中考数学第一轮复习资料

数学

年中考一轮复习（月日月日）

录）

第一部分数与代数

第一章数与式

第讲实数

第讲代数式

第讲整式与分式

第课时整式

第课时因式分解

第课时分式

第讲二次根式

第二章方程与不等式

第讲方程与方程组

第课时一元一次方程与二元一次方程组

第课时分式方程

第课时一元二次方程

第讲不等式与不等式组

第三章函数

第讲函数与平面直角坐标系

第讲一次函数

第讲反比例函数

第讲二次函数

第二部分空间与图形

第四章三角形与四边形

第讲相交线与平行线

第讲三角形

第课时三角形

第课时等腰三角形与直角三角形

第讲四边形与多边形

第课时多边形与平行四边形

第课时特殊的平行四边形

第课时梯形

第五章圆

第讲圆的基本性质

第讲与圆有关的位置关系

第讲与圆有关的计算

第六章图形与变换

第讲图形的轴对称、平移与旋转

第讲视图与投影

第讲尺规作图

第讲图形的相似

第讲解直角三角形

第三部分统计与概率

第七章统计与概率

第讲统计

第讲概率

第一部分数与代数

第一章数与式第讲实数

考点一、实数的概念及分类（分）

、实数的分类

正有理数

零有限小数与无限循环小数

负有理数

无理数

无限不循环小数

负无理数

、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类:

0开方开不尽的数，如啦等；

0有特定意义的数，如圆周率冗，或化简后含有冗的数，如3等;

0有特定结构的数，如…等；

0某些三角函数，如等

考点二、实数的倒数、相反数与绝对值（分）

、相反数

实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数

的两个数所对应的点关于原点对称，如果与互为相反数，则有，，反之亦成立。

、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，零的绝对值时它本

身，也可看成它的相反数，若，则〉；若，则&。正数大于零，负数小于零，正

数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

、倒数

如果与互为倒数，则有，反之亦成立。倒数等于本身的数是与。零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根与立方根（一分）

、平方根

如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的平方根（或二次方根）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数的平方根记做“土

、算术平方根

正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作“右”。

正数与零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

必=同=；注意右的双重非负性：

、立方根

如果一个数的立方等于，则这个数就叫做的立方根（或的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：口这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法与近似数（一分）

、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个

不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

、科学记数法

把一个数写做±axlO"的形式，其中IW"1O,是整数，这种记数法叫做科学

记数法。

考点五、实数大小的比较（分）

、数轴

规定了原点、正方向与单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规

定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并

能灵活运用。

、实数大小比较的几种常用方法

0数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

0求差比较：设、是实数，

0求商比较法：设、是两正实数，：＞loa＞娓=loa=";/＜loa＜。;

bbb

0绝对值比较法：设、是两负实数，则|4＞网=。＜6。

0平方法：设、是两负实数，则。2〉〃。”人

考点六、实数的运算(做题的基础，分值相当大)

、加法交换律a+b=b+a

、加法结合律(a+b)+c=。+(力+c)

、乘法交换律ab—ha

、乘法结合律{ab)c=a(Jbc)

、乘法对加法的分配律a[b+。）=ah+ac

、实数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

级基础题

.在一这四个数中，既不是正数也不是负数的是（）.-..

.一的绝对值等于（）..-.±

.一的倒数的相反数是（）.-.

.一的倒数是（）..一

.无理数一的相反数是（）.---

.下列各式，运算结果为负数的是（）

.某天最低气温是一℃,最高气温比最低气温高℃,则这天的最高气温

是℃.

.如果一V,则与的大小关系是（填“V”或

.（山东泰安）已知一粒米的质量是千克，这个数字用科学记数法表示为

（）

・X-千克.X-千克.X-千克.X-千克

.（河北）计算：一一（—）+x1-1+（一）•

图---

级中等题

.实数，在数轴上的位置如图一一所示，下列式子错误的是（）

.北京时间年月日，日本近海发生级强烈地震.本次地震导致地球当天自转

快了秒.这里的秒请你用科学记数法表示秒.

.将，，，按下列方式排列.若规定（，）表示第排从左向右第个数，则（）与（）

表示的两数之积是.

•计算：一一。一一+（一兀）..计算：一+G）—0+—•

级拔尖题

.如图一一，矩形的顶点，在数轴上，=，点对应的数为一，则点所对应的

数为.

