模型2020年中考数学33个模型全梳理7

专题一角平分线相关问题模型解题

解题模型一

针对训练

1.（2016•枣庄）如图，在AABC中，AB=AC,/A=30。，E为BC延长线上一点，/ABC与NACE的平分

线相交于点D,则ND的度数为（

A.15°B.17.5°

【分析】由解题模型一中的（3）可知，/D=4/A,把/A的度数代入计算即可.

2

【详解】ZD=1-ZA=1X300=150.

22

故选：A.

【小结】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到NA、ND的数量关系.

2.（2018•巴中）如图，在aABC中，BO、CO分别平分NABC、ZACB.若/BOC=110。，则NA=

【分析】由解题模型一中的⑴可知，ZBOC=90°+1ZA,把NBOC=110。代入计算可得到/A的度数.

2

【详解】VZBOC=90°+AZA,ZBOC=110°,90°+^ZA=110°.ZA=40°.

22

【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到/BOC、ZA的数量关

系.

3.（2018•深圳）在RtZ\ABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,BE平分/ABC,AD、BE相交于点F,且AF=4,

EF=&,贝ijAC=.

【分析】先求出NEFG=45。，进而利用勾股定理即可得出FG=EG=1,进而求出AE,最后判断出△AER”kAFC,

即可得出结论.

【详解】•/AD,BE是分别是/BAC和/ABC的平分线，

/.ZAFB=90°+ZACB=135O.

过点E作EG1AD于点G,则NEFG=45。.

在RtZkEFG中，EF=V2,/.FG=EG=1.

\'AF=4,；.AG=AF-FG=3.

根据勾股定理，得AEWAG2+EG

连接CF.

：AD平分NCAB,BE平分NABC,，CF是/ACB的平分线.NACF=45°=NAFE.

；NCAF=NFAE,二AAF.FSAAF,，趣=与.二A「=AF、=[6=Wi。故答案为_§£^.

AF-ACAEV1055

【小结】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE是解本题的关键.

4.（2018•济南历城区模拟）如图，BAI和CAi分别是4ABC的内角平分线和外角平分线，BA?是NA|BD

的角平分线，CA2是NA|CD的角平分线，BA3是NA?BD的角平分线，CA3是/A?CD的角平分线，若

NA।=a,则NA2018=____________

【分析】根据角平分线的定义可得NA|BC=£/ABC,ZAtCD=lZACD,再根据三角形的一个外角等于与它

不相邻的两个内角的和可得NACD=/A+/ABC,ZA,CD=ZA1BC+ZA1,整理即可得解，同理求出/A2,

可以发现后T角等于前一个角吗，根据此规律即可得解.

【详解】：A|B是NABC的平分线，AIC是NACD的平分线,

NA|BC」NABC,/A|CD=1-/ACD,

22

XVZACD=ZA+ZABC,ZA,CD=ZAIBC+ZA,,

.'A(ZA+ZABC)=^ZABC-ZA,,

22

.*.NAT/A,

2

•「NAi=a,

同理理可得NA2=5/A产枭，

22

则4刈产请田

故答案为：请田

【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义,

熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。

解题模型二

1.角平分线+平行线一等腰三角形

如图1,BD是/ABC的平分线，点0是BD上一点，OE〃BC交AB于点E,则4BOE是等腰三角形.

2.与角平分线有关的辅助线

(1)过角平分线上的点作角两边的垂线

如图2,B0是NABC的平分线，过点0作OEJ_AB于点E,过点0作0FLBC于点F,则OE=OF,△

(2)角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形

如图3,B0是/ABC的平分线，在BA,BC上取线段BE=BF,则△BEOg/XBFO.

(3)过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形.

如图4,BD是NABC的平分线，点E是BD上一点，过点E作BD的垂线，则△BGH是等腰三角形且

BD垂直平分GH.

针对训练

5.（2018•长春）如图，在AABC中，CD平分NACB交AB于点D,过点D作DE〃BC交AC于点E.若

ZA=54°,NB=48。，则NCDE的大小为（

B

A.44°B.40°C.39°D.38°

t分析】根据三角形内角和得出NACB,利用角平分线得出NDCB,再利用平行线的性质详解即可.

t详解】•."ZA=54%NB=48°,

.\ZACB=180°-54°-480=78°.

