江苏省宿迁市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题

2024-2025学年度第一学期高三8月份学情调研数学试卷总分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集定义即可求解.【详解】由题知，，，故选：C.2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解.【详解】“，”的否定为“，”，故选：C.3.若，则的最小值为（）A.9 B.18 C.24 D.27【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.详解】根据题意可得；当且仅当，即时，等号成立；此时的最小值为9.故选：A.4.已知函数的值域为，则函数的值域为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】函数的图象由的图象向右平移2个单位得到，故值域相同，故选D.5.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（）A.0 B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用洛必达法则直接求解即可【详解】，故选：D6.年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（）（素数即质数，，计算结果取整数）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算的值，即可得解.【详解】因为，所以，估计以内的素数个数为.故选：B.7.已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（）A.（3，4） B.（2，4） C.[0，4） D.[3，4）【答案】D【解析】【分析】利用数形结合可得，结合条件可得，，，且，再利用二次函数的性质即得.【详解】由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线．由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，．设与交点的横坐标为，，设，则，，由得，所以，即．设与的交点的横坐标为，，设，则，，且，所以，则．故选：D.8.1.是在上的连续函数,设,则（）.A. B. C. D..【答案】A【解析】【分析】举反例即可反驳BCD，利用绝对值不等式即可判断A正确.【详解】对CD，取,则有，则，则，故C错误，，则，故D错误；对B，取,则.此时,则B选项错误；由绝对值不等式得,.因此，因此选项A正确.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（

）A.是的极小值点 B.有两个极值点C.的极小值为 D.在上的最大值为【答案】BD【解析】【分析】对应求导，根据其符号确定单调区间并判断极值点、求极值判断ABC；进而求函数在上的最大值判断D.【详解】由题设，令，则或，令，则，所以、上递增，上递减，故为极大值，为极小值，A、C错误，B正确；在上，在上递减，在上递增，而，所以在上的最大值为，D正确.故选：BD10.下列命题正确的有（）A.函数定义域为，则的定义域为B.函数是奇函数C.已知函数存在两个零点，则D.函数在上为增函数【答案】AB【解析】【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D.【详解】对于A，由函数定义域为，则，因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，函数定义域为R，且，所以函数为奇函数，故B正确；对于C，由函数存在两个零点，即为的两根，则可得，令，，结合函数图象可设，，则，所以，所以，而k不一定为1，故C不正确；对于D，函数为对勾函数，在区间0,1单调递减，在1,+∞单调递增，故D不正确.故选：AB,11.已知，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可判断D..【详解】对于A，由于，故，当且仅当，结合，即时，等号成立，即的最小值为，A正确；对于B，由于，，则，当且仅当时，等号成立，故，即的最大值为，B正确；对于C，又，得，故由于，而对称轴为，则在上单调递减，在上无最值，C错误；对于D，令，则，故，由于，故，，则，当且仅当，结合，即时，等号成立，所以，即的最小值为，D正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.，函数没有极值的充要条件为______．【答案】【解析】【分析】求导后可得f′x≥0恒成立，计算【详解】，注意到是开口向上的二次函数，若没有极值，则只能是f′x即，解得．故答案为：.13.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性，结合二次不等式恒成立问题，列不等式组求解即可.【详解】由复合而成.而单调递增，只需要单调递减.且在上恒成立.则即可，解得.故实数a的取值范围是.故答案为：.14.设集合则集合中最小的元素是______，集合中最大的元素是______．【答案】①.1②.【解析】【分析】构造函数，借助函数的单调性找到的单调性即可求解.【详解】，，则，构造函数，则，令，则，当，，当，，函数在上单调递增，在上单调递减，又，则，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，因此结合函数的性质知，，，当时，，又当时，，当时，，又，故，因此当时，.故答案为：1；.【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合（1）若，求；（2）若是的充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由集合描述可得，，根据集合交运算即可求；（2）由是的充分条件知列不等式组即可求a的范围.【详解】（1），当时，，则；（2）∵，∴是的充分条件，，，解得，即实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了集合的关系以及基本运算，首先根据集合描述写出集合，利用交运算求交集，再由充分条件得到包含关系，列不等式组求参数范围.16.已知函数，的解集为．（1）求f(x)的解析式；（2）当时，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由的解集为，结合根与系数关系求可求的值，进而得到f(x)的解析式；（2）化简函数式为，结合基本不等式求最大值即可；【详解】（1）因为函数，的解集为，那么方程的两个根是，2，且，由韦达定理有，所以．（2），由，则：根据均值不等式有：，当且仅当，即时取等号，∴当时，．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式，根据一元二次不等式解集求二次函数解析式，利用基本不等式求函数最值；17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，.（1）求点到平面ABCD的距离；（2）在棱上是否存在点，使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，在的三等分点处【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及线面垂直的判定，结合面面垂直的判定，作图明确四棱锥的高，利用勾股定理，可得答案；（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合夹角公式建立方程，可得答案.【小问1详解】由题设，知，所以.又，所以为等边三角形，所以.在中，，所以.即，则.所以，即，又，且平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.如图1，设为的中点，连接，因为，所以.又因为平面平面，平面.所以平面，所以即为点到平面的距离.在中，，所以.即点到平面的距离为.小问2详解】如图2，连接OC，则，且平面ABCD，所以，所以PO，BD，OC两两互相垂直.以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.则，所以.若上存在点满足题意，不妨设，则，所以.设m=x,y,z是平面则，解得，不妨取，则平面的一个法向量为.同理，设是平面的法向量，则，解得，不妨取，则，所以平面的一个法向量为，所以，化简整理得，解得或.即或.故在的三等分点处存在点，可使得平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数，若点在的图像上运动，则点在的图象上运动（1）求的最小值，及相应的值（2）求函数的解析式，指出其定义域，判断并证明在上的单调性（3）在函数和的图象上是否分别存在点关于直线对称，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）的最小值为2，对应的为0；（2），定义域为，，单调递增，证明见解析；（3）存在【解析】【分析】（1）写出的解析式，依据基本不等式性质即可求解；（2）根据点的关系求出解析式，写出的解析式即可判断单调性；（3）设两点的坐标根据位置和对称关系列方程组求解.【详解】（1），当且仅当即时，等号成立，即的最小值为2，对应的为0.（2）设图象上点，由题：，所以点在的图像上运动，则，所以，，由得其定义域为所以，定义域为在定义域内为增函数，证明如下：任取，根据指数函数和对数函数单调性有：，，，即所以在定义域内是增函数.（3）假设函数和的图象上分别存在点关于直线对称，设其坐标，则有：解得：故在函数和的图象上分别存在点关于直线对称.【点睛】此题考查根据函数关系求解析式，并判断证明单调性，求解点关于直线对称相关问题，考查理解辨析数形结合的能力.19.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.（1）求实数的值；（2）证明：当时，；（3）设为实数，讨论方程的解的个数.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据列方程组求解可得；（2）构造函数，利用导数求单调性，由即可得证；（3）构造函数，分，利用导数讨论单调性，利用单调性判断零点个数.当时，分单调区间讨论，结合零点存在性定理判断即可.小问1详解】由，有，可知，由题意，，所以，解得.【小问2详解】由（1）知，，令，则，所以φx在其定义域内为增函数，又，时，，得证.【小问3详解】的定义域是，.①当时，，所以ℎx在上单调递增，且，所以ℎx在上存在1个零点；②当时，令，由，得.又因为，所以.+0-