DC

A0B图

.观察下列等式：

第个等式：==x[l-l];第个等式：==x[l-lj；

第个等式：==X[1-1];第个等式：==x(l-l)；

请解答下列问题：

()按以上规律列出第个等式：

()用含有的代数式表示第个等式：

==(为正整数)；

()求+++H---F的值.

选做题

.请你规定一种适合任意非零实数，的新运算“相‘，使得下列算式成立：

你规定的新运算©=(用，的一个代数式表示).

第讲代数式

考点一、整式的有关概念(分)

、代数式

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数

或一个字母也是代数式。

、单项式

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数

表示，如-4；/"这种表示就是错误的，应写成-冷/第一个单项式中，所有

字母的指数的与叫做这个单项式的次数。如2c是次单项式。

考点二、多项式(分)

、多项式

几个单项式的与叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式

中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的

次数。

单项式与多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代

数式的值。

注意：0求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代

入。

0求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”

代入。

、同类项

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数

项也是同类项。

、去括号法则

0括号前是“”，把括号与它前面的号一起去掉，括号里各项都不变

号。

0括号前是把括号与它前面的“-”号一起去掉，括号里各项都

变号。

、整式的运算法则

整式的加减法：（）去括号；0合并同类项。

整式的乘法：.优"・/=/+"（加，〃都是正整数）.

（优"）"=优""（见〃都是正整数）

整式的除法：〃都是正整数,"0）

注意：（）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

0单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项

数相同。

0计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还

要注意单项式的符号。

0多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

0公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

0多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所

得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

级基础题

.某省初中毕业学业考试的同学约有万人，其中男生约有万人，则女生约有

（）

.（十）万人.（一）万人.万人万人

.若=一，=+,则的值是（）

.若=,=,则++的值是（）..

.已知一=,则代数式的值是（）.—..一.

.已知实数，满足+（+）=,则一等于（）

.若一++=,则+的值为.

.通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降

低元后，再次下调了，现在收费标准是每分钟元，则原收费标准每分钟是元.

.已知代数式+与一+是同类项，+=.

.如图一一，点，在数轴上对应的实数分别为，，贝！1,间的距离是（用含，的

式子表示）.

m0iix图

.已知一=,求代数式（一）+（+）一的值.

级中等题

.若一=,一=,则+的值为（）.-..

.化简得；当=一时，原式的值为.

.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片［如图一一（）］不重叠的放在一个

底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部［如图一一（）］,盒子底面未被卡片覆盖的

部分用阴影表示，则图一一（）中两块阴影部分的周长与是（）

□国

H------巾—H

⑴（2）图---

.若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全

对称式，如++就是完全对称式.下列三个代数式：

其中是完全对称式的是（）

.已知=+,=—,计算一.

级拔尖题

.若==,贝「的值为（）.一

.一组按一定规律排列的式子仔）：

则第个式子是（为正整数）.

选做题

.）已知，=,=,求代数式+1-四二£］的值.

.如图一一，从边长为（+）的正方形纸片中剪去一个边长为（一）的正方形（＞）,

剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）

第讲整式与分式

第课时整式

级基础题

.计算（一）•的结果是（）.

.下列运算正确的是（）.-=.•=.・=（力）.（）=

.下列运算正确的是（）.+=.（-）=..=.0=

.在下列代数式中，系数为的单项式是（）..+..

.下列计算正确的是（）

.下列等式一定成立的是（）

・计算（一）的结果是（）.一.•一.

.（湖北荆州）将代数式+一化成（+）+的形式为（）

・计算：

（）（+）（-）=;0（山东德州）化简：+=.

.化简：（+）+（-）.

级中等题

.已知一个多项式与+的与等于+一，则这个多项式是（）

.（安徽芜湖）如图一一，从边长为（+）的正方形纸片中剪去一个边长为（+）

的正方形（＞）,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积

为（）.

.（湖南株洲）先化简，再求值：（一）一，其中=一，=.

.（吉林）先化简，再求值：（+）（—）+,其中=,=.

.（山西）先化简，再求值:（+）（-）-（-）+（-）,其中=一.

级拔尖题

.（四川宜宾）将代数式++化成（+）+的形式为（）

•若++=,求代数式［（—）+（+）（—）］:的值.