,.,CD平分/ACB交AB于点D,

/.ZDCB=-^x78e=39°.

2

'/DE//BC,

.,.ZCDE=ZDCB=39°.

【小结】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质详解.

6.（2016•湖州）如图，AB〃CD,BP和CP分别平分/ABC和/DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,

则点P到BC的距离是（）

A.8B.6C.

【分析】过点P作PEJ_BC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE,PD=PE,那么

PE=PA=PD,又AD=8,进而求出PE=4

【详解】过点P作PEJ_BC于点E.

：AB〃CD,PA1AB,.".PD1CD.

：BP和CP分别平分/ABC和/DCB,，PA=PE,PD=PE.,；.PE=PA=PD.

VPA+PD=AD=8,，PA=PD=4.，PE=4.故选：C.

【小结】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键.

7.（2018•常德）如图，已知BD是AABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，ZBA,C=9O°,AD=3,则

CE的长为（）

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC,根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出NC=/DBC=

NABD=30。，根据直角三角形的性质详解.

【详解】是BC的垂直平分线，.•.DB=DC.

.".ZC=ZDBC.

,/BD是aABC的角平分线,

.\ZABD=ZDBC.

.•.ZC=ZDBC=ZABD=30S.

/.BD=2AD=6.

.•.CE=CDXcos/C=3近

故选：D.

【小结】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三.角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两

端点的距离相等是解题的关键.

8.（2018•淄博）如图，在RtZXABC中，CM平分NACB交AB于点M,过点M作MN〃BC交AC于点N,

且MN平分NAMC,若AN=1,则BC的长为（）

A.4B.6C.45/3D.8

【分析】根据题意，可以求得NB的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得

BC的长.

【详解】.在RtAABC中，CM平分NACB交AB于点M,过点M作MN”BC交AC于点N,且MN平分/

AMC,

.•./AMN=/NMC=NB,ZNCM=ZBCM=ZNMC.

/.ZACB=2ZB,NM=NC.

.".ZB=30O.

".'AN=1,.\MN=2.

/.AC=AN+NC=3.

/.BC=6.

故选：B.

【小结】本题考查30。角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，详解本题的关键是明确

题意，找出所求问题需要的条件,，利用数形结合的思想详解.

9.（2018•大庆）如图，NB=NC=90。，M是BC的中点，DM平分/ADC,且/ADC=110。，则NMAB=（)

A.30°B.35°C.45°D.60°

【分析1作MN_LAD于N,根据平行线的性质求出NDAB,根据角平分线的判定定理得到/MAB=L/DAB,

2

计算即可

【详解】作MN_LAD于点N,

"."ZB=ZC=900,/.ABIICD.

.,.ZDAB=180°-ZADC=7O°.

「DM平分NADC,MN1AD,MC_LCD,

.,.MN=MC.

,「M是BC的中点，

/.MC=MB.

又MN1AD,MB1AB,

.\ZMAB=—ZDAB=35°.

2

故选：B.

L小结】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两个端点的距离相等.

10.（2018•河北）如图，点I为AABC的内心，AB=4,AC=3,BC=2,将NACB平移使其顶点与I重合,

则图中阴影部分的周长为（）

【分析】连接AI、BI,因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是NCAB的平分线,由平行的性质

和等角对等边可得：AD=DL同理BE=EI,所以图中阴影部分的周长就是边AB的长.

【详解】连接Al、BI.

•..点I为Z1ABC的内心，:Al平分/CAB.

/.ZCAI=ZBAI.

由平移得：AC"DI,

/.ZCAI=ZAID.

.\ZBAI=ZAID.

.,.AD=DI.

同理可得：BE=EI.

「.△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD-BE=AB=4.

即图中阴影部分的周长为4.

故选：B.

【小结】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是

角平分线的交点是关键.

11.（2018•枣庄）如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°,CD」AB,垂足为D,AF平分/CAB,交CD于点

E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为（）

8

A,2

5

【分析】根据三角形的内角和定理得出NCAF+NCFA=90。，NFAD+NAED=90。，根据角平分线和对顶角相

等得出NCEF=NCFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.

