列满足，.（1）求数列、的通项公式.（2）若，求数列的前项和.解：（1）∵，∴，∴，当时，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；（2）由题意得，时，,当时，，∴.19.已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.（1）求时的〖解析〗式；（2）求函数的值域.解：（1）令，则，故，而，所以，则.（2）由（1）知：，当，，当且仅当时等号成立，此时；当，单调递增，则；综上，函数值域.20.为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表上市时间x/天2632市场价y/元1486073（1）根据上表数据，从①，②，③，④中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；（2）记你所选取的函数，若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）由题表知，随着时间的增大，的值随的增大，先减小后增大，而所给的函数，和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选择．把，，分别代入，得，解得，∴，．又，∴当且仅当时，即当时，y有最小值，且．故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元；（2）原不等式可以整理为：，，因为对，都有不等式恒成立，则．（i）当时，，当且仅当时，即当时，．∴，解得，不符合假设条件，舍去．（ii）当时，在单调递增，故，只需．整理得：，∴（舍去），综上，实数k的取值范围是．21.已知函数，.（1）若的定义域为，值域为R，求a的值：（2）在条件（1）下，当，时，总满足，求c的取值范围.解：（1）因为的定义域为，所以且，恒成立，又因为值域为，所以能取到内任意实数，故；（2）因为，所以，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以在,上单调递减，，则题目可转化为：恒成立，即，因此，故故的取值范围为22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.解：（1）函数的定义域为，求导得则，由得，若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由，两边取对数得，即，由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，，而，时，恒成立，因此当时，存在且，满足，若，则成立；若，则，记，，则，即有函数在上单调递增，，即，于是，而，，，函数上单调递增，因此，即，又，则有，则，所以.辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高二下学期期末数学试题一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，即，解得，即，因为，且，则，所以，.故选：B.2.“”的一个充分条件是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据得为任意实数，所以A错；由，得，当且时，有；当且时，有，不满足题意，所以B错；因为满足，也满足，不满足题意，所以C错；因为，所以，所以能推出，满足题意，D正确.故选：D.3.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，，所以，故选：D.4.函数在上的图象的大致形状是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，排除CD选项，且当时，，，则，排除B选项.故选：A.5.质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（）参考数据：A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，令，两边同时取常用对数得，∴，∴，结合选项知与最接近的数为.故选：C.6.若为奇函数，则实数a，b的值分别为（）A.e，1 B.，1 C.e， D.，〖答案〗C〖解析〗，当时，，所以和是方程的两个根，所以，即，因为，所以，即，即.故选：C7.已知实数a，b满足，，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，即，又因为，即，构造函数，则恒成立，故在上单调递增，即存在唯一的实数，使得，所以，所以，即，所以，故选：C.8.已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可得函数图象，当或时，有两个解；当时，有4个解；当时，有3个解；当时，有1个解；因为最多有两个解.因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.则存在下列几种情况：①有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足，即，解得，②有3个解，有3个解，设即，，则应满足，无解，舍去，综上所述，取值范围为.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗对A，等比数列的公比，和异号，，故A正确；对B，因为不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系，故B不正确；对CD，和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又，，故D正确，一定是负数，即，故C不正确.故选：AD.10.下面命题正确的是（）A.不等式的解集为B.不等式解集为C.不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为D.函数在区间内仅有一个零点，则实数m的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，不等式化为，解得，则原不等式的解集为，A正确；对于B，不等式化为，解得，不等式的解集为，B错误；对于C，不等式在时恒成立，当时，成立，，，恒成立，在上单调递增，，当且仅当时取等号，因此，则，所以实数m的取值范围为，C正确；对于D，函数在区间内仅有一个零点，则当在上有等根时，，解得，当在上只有1个根时，，解得，或或，解得，于是，所以实数m的取值范围为，D正确.故选：ACD11.函数和有相同的最大值b，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点的横坐标依次，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于AB，，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，由，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有，，因此选项AB正确，对于CD，两个函数图像如下图所示：由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，且，由，又，又当时，单调递增，所以，又，又，又当时，单调递减，所以，，，于是有，即，因为，所以选项C错误，D正确，故选：ABD12.已知函数，下列选项正确的是（）A.当有三个零点时，的取值范围为B.是偶函数C.设的极大值为，极小值为，若，则D.若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，令可得，令，则直线与函数的图象有三个交点，，令，可得，列表如下：增极大值减极小值增如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，A对；对于B选项，，该函数的定义域为，，故函数是偶函数，B对；对于C选项，，令，可得，列表如下：减极小值增极大值减所以，，，所以，，解得，C错；对于D选项，设切点坐标为，则，所以，曲线在处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程得，整理可得，令，其中，则，令，可得或，列表如下：减极小值增极大值减若过点可以作图象的三条切线，则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，合乎题意，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，且，则的最小值是___________.〖答案〗〖解析〗由，，则，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.故〖答案〗为：14.已知，若与的值域相同，则实数a的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗，当时，；当时，；即函数在上单调递减，在上单调递增，，即，因为与的值域相同，所以.故〖答案〗为：15.若为奇函数，则的表达式可以为______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗函数中，必有，即或，而函数是奇函数，即恒成立，因此对定义域内任意实数有成立，即成立，于是函数图象关于点对称，取，所以的表达式可以为.故〖答案〗为：16.已知定义在上的函数满足，且关于对称，当时，.若，则______.〖答案〗〖解析〗因为函数关于对称，则，即，所以，，即函数为上的偶函数，又因为，则，即，所以，。则，所以，函数是周期为的周期函数，又因为当时，，则，①在等式中，令可得，即，②联立①②可得，，故当时，，所以，.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，若曲线在处的切线方程为．（1）求，的值；（2）求函数在上的最小值．解：（1）由已知可得．又，所以．（2）由（1）可知，，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减．又，，所以函数在上的最小值为．18.已知数列的前项和，数列满足，.（1）求数列、的通项公式.（2）若，求数列的前项和.解：（1）∵，∴，∴，当时，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；（2）由题意得，时，,当时，，∴.19.已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.（1）求时的〖解析〗式；（2）求函数的值域.解：（1）令，则，故，而，所以，则.（2）由（1）知：，当，，当且仅当时等号成立，此时；当，单调递增，则；综上，函数值域.20.为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）