辽宁省七校协作体2024-2025学年高三上学期期初联考数学试题

2024—2025学年度（上）七校协作体高三期初联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分命题校：兴城高中一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知命题，则命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题为全称量词命题，其否定为：.故选：A2.已知随机变量，且，则（）A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.3【答案】B【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性性质可得【详解】因为，正态分布图象的对称性可知，，所以.故选：B.3.已知是等比数列的前n项和，，，则（）A12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】根据题意结合等比数列性质求得，，即可得结果.【详解】设等比数列的公比为q，可得，则，所以．故选：B.4.已知x，y为正实数，且，则的最小值为（）A.12 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.【详解】由，则，当且仅当，即，时，等号成立.故选：C.5.下列说法正确的是（）A.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1B.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0C.对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.D.已知随机变量服从二项分布，若，则.【答案】C【解析】【分析】根据两个随机变量的线性相关性的强弱与相关系数的关系即可判断A，B；利用线性回归方程必过样本中心，即可判断选C；利用二项分布的数学期望计算公式以及期望的运算性质，即可判断D．【详解】对于A，B：若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故A，B错误；对于C：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故C正确；对于D：因随机变量服从二项分布，所以，则，因为，则，所以，故D错误．故选：C.6.已知函数的导函数f′x的部分图象如图，则下列说法正确的是（A. B.C.有三个零点 D.有三个极值点【答案】A【解析】【分析】根据导函数图像得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可.【详解】根据导函数图像知道：正0非正0正增极大值减极小值增对于A，，单调递减，则，则A正确；对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误；对于C，不能确定零点个数，则C错误；对于D，函数有两个极值点，则D错误.故选：A．7.某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，求，，结合条件概率公式求解结论.【详解】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，则，，，故选：B.8.已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先证明当恒成立时，为的极小值点，由此可得有两个不同的零点，利用导数判断函数单调性，进而求参数范围.【详解】由题意，令，若恒成立，则当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意，若函数的最小值为，则，当时，，函数fx在上单调递减，当时，，当且仅当时取等号，所以函数fx在上单调递增，所以为函数的极小值点，不合题意；故函数有两个不同零点．设函数的两个零点分别为，且，则，若，则当时，f′x<0，与为函数的极大值点矛盾，若，则当时，f′x>0，与为函数的极大值点矛盾，若，则当时，f′x<0，函数在上单调递减，当，f′x>0，函数在上单调递增，当时，f′x<0，函数在上单调递减，当时，f′x>0，函数在上单调递增，所以为函数的极大值点，满足要求，因为函数有两个不同零点，，所以，所以，所以实数的取值范围为．故选：D【点睛】结论点睛：可导函数y=fx在点处取得极值的充要条件是，且存在，使得当时f′x>0，当时f′x二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）9.已知均为正数，则使得“”成立的充分条件可以为（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；可化为，结合的单调性可判断C.【详解】对于A，因为均为正数，根据不等式的性质，所以可得，故A正确；对于B，取，此时满足，但，故B错误；对于C，可化为，也即，因为函数在0,+∞上不单调，故C错误；对于D，由可得，即，因为均为正数，所以，故D正确；故选：AD10.对于函数，下列说法正确的是（）A.在区间上单调递增B.是函数的极大值点C.的单调递减区间是D.函数的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】求导，确定函数的单调性、极值与最值，逐项判断即可得结论．详解】，，，令，则，令，解得，令，解得，在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A、C正确，B错误；又，故D正确．故选：ACD.11.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第次传球之后球在乙手中的概率为.则下列正确的有（）A.B.为等比数列C.设第次传球后球在甲手中的概率为D.【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得，且，即可得到，结合等比数列的定义求出的通项公式，即可得到的通项公式，即可判断A、B、D，同理求出，再利用作差法判断C.