【详解】过点F作FGLAB于点G,如图所示.

/ZACB=900,CD1AB,/.ZCDA=9O,,.

,.ZCAF+ZCFA=90°,ZFAD*ZAED=90°.

.'AF平分NCAB,

\ZCAF=ZFAD.

\ZCFA=ZAED=ZCEF.

\CE=CF.

「AF平分/CAB,ZACF=ZAGF=908,

\FC=FG.

/ZB=ZB,ZFGB=ZACB=90°,

,.△BFGOOABAC.

.BFFG

'ABAC'

/AC=3,AB=5,ZACB=90°,

ABCM,,-.1ZECFG

53

：FC=FG,/.±±CFC解得FC=3,

53,2

即CE的长为W.故选：A.

2

【小结】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的

判定与性质等知识，关键是推出/CEF=/CFE.

12.（2017•滨州）如图，点P为定角/AOB的平分线上的一个定点，且NMPN与NAOB互补，若NMPN

在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）

OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变：1r（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】如图作PE1OA于E,PF1OB于F.只要证明aPOE丝APOF,△PEM丝△PFN,即可——判断.

【详解】如图，作PE1OA于点E,PF1OB于点F.

,.,ZPEO=ZPFO=90°,

.,.ZEPF+ZAOB=180O.

,.■ZMPN-ZAOB=180%

.,.ZEPF=ZMPN.

.,.ZEPM=ZFPN.

；0P平分NAOB,PEj_OA于点E,PFj_OB于点F,...PEXPF.

在APOE和△POF中，J0P=0P,.,.△POE^APOF(HL)..•.OE=OF.

lPE=PF

，ZMPE=ZNPF

在APEM和△PFN中，.PE=PF，.，.△PEM^APFN(ASA)..*.EM=NF,PM=PN,故(1)正确.

.ZPEM=ZPFN

.".SAPEM-SAPNF，m«PMON=SrwepEO产定值，故(3)正确.•；OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故

(2)正确，MN的长度是变化的，故(4)错误.，故选：B.

【小结】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

13.（2018•德州）如图，OC为NAOB的平分线，CM1OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为3

【分析】过点C作CF1AO,根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等

可得CF=CM,进而可得答案.

【详解】过C作CF1AO,

；OC为/AOB的平分线，CM1OB,/.CM=CE

■/OC=5,OM=4,.-.CM=3.

；.CF=3.

故答案为：3.

【小结】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

14.（2018•广安）如图，ZAOE=ZBOE=15°,EF〃OB,EC_LOB于C,若EC=1,则OF=2

【分析】作EHLOA于点H,根据角平分线的性质求出EH,根据直角三角形的性质求出EF,根据等腰三

角形的性质详解.

【详解】作EHLOA于点H,如图所示.

,.-ZAOE=ZBOE=15°,EClOB,EH±OA,

/.EH=EC=1,ZAOB=300.

■/EF//OB,

.\ZEFH=ZAOB=300,ZFEO=ZBOE.

/.EF=2EH=2,ZFEO=ZFOE.

/.0F=EF=2.

故答案为：2.

【小结】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌.握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是

解题的关键.

15.（2018•桂林）如图，在4ABC中，/A=36。，AB=AC,BD平分NABC,则图中等腰三角形的个数是3

【答案】3

【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：等角

对等边详解，做题时要注意.，从最明显的找起，由易到难，不重不漏

【详解】'.-AB=AC,NA=36Y.ZkABC是等腰三角形，

NABC-NACB-180°-36°=72°,

2

BD平分/ABC,.,.ZEBD=ZDBC=36O.

.,.在AABD中，ZA=ZABD=36",AD=BD,4ABD是等腰三角形，

在AABC中，/C=/ABC=72。，AB=AC,4ABC是等腰三角形，

在ABDC中，ZC=ZBDC=72°,BD=BC,ABDC是等腰三角形.

•••共有3个等腰三角形.

故答案为：3

【小结】本题考查了等腰三角形的性质及等腰三角形的判定，角的平分线的性质；求得各个角的度数是正

确详解本题的关键.

