2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高一下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2湖北省武汉市部分学校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.设i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由，得，所以复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：D.2.下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；最小正周期为，在区间上单调递增.故选：A.3.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意．故选：B．4.在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.36π B.28π C.20π D.12π〖答案〗D〖解析〗依题意可知，旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥，如图所示：所以，，所以所形成的几何体的体积是.故选：D.5.为了得到函数的图象，只要把函数上所有的点（）A.向左平移 B.向左平移C.向右平移 D.向右平移〖答案〗B〖解析〗设函数平移m个单位得到，可得，即，解得，根据平移规律只要把函数上所有的点向左平移，即.故选：B.6.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中的值为0.004B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在内的学生人数为150〖答案〗D〖解析〗由，可得，故A错误；前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.故选：D.7.若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，是两个单位向量，且在上的投影向量为，所以，所以，，，所以，即的夹角的余弦值为.故选：C.8.在平面凸四边形ABCD中，，，，且，则四边形ABCD的面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗连接，设，则，在中，由余弦定理得，，在中，因为，，所以为等腰直角三角形，，则四边形ABCD面积=，因为，所以，所以当时，四边形面积取得最大值.故选：A.二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.9.在某次测量中得到A样本数据如下：52，54，54，55，56，55，56，55，55，56，若B样本数据恰好是A样本数据加5后所得数据，则下列数字特征中，A，B两样本相同的是（）A.众数 B.极差 C.中位数 D.标准差〖答案〗BD〖解析〗根据已知，结合各个数字特征的求解公式，可知：样本中每个数据加上5以后，众数比原来多5，故A项错误；极差不变，故B项正确；中位数比原来多5，故C项错误；平均数比原来多5，根据标准差计算公式，可知标准差不变，故D项正确.故选：BD.10.若复数z满足，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.为纯虚数 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗设复数，由，得，整理得，于是，解得，，对于A，为纯虚数，A正确；对于B，，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.11.定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（）A. B.C.，则 D.〖答案〗BC〖解析〗对于A项，，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，由已知可得，，所以，因为，所以或，所以，故C项正确；对于D项，因为与相同或互补，所以，，，故D项错误.故选：BC.12.如图，一张矩形白纸ABCD，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点N.现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，则下列命题正确的是（）A.当平面平面时，平面BFDEB.当A，C重合于点P时，平面PFMC.当A，C重合于点P时，三棱锥P-DEF的外接球的表面积为D.当A，C重合于点P时，四棱锥P-BFDE的体积为〖答案〗ACD〖解析〗由题意，将△，△沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，此时四点共面，平面平面，平面平面当平面平面时，，由题意得：，所以四边形是平行四边形，，AC不在面BFDE内，MN在面BFDE内，进而得到平面，所以A正确；，，则可得，即，同理可得当A，C重合于点P时，如上图，则中，又，所以，因为，所以为等腰三角形，则，，所以和不垂直，则不垂直平面PFM，故B错误；当A，C重合于点P时如下图，在三棱锥中，均为直角三角形，所以为外接球的直径，则外接球半径则三棱锥的外接球表面积为，故C正确；，，则可得，即，同理可得当A，C重合于点P时，如下图，，PN、MN在面PMN内，则平面，DF在面BEFD内，平面平面，平面平面，过点，作，因为是边长为的等边三角形，所以可求得，由面面垂直的性质定理知平面，即为四棱锥P-BFDE的高，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球.某高中为了解学生对这一重大新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取15人，高二抽取12人，已知高三年级共有学生900人，则该高中所有学生总数为______人.〖答案〗3600〖解析〗由已知可得，高三学生抽取人数为，抽样比为，所以，该高中所有学生总数为.故〖答案〗为：3600.14.在正方形中，已知，，则的值为______.〖答案〗3〖解析〗是正方形，，，，.故〖答案〗为：3.15.如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为______，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为______.〖答案〗〖解析〗折叠后可得⊥，⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，故异面直线SG与EF所成的角为；取的中点，连接，过点作⊥于点，因为，，所以⊥，⊥，又，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，则即为直线SG与平面SEF所成角，设正方形的边长为2，则，故，所以，因为，由勾股定理得，则.故〖答案〗为：.16.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由，令，可得，所以只需，解得，又因为，所以，即，所以的取值范围是．故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设向量，，，函数，的最小正周期为.（1）求的值；（2）用五点法画出在一个周期内的图象.解：（1），，.（2），列表0x0200所以在一个周期内的图象为：18.如图，矩形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E在圆O上（异于A，B），F为DE的中点.（1）证明：平面；（2）若直线DE与平面所成的角为时，证明：平面平面.解：（1）因为平面，平面，所以，又为圆的直径，所以，又，平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，，且即为直线DE与平面所成的角，所以，所以，为等腰直角三角形，，又为的中点，所以，由（1）知，平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值.解：（1），由正弦定理得，，，，，又，，，.（2）因为，所以，所以，，，，，，所以.20.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得100位居民某年的月平均用水量（单位：t），将数据按照，，…，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）已知该市有80万居民，请估计全市居民中月平均用水量不低于的人数；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过xt，估计x的值，并说明理由.解：（1）由频率分布直方图的性质：小长方形的面积之和等于，可得：，解得.（2）由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于的频率为：，由此可估计全市80万居民中月均用水量不低于的人数为，估计全市居民月平均用水量不低于的人数为9.6万人.（3）由题意只需求样本数据中的分位数，记该分位数为，因为前6组频率之和为，而前5组的频率之和为，所以，由，解得，因此，估计月用水量标准为时，85%的居民每月的用水量不超过标准.21.