信息必刷卷01（乙卷文科）之2023年高考数学考前信息必刷卷（解析版）

绝密★启用前

2023年高考数学考前信息必刷卷01

全国乙卷地区专用

文科数学

新课标全国卷乙卷试题结构为12道单选题，4道填空题，6道解答题，其中一道解答题是“二选一”

型。其中解答题是4道“基础型”，2道“压轴型”，随着新高考的推进，新课标全国乙卷地区也逐渐过渡到

新高考试卷，所以这几年新课标全国卷试题出题也逐渐有新高考的特色，其中一点就是反映在“基础大题”

的考察难易变化上。

基础大题主要考察数列，三角函数与解三角形，概率分布列，立体几何这几个方面。全国卷这几年的

难易变化体现在这样几方面：

1.两个压轴大题，逐渐把圆锥曲线替换最后的导数压轴大题，放到21提为值，作为最后的压轴大题，

导数大题前移到20题位置，作为压轴大题的副压轴大题来考察。

2..原来的基础大题三角、数列、立体几何、概率等试题考察的位置和试题顺序不再固定，而是根据考

试范围和难易来打乱调整。

3.基础大题试题考察难度，考察内容，更加灵活多变，尽可能打破“套路思维”，注重数学思维的考察。

4.基础大题有些题由两问变为三问，分散难度，但是增加了数学思维的广度。如本卷第19题。

2022年新课标全国卷乙卷试卷试题，把概率统计大题放到第19题位置，21年是概率统计在17题位置,

和21年相比较，试题由两问变成3问，并且此题文理题几乎一致，试题考察的数学知识覆盖面更广，试题

考察背景紧密结合社会生产生活，试题考察社会环保治理与发展的相互关系，虽然是基础大题，但是涉及

到的数学建模数学应用。预测2023年新课标全国乙卷仍将继续这种“变新”。所以作为基础大题，每一种

类型题，更要注重数学思维和社会实践相结合的考察，同时更要注意随着新高考的推广，今年作为新课标

全国卷老教材的考察卷，也会逐渐体现出“文理一致”的“过渡性”。

同时也要注意基础试题在知识交汇处的考察，考察的数学知识运用处理能力综合度较强，如本试卷的

第7和第13题。第7题考察框图，但是数学能力与知识的考察却在椭圆的定义与几何性质运用方面，难度

虽然不是压轴小题的难度，但数学知识点跨度大，数学思维思考面要求广，是复习备考和试卷模拟时要多

注意多注重的考点之一。

<_________________________________________________________________________________________>

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合

题目要求的.

1.已知全集U=丸集合/={x|l-2xN3},48={x|-34x41},则/口8=()

A.{x|-l<x<l)B.{x|x<-3}

C.{x[x<-31D.{小4-3或xNl}

【答案】B

【分析】化简4由补集求得8,即可进行交集运算.

【详解】由电8={X|-34X41},得5={小<-3或X>1}.

又4={x|l-2x>3}=1x|x<-lj,所以Ac5={小<_3},

故选：B.

2.已知复数z=l-6i，则P=()

z-z-2z

A16.R1G.r1V3.n1V3.

44224422

【答案】A

【分析】根据复数的乘法运算以及除法运算即可化简求解.

【详解】由z=l-VL-得1=1+后，|z|=2,z1=(l-后)(1+后)=4,所以

同=21_=]-盘

z-z-2z4-2（1-抬i）1+亚4

故选：A

3.下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是()

\2.c\1-cos2x

A./x=cosx+smxcosxB.f\x}=----------------

2sinxcosx

C./(x)=cos(x+1)+cos(x-D./(x)=sin卜+•卜os(x+V

【答案】C

【分析】结合二倍角、辅助角及和差角公式对选项进行化简，再计算周期比较即可.

【详解】对于选项A,/(x)=--方生+gsin2x=^lin-,.二7二兀

选项B：sinxw0且cosxwO,/（、）=!02，n，）=2sin*=tanx；・7=兀

2sinxcosx2sinxcosx

对于选项C,/'（x）=—cosx------sinx+—cosx+^—sinx=cosT=2TI

v72222

对于选项D,/（x）=,sin2（x+彳]二,sin（2x+jT=n,

故选：C.