16.（2016•长春）感知：如图1,AD平分/BAC.NB+/C=180。，ZB=90°,易知：DB=DC.

探究：如图2,AD平分NBAC,ZABD+ZACD=180°,ZABD<90°,求证：DB=DC

应用：如图3,四边形ABCD中，ZB=45°,NC=135。，DB=DC=a,则AB-AC=（用含a的代数式表

示）

图①图②图③

【分析】探究：欲证明DB=DC,只要证明ADFC丝Z\DEB即可.

应用：先证明aDFC丝ADEB,再证明4ADFg4ADE,结合BD=&EB即可解决问题.

【详解】探究：证明：如图。②中，DEJ_AB于E,DFJ_AC于F,

：DA平分NBAC,DE1AB,DF±AC,.\DE=DF.

VZB+ZACD=180°,ZACD+ZFCD=180°,/.ZB=ZFCD.

，ZF=ZDEB

在ADFC和ADEB中，•/FCD=/B，.,.ADFC^ADEB(AAS)..,.DC=DB.

DF=DE

B

图②图③

应用：如图③连接AD,过点D作DE1AB于点E,过点D作DF±AC于点F.

■/ZB+ZACD=1800,ZACD+ZFCD=180O,

/.ZB=ZFCD.

在ADFC和ADEB中，

2F=NDEB

，NFCD=NB,

,DC=DB

/.△DFC^ADEB(AAS).

/.DF=DE,CF=BE.

在RtAADF和RtAADE中,

(AD=AD

IDE=DF'

/.△ADI^AADE(HL)..\AF=AE.

/.AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE.

在RTZkDEB中，,.*ZDEB=90O,ZB=ZEDB=45°,BD=a,

.■,BE=^-a.

2

/.AB-AC=5/sa.故答案为

【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型.

专题二全等三角形模型解题

解题模型一平移模型

针对训练

1.(2018•桂林)如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.

(1)求证：△ABC04DEF；

(2)若NA=55。，/B=88。，求NF的度数.

【分析】(1)求出AC=DF,根据SSS推出aABC之ADEF.

(2)由(1)中全等三角形的性质得到：/A=/EDF,进而得出结论即可.

【解答】证明：(D'..AC=AD-DC,DF=DC+CF,且AD=CF,

.\AC=DF.

融DE

在4ABC和ADEF中，＜BC=EF

.AC=DF

/.△ABC^ADEF(SSS).

(2)由(1)可知，ZF=ZACB.

,.,ZA=55°,ZB=88°,

.".ZACB=180--(ZA+ZB)=180°-(55。+88°)=37°.

/.ZF=ZACB=37O.

【小结】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等.

解题模型二对称模型

针对训练

2.（2018•南充）如图，已知AB=AD,AC=AE,ZBAE=ZDAC.

求证：ZC=ZE.

【分析】由NBAE=NDAC可得到/BAC=NDAE,再根据“SAS”可判断aBAC丝4DAE,根据全等的性质

即可得到/C=/E.

【解答】证明：,/ZBAEXZDAC,

二./BAE-ZCAE=ZDAC-ZCAE,即NBAC=/DAE.

在AABC和AADE中，

'AB=AD

V-ZBAC=ZDAE,

,AC=AE

/.△ABC^AADE(SAS).

；.NC=NE.

【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；

全等三角形的对应角相等，对应边相等.

3.（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证：ZA=ZC.

【分析】根据AE=EC,DE=BE,/AED和NCEB是对顶角，利用SAS证明4ADE丝Z\CBE即可.

【解答】证明：在4AED和4CEB中,

'AE=CE

<ZAED=ZCEB-

DE=BE

/.△AED^ACEB(SAS).

/.ZA=ZC（全等三角形对应角相等）.

【小结】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学

生应熟练掌握.

4.（2018•乐山）如图，己知/1=/2,/3=/4,求证：BC=BD.

【分析】由/3=/4可以得出/ABD=/ABC,再利用ASA就可以得出4ADB丝Z^ACB,就可以得出结论.

【解答】证明：..•NABD-N3=18O2ABC+N4=18O°,且N3=N4,

/.ZABD=ZABC.