如图所示，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，侧面为正方形，平面平面ABC.点M为的中点，N为AB的中点，异面直线AC与所成的角为.（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积.解：（1）取AC中点E，连ME，NE，为中点，，又，，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面平面，又平面，平面.（2），为异面直线AC与所成角，即，为菱形，为等边三角形，连，则，且，而平面平面，平面平面面，平面，又面，，又正方形，，，又，平面，平面，又平面，，.22.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.（1）证明：；（2）若O为的垂心，AO的延长线交BC于点D，且，求的周长.解：（1），又，，，，又，，即，，，，.（2）作BO延长线交AC于E，为垂心，，，，，即，又，，∴，∴，∵，，在中，，，在中，，即，即，在中，，，即，，∴，，又，，，∴的周长为18.湖北省武汉市部分学校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、单选题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1.设i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由，得，所以复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：D.2.下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；最小正周期为，在区间上单调递增.故选：A.3.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意．故选：B．4.在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A.36π B.28π C.20π D.12π〖答案〗D〖解析〗依题意可知，旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥，如图所示：所以，，所以所形成的几何体的体积是.故选：D.5.为了得到函数的图象，只要把函数上所有的点（）A.向左平移 B.向左平移C.向右平移 D.向右平移〖答案〗B〖解析〗设函数平移m个单位得到，可得，即，解得，根据平移规律只要把函数上所有的点向左平移，即.故选：B.6.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中的值为0.004B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在内的学生人数为150〖答案〗D〖解析〗由，可得，故A错误；前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.故选：D.7.若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，是两个单位向量，且在上的投影向量为，所以，所以，，，所以，即的夹角的余弦值为.故选：C.8.在平面凸四边形ABCD中，，，，且，则四边形ABCD的面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗连接，设，则，在中，由余弦定理得，，在中，因为，，所以为等腰直角三角形，，则四边形ABCD面积=，因为，所以，所以当时，四边形面积取得最大值.故选：A.二、多选题：本大题共4小题.每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得2分.9.在某次测量中得到A样本数据如下：52，54，54，55，56，55，56，55，55，56，若B样本数据恰好是A样本数据加5后所得数据，则下列数字特征中，A，B两样本相同的是（）A.众数 B.极差 C.中位数 D.标准差〖答案〗BD〖解析〗根据已知，结合各个数字特征的求解公式，可知：样本中每个数据加上5以后，众数比原来多5，故A项错误；极差不变，故B项正确；中位数比原来多5，故C项错误；平均数比原来多5，根据标准差计算公式，可知标准差不变，故D项正确.故选：BD.10.若复数z满足，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.为纯虚数 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗设复数，由，得，整理得，于是，解得，，对于A，为纯虚数，A正确；对于B，，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.11.定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（）A. B.C.，则 D.〖答案〗BC〖解析〗对于A项，，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，由已知可得，，所以，因为，所以或，所以，故C项正确；对于D项，因为与相同或互补，所以，，，故D项错误.故选：BC.12.如图，一张矩形白纸ABCD，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点N.现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，则下列命题正确的是（）A.当平面平面时，平面BFDEB.当A，C重合于点P时，平面PFMC.当A，C重合于点P时，三棱锥P-DEF的外接球的表面积为D.当A，C重合于点P时，四棱锥P-BFDE的体积为〖答案〗ACD〖解析〗由题意，将△，△沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，此时四点共面，平面平面，平面平面当平面平面时，，由题意得：，所以四边形是平行四边形，，AC不在面BFDE内，MN在面BFDE内，进而得到平面，所以A正确；，，则可得，即，同理可得当A，C重合于点P时，如上图，则中，又，所以，因为，所以为等腰三角形，则，，所以和不垂直，则不垂直平面PFM，故B错误；当A，C重合于点P时如下图，在三棱锥中，均为直角三角形，所以为外接球的直径，则外接球半径则三棱锥的外接球表面积为，故C正确；，，则可得，即，同理可得当A，C重合于点P时，如下图，，PN、MN在面PMN内，则平面，DF在面BEFD内，平面平面，平面平面，过点，作，因为是边长为的等边三角形，所以可求得，由面面垂直的性质定理知平面，即为四棱锥P-BFDE的高，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球.某高中为了解学生对这一重大新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取15人，高二抽取12人，已知高三年级共有学生900人，则该高中所有学生总数为______人.〖答案〗3600〖解析〗由已知可得，高三学生抽取人数为，抽样比为，所以，该高中所有学生总数为.故〖答案〗为：3600.14.在正方形中，已知，，则的值为______.〖答案〗3〖解析〗是正方形，，，，.故〖答案〗为：3.15.如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为______，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为______.〖答案〗〖解析〗折叠后可得⊥，⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，故异面直线SG与EF所成的角为；取的中点，连接，过点作⊥于点，因为，，所以⊥，⊥，又，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，则即为直线SG与平面SEF所成角，设正方形的边长为2，则，故，所以，因为，由勾股定理得，则.故〖答案〗为：.16.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由，令，可得，所以只需，解得，又因为，所以，即，所以的取值范围是．故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设向量，，，函数，的最小正周期为.（1）求的值；（2）用五点法画出在一个周期内的图象.解：（1），，.（2），列表0x0200所以在一个周期内的图象为：18.如图，矩形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E在圆O上（异于A，B），F为DE的中点.（1）证明：平面；（2）若直线DE与平面所成的角为时，证明：平面平面.解：（1）因为平面，平面，所以，又为圆的直径，所以，又，平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，，且即为直线DE与平面所成的角，所以，所以，为等腰直角三角形，，又为的中点，所以，由（1）知，平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值.解：（1），由正弦定理得，，，，，