4.若双曲线/一耳=1e>o）的渐近线与圆/+/-以+3=0相切，则*=（）

K

A.2B.QC.1D.立

3

【答案】D

【分析】由题得，双曲线渐近线为y=±日，圆心为（2,0）,半径为1,根据相切得不工=1即可解决.

2

【详解】由题知，双曲线/-方=1/>0）焦点在X轴上，其中a=I,b=%,

EI（X-2）2+/=1,其中圆心为（2,0）,半径为1,

所以渐近线为y=士去，其中一条为卜=丘，即去一夕=0,

因为双曲线的渐近线与圆红-2『+『=1相切，

所以Y==l，解得&=正，

W+13

故选：D

5.某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据此频

率分布直方图，下列结论不正确的是（）

A.该校约有一半学生成绩高于70分B.该校不及格人数比例估计为25%

C.估计该校学生成绩的中位数为70分D.估计该校学生的平均成绩超过了70分

【答案】D

【分析】由频率分布直方图求得分数在［40,50）和［80,90）的频率，然后确定分数高于70分的频率，低于60

分的频率，从而可判断ABC,由频率分布直方图计算均值判断D.

【详解】由频率分布直方图知分数在［40,50）和［80,90）的频率为（1-0.15-0.25-0.35-0.05*；=0.1,

因此成绩高于70分的频率为0.35+0.1+0.05=0.5,A正确；

不及格人数即分数低于60分的频率为0.1+0.15=0.25,B正确；

由选项A的计算知C正确；

平均成绩为45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.35+85x0.1+95x0.05=68.5,D错误，

故选：D.

6.设阳，N为实数，则“1。82，>1。822”是“0.2"'>0.2"”的（）

mn

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简02">0.2"和1082,>1。82,，根据充分条件和必要条件

mn

的定义判断两者关系.

【详解】因为函数V=10g2X为（0,+8）上的单调递增函数，又Iog2_t>log2,，所以L>_L>0,所以0<用<〃，

mnmn

又函数y=02”在（7，+8）上单调递减，所以o.2">0.2",所以“10821>10821”是“02">0.2"”的充分条件,

mn

因为函数y=02',在（-8，+8）上单调递减，又0.2'">0.2"，所以加<〃，当加为负数时，!没有对数值，所

m

以“log2，>log2」”不是“0.2“>0.2"”的必要条件，所以“唾2工>Iog2'”是“0.2">0.2"”的充分不必要条件，

mnmn

A正确，

故选：A.

7.某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）

A.24B.26C.30D.32

【答案】D

【分析】确定函数表示椭圆的上半部分，"表示椭圆上的点到一个焦点的距离，S表示距离之和，画出图像

计算得到答案.

1--,即《+匚1,

【详解】y=5.（yNO）,表示椭圆的上半部分,

161625

焦点为6（0,3）,^（0,-3）,d表示椭圆上的点到一个焦点的距离，S衣小距离之和,

如图所示：

S=44+4片+4片+4耳+汉6+4E+4E=3X（2Q）+Q_C=7Q_C=32.

故选：D

8.如图，直线//平面垂足为0,正四面体N8C。（所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2,C在平面

a内，8是直线/上的动点，当0到4。的距离最大时，该正四面体在平面a上的射影面积为（）

A.y/3B.走C.V2D.1+也

22

【答案】D

【分析】由题意知点。是以BC为直径的球面上的点，得到。到的距离为四面体上以BC为直径的球面

上的点到/。的距离，最大距离为8c与/。的公垂线+半径.再由取得最大距离时，册直平面08C,

旦平行平面a求解.