选做题

.观察下列算式：

()请你按以上规律写出第个算式；

()把这个规律用含字母的式子表示出来；

()你认为()中所写出的式子一定成立吗？并说明理由.

.(江苏苏州)若XX=,则的值为.

第课时因式分解

考点三、因式分解(分)

、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫

做把这个多项式分解因式。

、因式分解的常用方法

0提公因式法：ab+ac=a(b+c)

0运用公式法：a2-b-=(a+b\a-b)

()分组分解法：ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

0十字相乘法：/+(p+q)a+pq={a+p\a+q)

、因式分解的一般步骤：

0如果多项式的各项有公因式，则先提取公因式。

0在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的项数:

项式可以尝试运用公式法分解因式；项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解

因式；项式及项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

0分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

级基础题

.(四川凉山州)下列多项式能分解因式的是()

.(年山东济宁)下列式子变形是因式分解的是()

.（内蒙古呼与浩特）下列各因式分解正确的是（）

.（湖南邵阳）因式分解：一=.（辽宁沈阳）分解因式：一+=.

.（广西桂林）分解因式：一=.（浙江丽水）分解因式：一=.

.（贵州六盘水）分解因式：++=.

.在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）［如图一一（）］,把余下

的部分拼成一个矩形［如图一一（）］,根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以

验证（）

.若一=且一=,则+=.

级中等题

.对于任意自然数，（+）—是否能被整除，为什么?

.（山东临沂）分解因式：一+=.

.（四川内江）分解因式：一=.

.（山东潍坊）分解因式：一一=.

.（江苏无锡）分解因式㈠一（一）+的结果是（）

.（山东德州）已知：=+,=一,求的值.

级拔尖题

17.（江苏苏州）若=,+=,则+=.

.（湖北随州）设+—=,---=,且一金，则

选做题

.分解因式：一

.已知，，为△的三边长，且满足一=一，试判断△的形状.

2L（贵州黔东南州）分解因式一=.

第课时分式

考点一、分式（分）

、分式的概念

一般地，用、表示两个整式，+就可以表示成《的形式，如果中含有字母,

D

式子］就叫做分式。其中，叫做分式的分子，叫做分式的分母。分式与整式通称

D

为有理式。

、分式的性质

0分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

0分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

、分式的运算法则

级基础题

.（浙江湖州）要使分式有意义，的取值范围满足（）

.（四川德阳）使代数式有意义的的取值范围是（）

.>.力.>且壬.一切实数

.在括号内填入适当的代数式，是下列等式成立：

.约分：=;=.

.已知=,则=..当=时，分式的值为零.

.（福建漳州）化简：+.

.（浙江衢州）先化简+,再选取一个你喜欢的数代入求值.

.先化简，再求值：一，其中=.

.（山东泰安）化简：］乏-/\卜=.

级中等题

.若分式有意义，则应满足的条件是（）

.丰.丰.美且W.以上结果都不对

.先化简，再求值：（川-哥j

.（湖南常德）先化简，再求值.

(1+%2-2x+「

其中=.

、X+1x~—1,

.（四川资阳）先化简，再求值：第｝其中是方程一=的根.

级拔尖题

.先化简再求值：+,其中++—=.

选做题

.已知---=,求+的值.

第讲二次根式

考点一、二次根式（初中数学基础，分值很大）

、二次根式

式子石（a20）叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“«”；被

开方数必须是非负数。

、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能

开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法与步骤:

0如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性

质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

0如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得

尽方的因数或因式开出来。

、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式

叫做同类二次根式。

、二次根式的性质

、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减,

有括号的先算括号里的（或先去括号）。

级基础题

.下列二次根式是最简二次根式的是（）

.下列计算正确的是（）

.若V,化简一=（）

.（广西玉林）计算：一=（）...

.如图一一，数轴上、两点表示的数分别为一与，点关于点的对称点为，则

点所表示的数为（）

IIII“

CA0B图---

.（湖南衡阳）计算：+=.（辽宁营口）计算一=.

.已知一个正数的平方根是一与+,则这个数是.

.若将三个数一，，表示在数轴上，其中能被如图一一所示的墨迹覆盖的数

是.

.（四川内江）计算：°一（九一）H------

级中等题

.（安徽）设=一，在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）

•与•与•与•与

.（山东烟台）如果=一，贝）

.（浙江）已知=+,=-,则代数式的值为（）

.（福建福州）若是整数，则正整数的最小值为.

