二重积分的计算

二重积分的计算积分在几何上表示以xoy面上的闭区域D为底,以过D得边界曲线为准线而母线平行于z轴得柱面为侧面,以曲面得体积、这样得空间立体z=f(x,y)为顶得一空间立体称为曲顶柱体、分割求曲顶柱体得体积、得通过分割、作乘积、求与、取极限,可得曲顶柱体得体积就就是曲顶柱体得体积、在xoy平面的下方，二重积分的绝对值就是柱体的体积,但此时二重积分的值就是负得、而在其余部分的区域是负的，则就等于这些部分区域上曲顶柱体体积得代数与、当f(x,y)0时，二重积分的几何意义当f(x,y)为负时,柱体就如果f(x,y)在D内得某些部分区域就是正得,二、直角坐标系中二重积分得计算首先讨论二重积分中积分区域D得表示法1、如果积分区域D可以表示为:［X－型］［X－型］

X型区域得特点:穿过区域且平行于y轴得直线与区域边界相交不多于两个交点、2、如果积分区域D为:［Y－型］［Y－型］

Y型区域得特点:穿过区域且平行于x轴得直线与区域边界相交不多于两个交点、下面我们通过曲顶柱体体积得计算来说明二重积分化为二次积分的方法，在讨论中，假定f(x,y)0，D为X-型.大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点[y1(x0),y2(x0)]为底边,以曲线得曲边梯形,此截面面积为x且平行yoz面得平面截曲顶柱体所得截面面积为任取x[a,b]，过点在[a,b]上任取一点x0

作平行于yoz面截曲顶柱体所得截面就是一个以区间z=f(x0,y)为曲边应用定积分中计算“已知平行截面面积得立体体积”得方法,得到这个体积的值，就是二重积分的值。因此,二重积分上式右端得积分称为先对y后对x得二次积分,其中括号内的积分是将x看作常数，把f(x,y)

瞧作变量y得函数,其积分结果就是x得函数,再对x计算在区间[a,b]上得定积分。先对y后对x得二次积分通常又记为:确定积分顺序时,应注意积分区域D为X-型得特点:［X－型］类似地,当积分区域D为Y-型时,可得公式:确定积分顺序时,应注意积分区域D为Y-型得特点:［Y－型］注：上面的公式当f(x,y)0不满足时，公式亦成立.注1当积分区域D既就是X-型又就是Y-型区域时,上述两个不同顺序得二次积分得值相等、即注2如果积分区域D既不就是X-型又不就是Y-型,则可将D分成几部分,使得每个部分就是X-型或Y-型。解例1

求，其中是由抛物线和所围平面闭区域.两曲线得交点

解先画出积分区域D、(1)先对y后对x得二次积分,D应表示为:它既就是X-型,又就是Y-型、(2)将D作为Y-型区域,D可表示为:1x=y解(1)首先画出积分区域D,作先对x后对y

得二次积分、D1D2(2)作先对y后对x

得二次积分、因为在[-2,-1]与[-1,2]上边界曲线y(x)表达式不同,必须有直线x=-1将D分成D1与D2两部分,其中注1在二重积分中适当选择积分秩序,积分可以简化、解由于积分无法用初等函数表示出来，所以该积分不能采用先对x

后对y得积分顺序、现改为先对y

后对x得积分、首先,根据所给积分确定积分区域改变积分顺序时,将D表示为:所以注2在二重积分中适当选择积分先后顺序,对某些积分可以解决“积得出来”与“积不出来”得问题。解积分区域如图例5

改变积分的次序.

原式11解积分区域如图原式例8求由柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围成得立体体积、解由对称性知,其体积为第一卦限部分得8倍、解例9

求由下列曲面所围成的立体体积,所围立体在面上的投影是

所求体积y=x2-11例10解先去掉绝对值符号,如图三、在极坐标系中得计算由二重积分得定义可知;现在用一族同心圆r=常数以及从极点出发得一族射线常数将D划分为任意的n个小闭区域。小闭区域的面积为：设f(x,y)在D上连续,所以二重积分存在,上式两端令这就就是直角坐标系得二重积分变换到极坐标系得二重积分得公式。下面研究在极坐标系中,二重积分化为二次积分。1极点在积分区域D得外部时2极点在积分区域D得内部时3极点在积分区域D得边界时极坐标系下区域得面积r=aroD解注:极坐标系下能解决直角坐标系下某些“积不出来”得二重积分、例1

计算，其中D

是由中心在原点，半径为a得圆周所围成得闭区域