【详解】因为直线/工平面a,垂足为。，所以点。是以3c为直径的球面上的点，

所以。到40的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到/。的距离，

最大距离为AD到球心的距离+半径，即BC与AD的公垂线+半径，如图所示：

取8C的中点E,力。的中点尸，连接/E,ED,EF,因为=

所以EFJ./O,EFIBC,EF=.AE2-AF?=J(2x日)2-(|)=0,

所以。到4。的最大距离为夜+1，此时，OELBC,NBCO=45°,

当取得最大距离时，/£＞垂宜平面O8C,且平行平面a,

所以投影是以为底，。到40的距离投影，即FG=(&+l)cos45o=l+孝为高的等腰三角形，其面积

_16

212)2

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题关键是明确。到40的最大距离为为5c与40的公垂线+球半径，由。,民尸共

线得到OE1BC,ZBC0=45。而得解.

9.已知函数/(xXtams-*)侬＞。,。35)与直线y=a交于两点，且线段48长度的最小值为:，若将

函数/(x)的图象向左平移1个单位后恰好关于原点对称，则。的最大值为()

itc兀-3兀c7兀

A.-B.-C.—D.—

8448

【答案】C

【分析】确定函数的最小正周期，可求得。=3,根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数

TTKTT

的对称性可求出伊=彳-或，左eZ,依据0＜9＜兀，即可求得答案.

【详解】由题意知，函数Ax)的最小正周期T=g,则2=],得。=3.

所以/(x)=tan(3x-s),将函数/(x)的图象向左平移专个单位长度，

得到夕=^113(x+=tan(3x+：e)的图象，

因为该图象关于原点对称，则:一夕="，左eZ,所以9=2-"#eZ

4242

当人＞0时，kwZ,甲＜金,不合题意，当人=0时，8=；，

又0＜夕＜兀，所以当左=一1时，。取电，当上4一2,-3,…时，—,不合题意，

44

故夕最大值为3尊兀，

4

故选：C

10.如图，在正三棱柱N8C-48c中，2BB\=3AB,。是棱8c的中点，£■在棱Cg上，且CG=3CE,

则异面直线4。与耳£所成角的余弦值是()

A.迎B.如C.如D.正

6432

【答案】B

【分析】取棱8片靠近点B的三等分点F,取棱8g的中点H,取的中点G,连接44,DH,A}F,

DF.证明。F//B£,得4QF是异面直线4。与qE所成的角（或补角）.设/5=4,用余弦定理计算出

余弦值.

【详解】取棱靠近点8的三等分点尸，取棱用£的中点H,取用尸的中点G,连接4"，DH,4F,

DF.

由已知CE=；CG=；8A=81G,又CE//8。，所以CEqG是平行四边形，BtE//CG,

同时可得尸是8G中点，而。是8c中点、,所以。尸//CG.

所以。尸〃鸟£,则乙4。尸是异面直线/Q与所成的角（或补角）.

又DHHCC\,CG1平面4AG，则。，_L平面4AG，4"u平面44G，则DHI&H,

设“8=4,贝l]B81=6,从而4/7=26，DH=6,80=2,BF=2,与尸=44=4,

故4尸=40,4£>=4石，DF=272.在尸中，

由余弦定理可得cos"DF=窦">=乎.

24QDF4

所以异面直线4。与B、E所成的角的余弦值为逅.

4

故选：B.

11.在中，己知4=60。，BC=2,。为8c的中点，则线段长度的最大值为()

A.1B.72C.yfiD.2

【答案】C

【分析】由余弦定理得到〃+c2=4+bc,再利用基本不等式得到bea,然后由而=g(静+就)求解.

【详解】解：EH余弦定理得=/+。2-2bccos/=b2+。2-6c,

即4=〃+/_儿，即从+。2=4+历，

所以4=〃+C2一bcNbc，/.be<4,当且仅当h=c时等号成立.

—►1—►—►

因为4O=3(ZB+4C),所以___zx，

2AD2=；伊2+元2+2方.码=#2+/+20仁卜*+02+A)

——(4+bc+6c)W—(4+8)=3,|ADV3,故选：C.