.（贵州贵阳）如图一一，矩形的边长为，边长为，在数轴上，以原点为圆心,

对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）

C,___

•••r团

-2-1（）I'、图---

.（四川凉山州）计算：（。）一+［占］--+X（-）.

级拔尖题

.（湖北荆州）若与一一互为相反数，则+的值为（）

.（山东日照）已知，为实数，且满足一（一）=,则一=.

选做题

.（四川凉山州）已知=+一，则的值为（）

第二章方程与不等式

第讲方程与方程组

第课时一元一次方程与二元一次方程组

考点一、一元一次方程的概念（分）

、方程

含有未知数的等式叫做方程。

、方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

、等式的性质

0等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等

式。

0等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍

是等式。

、一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方

程，其中方程以+8=0（x为未知数，a^O）叫做一元一次方程的标准形式，是未知

数的系数，是常数项。

考点二、二元一次方程组（分）

、二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是的整式方程叫做二元一次方程，

它的一般形式是（

、二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的

一个解。

、二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做

二元一次方程组的解。

、二元一次方正组的解法

0代入法0加减法

、三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程。

、三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做

三元一次方程组

级基础题

.（山东枣庄）“五一”节期间，某电器按成本价提高后标价，再打折（标价的）

销售，售价为元.设该电器的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是

（）

.（广西桂林）二元一次方程组已73•的解是（）

.（湖南衡阳）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购

羽毛球拍与乒乓球拍，若购副羽毛球拍与副乒乓球拍共需元，小强一共用元购买

了副同样的羽毛球拍与副同样的乒乓球拍.若设每副羽毛球拍为元，每副乒乓球

拍为元，列二元一次方程组得（）

.（贵州铜仁）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部

栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等.如果每隔米栽

棵，则树苗缺棵；如果每隔米栽棵，则树苗正好用完.设原有树苗棵，则根据题

意列出方程正确的是（）

.已知关于的方程一=的解是=,则的值是.

.方程组=的解是.

\2x+y=l

.（湖南湘潭）湖南省年赴台旅游人数达万人.我市某九年级一学生家长准备

中考后全家人去台湾旅游，计划花费元.设每人向旅行社缴纳元费用后，共剩元

用于购物与品尝台湾美食.根据题意，列出方程为.

.（年江苏苏州）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家.有关数据显示，中国

人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源

占有量之与为.问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：）

级中等题

.债州黔西南）已知一一与+是同类项，则（一）=.

.（山东荷泽）已知ri,是二元一次方程组的解则一的算术平方根

[y=1也一冲=1,

为（）.土.

.（湖北咸宁）某宾馆有单人间与双人间两种房间，入住个单人间与个双人间

共需元，入住个单人间与个双人间共需元，则入住单人间与双人间各个共需元.

.（内蒙古呼与浩特）解方程组：

级拔尖题

.如图一一，直线：=+与直线：=+相交于点（，）.

（）求的值.

（）不解关于，的方程组FL请你直接写出它的解.

（）直线：=+是否也经过点？请说明理由.

.（江西南昌）小明的妈妈在菜市场买回斤萝卜、斤排骨，准备做萝卜排骨汤.

妈妈说：“今天买这两样菜共花了元，上月买同重量的这两样菜只要元”；

爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨，排骨的单价上涨”；

小明说：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜与排骨的单价分别是多少？”

请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元斤）.

选做题

.（上海）解方程组：

[k-2x）^-3y=0.

.若关于，的二元一次方程组厂的解也是二元一次方程+=的解，则

[x-y=9k

的值为（）

第课时分式方程

考点一、分式方程（分）

、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是:

0去分母，方程两边都乘以最简公分母

0解所得的整式方程

0验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；

若不等于零，就是原方程的根。

、分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程

具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

级基础题

.（广西北海）分式方程=的解是（）.

.（浙江丽水）把分式方程=化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（）

.（湖北随州）分式方程=的解是（）

.（四川成都）分式方程=的解为（）

.（四川内江）甲车行驶千米与乙车行驶千米所用的时间相同.已知乙车每小

时比甲车多行驶千米，设甲车的速度为千米时，依题意列方程正确的是（）

.方程=的解是.