在AADB和4ACB中，

'N1=N2

<AB=AB,

LZABD=ZABC

.,.△AD^AACB(ASA).

.■.BD=BC.

【小结】本题考查了等角的补角相等的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形

全等是关键.

5.(2017•郴州)已知aABC中，NABC=NACB,点D,E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD.

【分析】由NABC=NACB可得AB=AC,又点D、E分别是AB、AC的中点.得至ljAD=AE,通过4ABE

^△ACD,即可得到结果

【解答】证明：.../ABC=NACB,

.,.AB=AC.

...点D、E分别是AB、AC的中点.

二.AD=AE.

在AABE与4ACD中，

'AD=AE

<ZA=ZA,

心AB

.•.△ABE^AACD(SAS).

/.BE=CD.

【小结】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键.

6.（2018•武汉）如图，点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,ZB=ZC,AF与DE交于点G,求证：GE=GF.

【分析】求出BF=CE,根据SAS推出4ABF丝Z\DCE,得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论.

【解答】证明：VBE=CF,••.BE+EF=(CF+EF.，BF=CE.

'AB=DC

在4ABF和4DCE中，，ZB=ZC-△ABF^ADCE(SAS).AZGEF=ZGFE.,，EG=FG.

,BF=CE

【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解

题的关键.

7.（2018•泰州）如图，ZA=ZD=90°,AC=DB,AC、DB相交于点O.求证：OB=OC.

【分析】因为NA=ND=90。，AC=BD,BC=BC,知RtZ\BAC丝RtaCDB(HL),所以AB=CD,证明△ABO

与△©口€)全等，所以有OB=OC.

【解答】证明：在RSABC和RtADCB中，

fBD=AC

1CB=BC?

.".RtAABC^RtADCB(HL).

.'.ZOBC=ZOCB.

.\BO=CO.

【小结】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相

等的重要工具.

8.（2018•镇江）如图，ZXABC中，AB=AC,点E,F在边BC上，BE=CF,点D在AF的延长线上，AD=AC.

(1)求证：△ABEg^ACF；

(2)若NBAE=30。，则NADC=75°

【分析】（1）要证明△ABEW/SACF,由题意可得AB=AC,ZB=ZACF,BE=CF,从而可以证明结论成立;

（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得NADC的度数.

【解答】(1)证明：［AB=AC,

.,.ZB=ZACF.

在AABE和AACF中，

'AB=AC

<NB=NACF,

,BE=CF

.'.△ABE^AACF(SAS).

(2)•/△ABE^AACF,ZBAE=3O°,

.".ZBAE=ZCAF=30°.

•/AD=AC,

/.ZADC=ZACD.

.•.NADC」80。-30。=75。.

2

故答案为：75.

【小结】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利

用数形结合的思想解答

解题模型三旋转模型

针对训练

9.（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C,ZA=ZE,AC=EC.求证：AABC^AEDC.

【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断.

【解答】证明：•.•在AABC和AEDC中，

rZA=ZE

<AC=EC，

,ZACB=ZECD

/.△ABC^AEDC(ASA).

【小结】本题主要考查了全等三角形的判定，两角.及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

10.（2018•昆明）如图，在aABC和4ADE中，AB=AD,ZB=ZD,Z1=Z2.求证：BC=DE.

【分析】根据ASA证明△ADEg21ABC：

【解答】证明：（D

/.ZDAC+Z1=Z2+ZDAC.

/.ZBAC=ZDAE.

在AABC和AADE中，

'/B=ND

,AB=AD,

,ZBAC=ZDAE

/.△ADE^AABC（ASA）.

/.BC=DE.

【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；

全等三角形的对应边相等.

11.(2017•常州)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上,ZBCE=ZACD=9O°,ZBAC=ZD,BC=CE.

(1)求证：AC=CD；

(2)若AC=AE,求NDEC的度数.

【分析】(1)根据同角的余角相等可得到/3=N5,结合条件可得到Nl=/D,再加上BC=CE,可证得结论;

(2)根据NACD=90。，AC=CD,得到N2=ND=45。，根据等腰三角形的性质得到N4=N6=67.5。，由平角

的定义得到/DEC=18O。-Z6=112.5°.