44

3tr<0

12.已知函数/(x)=,e2x，若/(司)=/(工2)(西工工2)，则为+%2的最大值为()

A.—B.21n3—3

2

C.In3—2D.—ln3—1

2

【答案】D

【分析】分析函数/(X)的单调性，设石<0<々，可得出玉+乙=七-4e*，构造函数

g(x)=x-*e'(x>0)，利用导数求出函数g(x)的最大值，即可得解.

3r2r<0

【详解】因为/(力=、2，］］0，则函数〃x)在(-8,0］上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

不妨设玉<0<超，有3x；=e%,可得匹=_苴*,有多+*2=%一立—

令g(x)=x-也e'(x>0),有g<x)=l-巫el令g'(x)>0,可得0<x<；ln3,

令g'(x)<0,可得

可得函数g（x）的增区间为（0，；ln3）,减区间为（；ln3,+oo）,

可得g（x）max=g（jn3）=3n3-§x@=3n3-l,故占+%的最大值为:In3-L

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知Z是单位向量，*=（1,-1），若向量£与向量3夹角。e1°，9，写出一个满足上述条件的向量£.

【答案】1号,-力|（答案不唯一）

【分析】设£=（cos（9,sin。），取a=^,根据平面向量数量积的定义和坐标表示可得cos]=cos（e+：）

进而。=-5-2E,%CZ,即可求解.

6

【详解】设a=（cos6»,sin0）,又向量£与否=（1,-1）的夹角ac（0,；）,

则a-b=cos®-sin<9=£cos（。+,|«|=l,|i|=五，

7i-r+、

ab

不妨取贝i|兀'\4J（,it1,

।切以"i°""cosa=cos—=-』=-----）=-----=cosn\0+—）

1212\a\\b\y[2｛4J

TTTTTT

得2=6+北+2E#£Z,则。=——2kit,kwZ,

1246

当攵=0时，8=■，此时故答案为：

14.已知〃cN・，将数列｛2〃-1｝与数列｛"-I｝的公共项从小到大排列得到新数列｛〃〃｝,则

111

—I--------1----------1---------=

%〃2《0・

【答案】2

【分析】分析可知｛2〃-1｝是正奇数列，根据题意求得a“=4〃2—1,然后利用裂项相消法可求得

J-+-L+…+-L的值

%«2«!0

【详解】因为数列｛2〃-1｝是正奇数列，

对于数列｛/_[｝,当〃为奇数时，设〃=24-19€V），则〃2一1=（2左-1）2一1=4可〃-1）为偶数；

当"为偶数时，设〃=2M%eN*）,则〃2_1=4/7为奇数，

1111（11A

所以,。，，=4〃9则丁E=（21）（2〃+l）=Nk2^r1

因此,

故答案为：—.

15.△48C的内角A、B、。所对的边分别为。、b、c,且QCOS(8-C)+Qcos/=2jJcsin'cos4,

=2,则A/SC的面积为.

【答案】B

2

【分析】利用三角恒等变换以及正弦定理化简可得出tan/的值，结合角A的取值范围可得出角A的值，利

用余弦定理可求得儿的值，再利用•:角形的面积公式可求得结果.

【详解】因为cos4=cos[兀一(8+C)]=-cos(^+C),

所以,2V§csinBcosA=acos（8—C）一4cos（8+C）

=a［（cosBcosC+sin5sinC）-（cosBcosC-sinsinC）］=2〃sin8sinC,

因为A、B、CG(0,7t),贝iJsin3〉0,所以，tzsinC=>/3ccosA>

由正弦定理可得sin4sinC=V3sinCcosA，

因为sinC>0,所以，sinZ=V^cosZ>0/UJtan%=W，可得"=

由余弦定理可得2=b2+c2-a2=26ccosA=bc，

因U：匕，S=—bcs\nA=—x2x—.

：iRC2222

故答案为：也.

2

22

16.已知椭圆。:5+,=1(°>6>0)的左右焦点为耳，入,过耳的直线交椭圆C于尸，。两点，若

丽=：配，且|西卜|词，则椭圆C的离心率为.

【答案】

【分析】根据椭圆的定义，线段比例关系和余弦定理即可求解.