.（江苏连云港）今年月日起，国家实施了《中央财政补贴条例〉〉，支持高效节

能电器的推广使用.某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补

贴元，若同样用万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多，则条

例实施前此款空调的售价为元.

.（山东德州）解方程：+=.

.（江苏泰州）当为何值时，分式的值比分式的值大

.（北京）据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中

的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞

尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的倍少毫克，若一年滞尘毫克所需的银

杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同.求一片国槐树叶一年

的平均滞尘量.

级中等题

.（山东莱芜）对于非零实数,，规定©=一.若©（一）=,则的值为（）

.（四川巴中）若关于的方程+=有增根，则的值是.

.（山东荷泽改编）我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书.经了解,

科普书的单价比文学书的单价多元，用元购进的科普书与用元购进的文学书的

本数相等.

级拔尖题

.（江苏无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁年，年期满后由开发商以比原商

铺标价高的价格进行回购.投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标

价的；

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，年后每年可以获得的

租金为商铺标价的，但要缴纳租金的作为管理费用.

（）请问：投资者选择哪种购铺方案，年后所获得的投资收益率更高？为什么

（注：投资收益率=x）

（）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，则年后

两人获得的收益将相差万元.问：甲、乙两人各投资了多少万元？

选做题

.（山东日照）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具

包，文具店规定一次购买个以上，可享受折优惠.若给九年级学生每人购买一个,

不能享受折优惠，需付款元；若多买个，就可享受折优惠，同样只需付款元.请

问该学校九年级学生有多少人？

.（湖北黄冈）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作件投入市场，服

装厂有，两个制衣车间，车间每天加工的数量是车间的倍，，两车间共同完成

一半后，车间出现故障停产，剩下全部由车间单独完成，结果前后共用天完成,

求，两车间每天分别能加工多少件.

第课时一元二次方程

考点一、一元二次方程（分）

、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程。

、一元二次方程的一般形式

ax1++c=0（。w0）,它的特征是:等式左边十一个关于未知数的二次多项式,

等式右边是零，其中以2叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次

项系数；叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法（分）

、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方

法。直接开平方法适用于解形如"）2=力的一元二次方程。根据平方根的定义

可知，x+CI是的平方根，当8N0时，x+a=+4b,X=-a+4b,当〈时，方程没有

实数根。

、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且

在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式

a2±2a"〃=（a+b）2,把公式中的看做未知数，并用代替，则有

X2±2hx+b2-（x±h）2o

、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一

般方法。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a/0）的求根公式：

、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单

易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点三、一元二次方程根的判别式（分）

根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）中,b2-4ac叫做一元二次方程

法+c=0（“¥0）的根的判另1J式，通常用来表示，即△=/一4四

考点四、一元二次方程根与系数的关系（分）

br

如果方程“2+"+c=0（。/0）的两个实数根是孙看,贝L+尤2=----,X|%2=­o

aa

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之与等于方程的一次项

系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所

得的商。

级基础题

.（江苏泰州）一元二次方程=的根是（）

.方程一=的根是（）

.（安徽）一元二次方程（一）=一的根是（）

.—..与♦一与

.（贵州安顺）已知是关于的一元二次方程（一）++=的一个根，则的值是

（）

..一•.无法确定

.（湖北武汉）若，是一元二次方程一+=的两根，则+的值是（）

.（湖南常德）若一元二次方程++=有实数解，则的取值范围是（）

.（江西南昌）已知关于的一元二次方程+一=有两个相等的实数根，则的值

是（）

.（上海）如果关于的一元二次方程一十=（是常数）没有实根，则的取值范围

是.

.（山东滨州）某商品原售价为元，经过连续两次降价后售价为元，设平均每

次降价的分率为，可列方程为。

•解方程：（-）+（-）=.

级中等题

.（内蒙古呼与浩特）已知：，是一元二次方程++=的两个根，且+=,=,

则，的值分别是（）

.（山东潍坊）关于的方程++-=的根的情况描述正确的是（）

.为任何实数，方程都没有实数根

.为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

.为任何实数，方程都有两个相等的实数根

.根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数

根与有两个相等的实数根三种

.（山东德州）若，是方程+一=的两个实数根，则+=.

.（年江苏苏州）已知，是一元二次方程一一=的两个实数根，则代数式（一）（+

一）+的值等于.