【解答】解：,.•/BCE=NACD=9O。，

/.Z3+Z4=Z4-Z5..\Z3=Z5.

'Z1=ZD

在AABC和ADEC中，＜N3=N5,

BC=CE

.".△ABC^ADEC(AAS).

.,.AC=CD.

(2)•/ZACD=90o,AC=CD,

/.Z2=ZD=45°.

•/AE=AC,

/.Z4=Z6=67.5°.

.,.ZDEC=18O°-Z6=H2.5°.

【小结】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、

AAS和HL

12.(2017•恩施州)如图，AABC>4CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O,BC与AE交于点P.求

证：ZAOB=60°.

【分析】利用“边角边”证明4ACD和4BCE全等，可得可得NCAE=/CBD,根据“八字型”证明NAOP=/

PCB=60唧可.

【解答】证明：...△ABC和AECD都是等边三角形，

.\AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6O°.

/.ZACB+ZBCE=ZDCE+ZBCE,

即NACE=NBCD.

'AC=BC

在AACE和ABCD中，，ZACE=ZBCD,

CE=CD

.'.△ACE^ABCD(SAS).

.,.ZCAE=ZCBD.

,/ZAPC=ZBPO,

.■.ZBOP=ZACP=60°,即NAOB=60°.

【小结】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角

形解决问题，属于中考常考题型.

解题模型四平移+旋转模型

针对训练

13.（2018•莉泽）如图，AB〃CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论.

【分析】结论：DF=AE.只要证明△CDFgZXBAE即可;

【解答】解：结论：DF=AE.

理由：：AB〃CD,

.\ZC=ZB.

VCE=BF,

r.CF=BE.

又；CD=AB,

/.△CDF^ABAE(SAS).

.\DF=AE.

【小结】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常

考题型

14.(2017•孝感)如图，已知AB=CD,AE_LBD,CF±BD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证：AB/7CD

【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得NB=ND,根据平行线的判定，可得答案.

【解答】证明：:AE1BD,CF1BD,

.".ZAEB=ZCFD=90°.

\'BF=DE,

.\BF+EF=DE+EF.

/.BE=DF.

在RtAAEB和RtACFD中，

(AB=CD

1BE=DF'

.♦.RtAAEB&RtACFD(HL).

/.ZB=ZD,

二.ABIICD.

【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用等式的性质得出BE=DF是解题关键，又利用了全等三

角形的判定与性质.

15.(2018•铜仁)已知：如图，点A、D、C、B在同一一条直线上，AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证：AE

【分析】可证明4ACE丝△BDF,得出NA=NB,即可得出AE〃BF；

【解答】证明：：AD=BC,，AC=BD,

'AC=BD

在^ACE5faABDF中,<AE=BF,

CE=DF

/.△AC^ABDF(SSS).

/.ZA=ZB.

/.AEIIBF.

【小结】本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是SSS证明△ACEgABDF.

16.(2018•怀化)已知：如图，点A,F,E,C在同一直线上，AB〃DC,AB=CD,ZB=ZD.

(1)求证：ZXABEgZXCDF；

(2)若点E,G分别为线段FC,FD的中点，连接EG,且EG=5,求AB的长.

【分析】(1)根据平行线的性质得出NA=NC,进而利用全等三角形的判定证明即可;

(2)利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可.

【解答】证明：(1)VAB/7DC,AZA=ZC.

'NA=NC

在4ABE与4CDF中，，AB=CD，.'.AABE^ACDF(ASA).

,ZB=ZD

(2);点E,G分别为线段FC,FD的中点，..田口二攵口.

2

：EG=5,.\CD=10.

VAABE^ACDF,.*.AB=CD=10.

【小结】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出NA=NC.

解题模型五角平分线模型

针对训练

17.（2016•咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等“，要根据题意，画出图形，并用符号

表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.

己知：如图，ZAOC=ZBOC,点P在OC上，.

求证：.

请你补全已知和求证，并写出证明过程.

【分析】根据图形写出已知条件和求证，利用全等三角形的判定得出△PDO丝△PEO,由全等三角形的性质

可得结论.