【详解】依题意，，第次传球之后球在乙手中，则当时，第次传球之后球不在乙手中，其概率为，第次传球有的可能传给乙，因此，于是，而，则是以为首项，公比为的等比数列，所以，则，故A、B、D正确；因为，，当时，则，又，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，则，，所以，所以，故C错误.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出（），利用构造法求出、的通项公式.三､填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分）12.设，若，则实数的取值集合为__________.【答案】【解析】【分析】化简集合，即可根据分别求解.【详解】由可得,由于,故,因此，，，故实数的取值集合为，故答案为：13.已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则____.【答案】【解析】【分析】根据等差数列等差中项的性质，结合等差数列求和可得解.【详解】设等差数列的所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，由题知，，两式相减，可得，故答案为：.14.任意一个三次多项式函数的图象的对称中心是的根，是的导数.若函数图象的对称中心点为，且不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】首先求得，，而原不等式等价于，可以利用不等式放缩即可求解．【详解】，，，因为图象的对称中心点为，所以，所以，由，所以，原不等式为，因为，所以，设，则，当时，，当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，所以其最小值为，故．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题涉及的是函数含参不等式求参数取值范围问题，解决问题的关键是利用参变分离结合指数运算变形将不等式转化为，从而利用切线放缩不等式得最值.四､解答题（本题共5小题，共77分）15.已知函数在处取得极小值为1．（1）求的值；（2）求函数在区间上的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据函数的极值求.（2）由（1）得，利用导数分析在区间上单调性，从而求出值域.【小问1详解】由题设，函数在处取得极小值为1，则，即，解得，检验，当时，，，当时，f′x>0当x∈0,1时，f在上单调递增，在0,1上单调递减，在处取得极小值，满足题意.所以.【小问2详解】由（1）得，，令f′x<0，得；令f′x>0∴fx在上的单调递减区间是0,1，单调递增区间为，，函数在区间上的值域为.16.已知是等差数列an的前项和，，数列bn是公比大于1的等比数列，且，.（1）求数列an和b（2）设，求使取得最大值时的值.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项及前项和公式求出首项与公差，即可求出数列an的通项公式，再求出数列bn的首项与公比，即可得b（2）先求出的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.【小问1详解】设等差数列an的公差为，则，解得，所以，设等比数列bn的公比为，则，解得，所以；【小问2详解】由（1）得，则，，当时，，当时，，当时，，所以当或时，取得最大值.17.某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类道题中任选道进行答题，答完后正确数超过两道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题，直到答完为止．类题每答对一道得10分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖．某班小张同学类题中有5道会做，类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响．（1）求小张同学被终止比赛的概率；（2）现已知小张同学第一轮中回答的类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望；（3）求小张同学获得三等奖的概率．【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】．（1）根据题意，第一轮中小张只答对2道则被终止比赛，计算概率即可；（2）分析得的所有可能取值，分别求出概率，即可得出分布列，进而得出数学期望；（3）分析出小张同学获得三等奖的所有情况，再计算概率即可．【小问1详解】从类道题中任选道，其中2道会做，2道不会做，则被终止比赛，所以小张同学被终止比赛的概率为．【小问2详解】由题意可知，的所有可能取值为40,60,80,100，则，，，，所以的分布列为：所以．【小问3详解】小张获得三等奖，共有两种情况，①第一轮得30分（答对3道），则第二轮得40分（对2道），概率为；②第一轮得40分（答对4道），则第二轮得40分（对2道），概率为，所以小张同学获得三等奖的概率为．18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程;（2）若函数在区间上不是单调函数，求的取值范围;（3）若无零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程；（2）由已知可得在上有变号解，可得结论；（3）求导函数，按照和分类讨论，利用函数的单调性研究函数零点个数即可.【小问1详解】时，，所以在处的切线方程为【小问2详解】因为在区间上不是单调函数，所以在上有变号解，即在上有变号解.因为，所以，所以【小问3详解】因为，当，即时，，所以在上单调递减，因为，所以在上无零点，符合题意;.当时，令，则，当时，，当时，，所以的单调递减区间是;单调递增区间是，所以的最小值为当，即时，无零点，符合题意;当时，有一个零点，此时，不符合题意;当时，的最小值，因为，所以，使得，不符合题意;综上所述，当时，无零点.【点睛】思路点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方.19.已知数列an的首项，且满足，an的前项和为.（1）证明数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）在数列bn中，，，求数列bn的通项公