.（山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，

平均每天可售出千克.后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销

售可增加千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利元，请回答：

（）每千克核桃应降价多少元？

（）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应

按原售价的几折出售？

.（湖南湘潭）如图一一，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,

围成一个矩形花园（围墙最长可利用）,现在已备足可以砌长的墙的材料，试设

计一种砌法，使矩形花园的面积为.

级拔尖题

.（湖北襄阳）如果关于的一元二次方程一+=有两个不相等的实数根，则的

取值范围是（）

.<.V且-<<.一且力

选做题

.（江苏南通）设d£是一元二次方程+一=的两个根，贝!|a+a+P=.

.三角形的每条边的长都是方程一+=的根，则三角形的周长是.

第讲不等式与不等式组

考点一、不等式的概念（分）

、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都

叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集

合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质（分）

、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

考试题型：

考点三、一元一次不等式（分）

、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是，且不等式的两边都

是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

0去分母0去括号。移项0合并同类项0将项的系数化为

考点四、一元一次不等式组（分）

、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式

组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空

集。

、一元一次不等式组的解法

0分别求出不等式组中各个不等式的解集

0利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集

级基础题

.不等式—》的解集为（）

.（湖南长沙）一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图一一，则下列符合

条件的不等式组为（）

.函数=+的图象如图一一，则当V时，的取值范围是（）

.直线：=+与直线：=+在同一平面直角坐标系中的图象如图一一，则关

于的不等式+V+的解集为（）

.若关于的不等式组,的解集是A，则的取值范围是.

.（江苏扬州）在平面直角坐标系中，点（，一）在第一象限内，则的取值范围

是.

X+1

7.不等式组〒"，的整数解是

l-2x<4

8..（江苏苏州）解不等式组：［?：丁：：，

.某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老

人.如果给每个老人分盒，则剩下盒，如果给每个老人分盒，则最后一个老人不

足盒，但至少分得盒.

（）设敬老院有名老人，则这批牛奶共有多少盒（用含的代数式表示）

（）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

级中等题

.（湖北荆门）已知点（一，一）关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围在

数轴上表示正确的是（）

.（湖北恩施）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中损失，假设

不计超市其他费用，如果超市要想至少获得的利润，则这种水果的售价在进价的

基础上应至少提高（）

.（湖北黄石）若关于的不等式组有实数解，则实数的取值范围是.

\3x-a>j

.为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲、乙两种票,

已知甲、乙两种票的单价比为：，单价与为元.

()甲乙两种票的单价分别是多少元？

()学校计划拿出不超过元的资金，让七年级一班的名学生首先观看，且规定

购买甲种票必须多于张，有哪几种购买方案？

级拔尖题

Wo

.试确定实数的取值范围，使不等式组2J恰有两个整数解.

、+2＞劣+1)+。

33

.(四川德阳)今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民,

给某厂下达了生产种板材与种板材的任务.

()如果该厂安排人生产这两种板材，每人每天能生产种板材或种板材.请

问：应分别安排多少人生产种板材与种板材，才能确保同时完成各自的生产任

务？

()某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共间，

已知建设一间甲型板房与一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：

安置人数

板房种板材种板材

人

甲型

乙型

问这间板房最多能安置多少灾民？

选做题

.若关于，的二元一次方程组的解满足+V,则实数的取值范围

为.

.(年福建泉州)某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价与售价

如下表所示：

类别冰箱彩电

进价(元台)

售价(元台)

()按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价的政府补贴.农民田大

伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？

()为满足农民需求，商场决定用不超过元采购冰箱、彩电共台，且冰箱的数

量不少于彩电数量的.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩

电各多少台？最大获利是多少？

第三章函数

第讲函数与平面直角坐标系

考点一、平面直角坐标系(分)

、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵

轴，取向上为正方向；两轴的交点(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建

立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴与轴分割而成的四个部

分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：轴与轴上的点，不属于任何象限。

、点的坐标的概念

点的坐标用(，)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分

开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当中。时，(,)

与(，)是两个不同点的坐标。

考点二、不同位置的点的坐标的特征(分)

、各象限内点的坐标的特征

点()在第一象限ox>0,y>0点()在第二象限ox<0,y>0

点()在第三象限ox<0,y<0点()在第四象限ox>0,y<0

、坐标轴上的点的特征

点()在轴上oy=0,为任意实数点()在轴上ox=0,为任意实数

点()既在轴上，又在轴上。，同时为零，即点坐标为(，)