【解答】解：已知：PD1OA,PE1OB,垂足分别为D、E;求证：PD=PE.

故答案为：PD=PE.

,/PDlOA,PE1OB,

.,.ZPDO=ZPEO=90°.

在△PDO和△PEO中，

rZPD0=ZPE0

<ZA0C=ZB0C,

,0P=0P

.\APD(^APEO(AAS).

.,.PD=PE.

【小结】本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的性质及判定，利用图形写出已知条件和求证是解

答此题的关键.

解题模型六三垂直模型

针对训练

18在aABC中，/ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BE_LMN于E,求证:DE=AD+BE.

【分析】先证明NBCE=NCAD,再证明△ADC9ZXCEB,可得到AD=CE,DC=EB,等量代换，可得出

DE=AD+BE.

【解答】证明：..,NACB=90。，AC=BC,

.,.ZACD+ZBCE=90°.

X'/ADlMN,BE1MN,

.".ZADC=ZCEB=90°.

又：/ACD+/DAC=90。,

.\ZBCE=ZCAD.

在AADC和ACEB中

rZBCE=ZDAC

ZADC=ZCEB,

AC=BC

/.△ADC^ACEB(AAS).

/.AD=CE,DC=EB.

又：DE=DC+CE,.\DE=EB+AD.

【小结】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、

HL.证明两线段的和等于一条线段常常借助三角形全等来证明，要注意运用这种方法

19.如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线1上，且过A,B两点分别作直线1的垂线，垂足分

别为D,E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.

.二

【分析】分析图可知，全等三角形为：4ACD丝4CBE.根据这两个三角形中的数量关系选择ASA证明全

等.

【解答】解：全等三角形为：AACE^ACBE.

证明如下:

由题意知/CAD-/ACD=90°,ZACD-ZBCE=90°,

/.ZCAD=ZBCE.

在AACD与ACBE中，

，ZADC=ZCEB=90°

,ZCAD=ZBCE

.AC=BC

.".△ACD^ACBE(AAS).

【小结】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS、ASA、AAS,HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边

的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

专题三相似三角形模型解题

解题模型一A字型

针对训练

1.(2015•湘潭)如图，在RtaABC中，ZC=90°,4ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E

处.

(1)求证：△BDES/\BAC；

(2),已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.

【分析】(1)根据折叠的性质得出NC=NAED=90。，利用NDEB=/C,NB=/B证明三角形相似即可；

(2)由折叠的性质知CD=DE,AC=AE.根据题意在RlABDE中运用勾股定理求DE,进而得出AD即可.

【解答】证明：(1)VZC=9O0,4ACD沿AD折叠，

.\ZC=ZAED=90°.

.,.ZDEB=ZC=909.

又：NB=NB,

/.△BDEOOABAC.

（2）由勾股定理得，AB=10.

由折巍的性质知，AE=AC=6,DE=CD,ZAED=ZC=90",

/.BE=AB-AE=10-6=4,

在RtABDE中，由勾股定理，得

DE2+BE2=BD2,

即0+4?=（8-CD）3

解得CD=3.

在RtAACD中，由勾股定理，得AC2+CD2=AD）,即3?+62=AD2.

解得AD=%.

【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于

轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股

定理求解.

2.（2018•黄石）在AABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）.

（1）如图1,若EF〃BC,求证：池蛙■二色加

S/kABC研,AC

（2）如图2,若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由;

（3）如图3,若EF上一点G恰为AABC的重心，~3,求也延已的值.

AB4SAABC

【分析】（1）由EF〃BC知△AEFs^ABC,据此得双至1,根据$4亚=（坐）2即可得证;

ABAC,△ABCAB

（2）分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H,据此知△AFNS/XACH,得里迪,

CHAC

SyAE-FN

根据△炖艮=4----即可得证：

SAABCyAB'CH

（3）连接AG并延长交BC于点M,连接BG并延长交AC于点N,连接MN,

由重心性质知SAABM=SAACM'空=2,设上El=a,

AM3AC

AF

利用（2）中结论知..”国二虹唳。J、,△G.=AG・AF=2a,

^AABMAB'AM2SAACMAM*AC3

从而得$△项.=S/kAEG+S^AFGLUL,

SAABC2SAACM43

结合s&延g.=AE'AF=^可关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案.

