广东省惠州市博罗县杨侨中学、石湾中学两校2025届高三上学期8月联考数学试卷

2025届8月杨侨中学石湾中学两校高三联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式求得集合，进而求得.【详解】集合.而，故.故选：B2.已知复数，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘除法运算结合共轭复数的定义、模长公式计算即可.【详解】易知，则，所以．故选：C．3.已知和的夹角为，且，则（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】故选：C4.记为等比数列的前项和，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，由，即，解得.所以.故选：C.5.为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过点作于，根据条件，求出圆台的高，再利用圆台与圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】如图，过点作于，因为，，所以，，所以圆台的体积为，又圆柱的体积为，所以该石墩的体积为，故选：D.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.【详解】由题干得所以，故选：B.7.已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.【详解】根据题意，当时，，可得在上递增，要使得函数是上的单调函数，则满足，且，解可得，所以实数的取值范围为.故选：B8.函数所有零点的和等于（）A.6 B.7.5 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】把问题转化为两个函数图像的交点的横坐标，画出函数的图像，即可求解.【详解】函数所有零点转化为两个函数图像的交点的横坐标，而可化为，如图，画出函数的图像，根据图像可知有6个交点，且两两关于直线对称，所以零点的和为故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的是（）A.数据的第百分位数为B.已知随机变量服从正态分布，；则C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则D.若样本数据的方差为，则数据的方差为4【答案】BC【解析】【分析】利用第百分位数的性质判断A，利用正态分布的性质判断B，利用回归方程的性质判断C，利用数据方差的性质判断D即可.【详解】对于A，我们首先按顺序排列数据，得到，而第百分位数即为中位数，所以该数为，故A错误，对于B，因为随机变量服从正态分布，，所以，，故，得到，故B正确，对于C，因为，所以，将代入中，得到，解得，故C正确，对于D，因为样本数据的方差为，所以数据的方差为，故D错误.故选：BC10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.若是上的增函数，则B.当时，函数有两个极值C.当时，函数有两零点D.当时，在点处的切线与只有唯一个公共点【答案】AB【解析】【分析】对A：借助导数，令导函数大于等于零恒成立即可得；对B：借助导数研究函数的单调性即可得；对C：举出反例即可得；对D：计算出在点处的切线方程后，联立，解出方程即可得.【详解】对A：，由是上的增函数，则有恒成立，即，解得，故A正确；对B：由，则当时，，故有两个不等实根，设这两个根分别为且，则当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，故函数有两个极值，故B正确；对C：令，对，有，若，则，此时有两个非零不等实根，即有三个零点，故C错误；对D：当时，，则，，由，则在点处的切线为，令，即有，解得或，故在点处的切线与有两个公共点，故D错误.故选：AB.11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美.它既是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线是双纽线，下列说法正确的是（）A.曲线的图象关于原点对称B.曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3D.若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】选项A，由曲线上任一点关于原点的对称点适合曲线方程可判断；选项B，利用换元法转化为二次方程，通过判别式得出范围，再赋值求解整点的坐标即可；选项C，利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断；选项D，联立直线y＝kx与曲线C研究方程根的情况即可．【详解】A项，设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程，即方程成立，可得成立，即点关于原点的对称点也适合曲线方程，所以曲线的图象关于原点对称，故A正确；B项，方程可化为，令，则方程，由判别式，可得，若是整数，则.令，，解得或3或，有三个整点，，；令，，解得或5，此时无整点；所以曲线共经过3个整点，故B错误；C项，设曲线C上任一点，当为原点时，到原点的距离为，满足题意；当不为原点时，，则由可得，，所以点到原点的距离，且；综上，曲线C上任一点到原点的距离都不超过3，故C正确；D项，直线恒过原点，且曲线C经过，则直线与曲线至少一个公共点，又与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.联立，消得，当时，方程仅一解，满足题意；当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意；综上，，解得或，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0的分类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设是双曲线C:的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为____________.【答案】3【解析】【分析】利用双曲线定理结合勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式即可.【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标，根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限，设，其中，因为，则，根据勾股定理知，即，解得（负舍），则，则面积为.故答案为：3.13.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】求导后，将问题转换为函数方程有解问题、参变分离即可得解.【详解】，由题意曲线存在垂直于轴的切线，所以在上有解，即在上有解，而在上的值域为，则实数的取值范围是.故答案为：.14.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是___________.【答案】##0.6【解析】【分析】设出事件，根据事件的关系得到，进而求出，再利用条件概率公式求出答案.【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件，在100米比赛中站上领奖台为事件，则，，，，则，则，故.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角所对边分别为．已知．（1）求的大小；（2）若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合内角和公式，三角函数恒等变换化简求；(2)若选①，由正弦定理求，由条件求，结合三角形面积公式求面积，若选②，由条件可设，利用余弦定理求，结合三角形面积公式求面积.【小问1详解】，由正弦定理知，即．在中，由，．．．．小问2详解】若选择条件①，由正弦定理，得．．又，即．．．若选择条件②，由，即．设．则．由，得．．．16.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．（1）求椭圆标准方程；（2）直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解.【小问1详解】由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以椭圆的标准方程为．【小问2详解】设，，由，得．则，．因为线段中点的横坐标为，所以．解得，即，经检验符合题意．所以直线l的方程为．17.如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC.（1）求证：平面；（2）若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合直径的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB，平面PAC，所以PA面ACB，又因为平面PBC，所以PA，又因为AB是圆的直径，所以，因为平面，所以平面；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系，因，所以，所以，则，设平面PBC的法向量为m=x,y,z，则而，设直线AC与面PBC所成角为，则，所以直线AC与面PBC所成角的正弦值为.18.已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求a的取值范围；（3）设，证明：．【答案】（1）f(x)的减区间为，增区间为.（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.【小问2详解】设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，所以在上为减函数，所以.综上，.小问3详解】取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.19.对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．（1）求的值：（2）若，求数列的前项和（3）对互不相等的质数，证明：，并求的值．【答案】（1）（2）（3）证明见解析，【解析】【分析】（1）先找出的所有正因数，再根据题设定义，即可求解；（2）由题设定义，结合的正因数，求出，再由分组求和与错位相减法，即可求出结果；（3）先分别求出及的正因数，由丰度指数的定义，证明，再利用结论求解即可.【小问1详解】因为的所有正因数为，所以，得到.【小问2详解】因为共有个正因数