、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点()在第一、三象限夹角平分线上。与相等

点()在第二、四象限夹角平分线上。与互为相反数

、与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于轴的直线上的各点的横坐标相同。

、关于轴、轴或远点对称的点的坐标的特征

点与点'关于轴对称o横坐标相等，纵坐标互为相反数

点与点'关于轴对称o纵坐标相等，横坐标互为相反数

点与点'关于原点对称。横、纵坐标均互为相反数

、点到坐标轴及原点的距离

点()到坐标轴及原点的距离：

0点()到轴的距离等于|y|

0点()到轴的距离等于|x|

()点()到原点的距离等于疗寿

级基础题

.(山东荷泽)点(一)在平面直角坐标系中所在的象限是()

.第一象限.第二象限.第三象限.第四象限

.(四川成都)在平面直角坐标系中，点(一)关于轴的对称点的坐标为()

.已知轴上的点到轴的距离为，则点的坐标为()

.0.（）.（阈,-）.（）或㈠

.（浙江绍兴）在如图一一所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的口，

点的坐标是0.现将这张胶片平移，使点落在点'（，一）处，则此平移可以是（）

.先向右平移个单位,再向下平移个单位

.先向右平移个单位,再向下平移个单位

.先向右平移个单位,再向下平移个单位

.先向右平移个单位,再向下平移个单位

.（山东枣庄）在平面直角坐标系中，点（一，+）所在的象限是（）

.第一象限.第二象限.第三象限.第四象限

.（湖北孝感）如图一一，△在平面直角坐标系中第二象限内，顶点的坐标是

（-）,先把△向右平移个单位得到^,再作△关于轴的对称图形△,则顶点的坐

标是（）

.（贵州毕节）如图一一，在平面直角坐标系中，以原点为中心，将△扩大到原

来的倍，得到.若点的坐标是（），则点'的坐标是（）

.（浙江衢州）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡与平路（如图

若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为、、，且<<,则小亮同学骑车上学

时，离家的路程与所用时间的函数关系图象可能是（）

.(山东潍坊)甲、乙两位同学用围棋子做游戏，如图一一，现轮到黑棋下子,

黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的个棋子组成轴对称图形，白棋的个棋子也成

轴对称图形.则下列下子方法不正确的是()

[说明：棋子的位置用数对表示，如点在()]

•黑()；白().黑();白0

.黑()；白().黑()；白0

.(山东德州)点()关于原点的对称点'的坐标为.

级中等题

.(四川内江)已知点()，(,一)，点在轴上，当一最大时，点的坐标为.

.(四川达州)将边长分别为，…，的正方形置于直角坐标系第一象限，如图

一一中的方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之与为.

o।，14…U)，nx图---图---

.(江苏南京)在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着轴翻折，再向

右平移两个单位称为一次变换.如图一一，已知等边三角形的顶点、的坐标分别

是(一，-),(-,-),把△经过连续九次这样的变换得到,则点的对

应点'的坐标是.

.(吉林)在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称

点为点.

()若点的坐标为()，请你在给出的图一一，坐标系中画出△.设与轴的交点为,

则=；

（）若点的坐标为（，）（r）,则△的形状为.

级拔尖题

.（贵州贵阳）【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点（，）、（,）为端点的

线段中点坐标为（宥,”3.

【运用】（）如图一一，矩形的对角线交于点,、分别在轴与轴上，为坐标原点,

点的坐标为（），求点的坐标；

（）在直角坐标系中，有（一），0,（）三点，另有一点与点，，构成平行四边形的

顶点，求点的坐标.

图---

选做题

.（江苏苏州）已知在平面直角坐标系中放置了个如图一一所示的正方形（用阴

影表示），点在轴上，点、、、、、、在轴上.若正方形的边长为，Z=°,IIIIf则

点到轴的距离是（）

第讲一次函数

函数及其相关概念（分）

、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做

常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一

确定的值与它对应，则就说是自变量，是的函数。

、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

、函数的三种表示法及其优缺点

0解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的

等式表示，这种表示法叫做解析法。

0列表法

把自变量的一系列值与函数的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示

法叫做列表法。

0图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

、由函数解析式画其图像的一般步骤

0列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

0描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

0连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点一、正比例函数与一次函数（分）

、正比例函数与一次函数的概念

一般地，如果丁=依