^AABCAB'AC4

【解答】»:(1)VEF//BC,

.'.△AEFOOAABC.

.AE_AF

''AB-AC-

■江码:zAE,2_AE.AF_AE»AF

SAABC-ABABACAB-AC,

（2）若EF不与BC平行，（D中的结论仍然成立，

如图1,分别过点F、C作AB的垂线，垂足分别为N、H.

-.'FN±ABXCH±AB,

：.fNllCH.

/.△AFN^AACH.

.FN-AF

"CITAC"

o

...bAAEFT2_-A_E__-F_N__AE・AF

^AABC—AB-CH梯"AC

(3)如图2,连接AG并延长交BC于点M,连接BG并延长交AC于点N,连接MN,则MN分别是BC、

AC的中点，

A

BMC

图2

」.MN〃AB,且MN」AB.

2

•GM_GN_1曰,_s

CM-

GAGB2

■AG.2

'AM3'

设史4a,

AC

由⑵知：一处6_杷46_3y2_1SaAFG-AG^AF-Z3

,△ABMAB'AM432SAACM蝴，AC3

则S/kAEF二S21AEG+S/kAFG_二S/kAEG_S^G_l」a

SAABC2SAACM2SAABM2SAACM43

而SAAEF=AE・AF刍,

^AABCAB'AC4

・1+U区

434

解得a3.

5

S

.AAEF_3y3_9

SAABC4520

【小结】本题，主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心

的定义及其性质等知识点

3.（2017•衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D,连接OD.作

BEJ_CD于点E,交半圆O于点F.已知CE=12,BE=9.

（1）求证：△CODs/\CBE；

（2）求半圆O的半径r的长.

【分析】（1）由切线的性质和垂直的定义得出/E=9（r=/CDC）,再由/C=NC,得出△CODs/\CBE.

（2）由勾股定理求出BC=J^NQ=15,由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案.

【解答】（D证明：「CD切半圆。于点D,

,.CD10D.

.".ZCDO=90°.

,/BE1CD,

.".ZE=90°=ZCDO.

又；Nc=Nc,

/.ACODcoACBE.

（2）解：在RtZkBEC中，CE=12,BE=9,

,,BC=A/CE2+BE2=15,

,/△CODcoACBE.

••--O-D=-0-C，F日nJ-r=-1-5-r-r，

BEBC915

解得r噜.

【小结】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与

性质是解决问题的关键.

4.（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，AGLBC于点G,AF1DE

于点F,ZEAF=ZGAC.

(1)求证：AADE^AABC；(2)若AD=3,AB=5,求处的值.

AG

【分析】(1)由于AGJ_BC,AF1DE,所以NAFE=/AGC=9O。，可证明/AED=/ACB,进而可证4ADE

^△ABC；

(2)AADE^AABC,包1口，又易证△EAFs^CAG,所以迎4,从而可知空JR.

AB-ACAGACAG-AB

【解答】解：⑴,/AG1BC,AF1DE,

.,.ZAFE=ZAGC=90",

".'ZEAF=ZGAC,

/.ZAED=ZACB.

,.'ZEAD=ZBAC,

/.AADECOAABC.

(2)由(1)可知：AADESAABC,

-AD_AE_3

■'AB'AC5.

由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90#,

.'.ZEAF=ZGAC.

/.△EAF^ACAG.

.AFAE

■'AG^AC-

.AF_3

"AG5.

另解：:AGlBC,AF1DE,

△ADECOAABC,

-AF-AD-3

''AG-AB-5.

【小结】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型

解题模型二8字型

针对训练

5.（2018•江西）如图，在aABC中，AB=8,BC=4,CA=6,CD〃AB,BD是/ABC的平分线，BD交AC

于点E,求AE的长.

【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出ND=NCBD,求出BC=CD=4,证△AEBs^CED,得出

比例式，求出AE=2CE,即可得出答案.

【解答】解：:BD为/ABC的平分线，

/.ZABD=ZCBD.

,/AB//CD,