因为|丽卜同间=2c,

所以西|=2“_巧卜为-2c,

--4一

又尸耳二产，

所以阿T西卜：(2"2c)=g(…)，

所以|明卜2"函=2«-|(«-e)=^+y,

在三角形片呷「即£=色筌第宜二.

#2a-2c)+(2c)2-^+

在三角形01PB中，cosZFPtF2=*---------J----------产一=^—，

2.：(2a-2c)-2c

以上两式相等整理得(5"-7c)(“-c)=0,故5a=7c或”=c(舍去)，

故£c==5，故答案为：5

a77

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生

都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）如图所示，已知三棱台/8C-48cl中，AB,1BB,,CBt1BB,,ZABB、=NCBB、=60°,

AB1BC,网=1.

(1)求二面角4-84-C的余弦值;

(2)设E、尸分别是棱NC、4G的中点，若EF/平面/8C,求棱台Z8C-4AG的体积•

【答案】（1）—§

Q唔

【分析】（1）由二面角定义可得二面角Z-8区-C的平面角为48°,结合垂直关系及余弦定理求其余弦

值即可；

（2）将棱台补全为棱锥0-Z8C,利用垂直关系证明面/与C,进而得到相关线段垂直并求出线段的

长度，根据V=Vo-ABC-叽,眄求体积.

【详解】（I）因为CBJBB、,所以二面角力的平面角为NZ8c.

因为N4BBI=NCBBI=60°,所以/q=（?片=百，AB=CB=2.

因为/818C,所以4。=20.

因为N=留+CB；-2AB,CBXcos44耳C,

所以cosZAB©=一；，故二面角A-BB1-C余弦值为.

（2）因为Z8C-44G是三棱台，所以直线44、BB,、CG共点，设其交点为0,

因为E、尸分别是棱AC、4a的中点，所以直线E尸经过点0.

因为4q_L881,CB]1BB],4用「。用=用且u面力用。，所以面/修。，

又EB]u面AB】C,所以J_EB、.

因为EB=6，叫=1，所以N8/E=45。.

因为E尸1平面4BC,E8u平面所以E尸1E3,

所以EF=sin/EBB1=也,OE=EB=-j2,故尸为的中点.

2

三棱台为8C-48c的体积＞=:%/C=9!XOEXS/=当•

O031Z

()

（1）证明:数列｛外｝为等差数列;

（2）设a=（T）（〃+1）,求数列出｝的前〃项和S”

T工n+1

【答案】（1）证明见解析

（2）（-1）"——--

八）8/2+1212

【分析】（1）将条件5二嗜中的％变为白，然后整理即可证明:

（2）求出数列｛"｝的通项公式，然后利用裂项相消法求和.

【详解】（1）当“22时，：=与'=：-；=1-骁，

T“2a,,22a,,22T“

，l=g-号，即7；-加=2,

11dl—\

又当〃=1时，——,得［=4=3,

..•数列｛（,｝是以3为首项，2为公差的等差数列；

（2）由（1）得（=2〃+1,

(-1)"(〃+1)1

则b=(-071M

n⑵？+1乂2〃+3)4(2“+12n+3)

,S-1

""4355779')熹

n

--A+(_i)_L_=(-1)"—!---------

413'，加+3」'7&?+1212

19.（12分）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，我国移动物

联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.右图是2018-2022年移动物联

网连接数匹与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1-5.

必亿户”

25'

20-

15-

10-*

5-*

0012345f

(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数(精确到0.01),并推断它们的相关程度；

(2)⑴假设变量x与变量y的〃对观测数据为(x/,y1),(X2,竺)，…，(xn,yn),两个变量满足一元线性回归

।yr—bx+e〃

模型八~、，(随机误差e,=%-bx,).请推导：当随机误差平方和0=Zd取得最小值时，参

[£(e)=0,D(e)=cr-

数b的最小二乘估计.

fy=bx+e

(ii)令变量=则变量x与变量y满足一元线性回归模型~、，利用⑴中结论求

[E(e)=0n,£>(e)=cr

y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.

21一。(吗-卬)

25_5

附：样本相关系数r=I=76.9,27.2,=60.8,

V769®27.7

【答案】(1)〃=0.98,这两个变量正线性相关，口相关程度很强.

⑵(i)3=咛一：(ii)经验回归方程y=2.72x；预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.

i=\

【分析】(1)根据相关系数计算，若r>0两个变量正相关，若厂<0两个变量负相关，卜|越接近于1说明线

性相关越强.

⑵⑴整理得0根据二次函数求最小值时6的取值；

/=1/=1/=!

(ii)根据8计算公式求得经验回归方程，并代入f=7可预测2024年移动物联网连接数.

【详解】(1)由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.

因为7=1(1+2+3+4+5)=3,

5

所以£(^-02=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,

/=1

2(—乂吗-历)

27.227.227.2,

所以「=1=10.98

JlOx76.9-V76927/7

所以这两个变量正线性相关，口相关程度很强.

⑵⑴。=£，2=£（匕-如『=£（V”加区+方与；）

1=1,=1/=1

=及比xf-26力+力匕2,

/=1;=1»=1

_n_

要使。取得最小值，当且仅当3=与一.

1=1

55

（/,.-r）（.-w）

YW）

（ii）由⑴知6T=2=H-----------='=2.72,

2片EO.-O210

/=11=1

5

所以y关于x的经验回归方程V=2.72x,又一自吗60.8，…，

■w=——=---=12.16

55

所以当1=7时，则x=7-3=4,w=y+了=2.72x4+12.16=23.04,

所以预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.

20.（12分）已知函数/（x）=41nx-o¥+竺!（a>0）.

（1）当。=；,求/‘（X）的极值.

（2）当“21时，设g（x）=2e*-4x+2a,若存在再,％e1,2,/（占）>g（x2）,求实数a的取值范围.（e为自然

对数的底数，e=2.71828...）

【答案】（1）极小值为3；极大值为41n7-3

⑵口，4）

【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可；

（2）存在占,超^g,2，使/（X>>g5），转化为在区间；，2上/（x）11m>,即可求解.

【详解】（1）的定义域为（0,+8）,

1、X7

当a=］时，/(x)=41nx--+—,

令/'(x)>0,可得1cx<7,令/(x)<0,可得0<xVl或x>7,

函数的单调减区间为(()，1),(7,+oo),单调增区间为(1,7)

，x=l时,函数取得极小值为3；x=7时,函数确定极大值为41n7-3；

(2)+4："("+3)(x>0),令Mx)=-"+4x-(a+3),

若,则△=16-4/-124=-(0-1)(0+4)40,

：.f(x)在区间(0,+oo)上单调递减，

.•.当a21时，/(x)在；,2上单调递减，

.../(X)在；,2匕的最大值为/(；)=Tln2+|“+6,

g'(x)=2ev-4,令g'(x)=0,得x=ln2,

当xe；,ln2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当xe(ln2,2］时，g,(x)>0,：.g(x)单调递增,

•••g(x)在I，2上的最小值为g(ln2)=4-41n2+2a,

_3,

由题意可知一41rl2+—。+6>4—4姑2+2。,解得。<4,

2

XVa>1,

・,・实数a的取值范围为［1,4).

21.(12分)如图，已知点P(2,2)是焦点为尸的抛物线C:/=2px(p<0)上一点，A,8是抛物线C上异

于尸的两点，且直线以，P8的倾斜角互补，若直线以的斜率为4(左>1).

(1)求抛物线方程；

(2)证明：直线的斜率为定值并求出此定值；

_dd

(3)令焦点E到直线N8的距图d,求商一庐目的最大值.

【答案】(l)_/=2x

（2）证明见解析，

⑶及

【分析】（1）待定系数法求解抛物线方程；

（2）设出宜线方程，联立后得到/点纵坐标，同理得到8点纵坐标，从而求出直线的斜率;

5k-士

dd167一下点一，换元后使用基本不等式求出最大值.

（3）在前两间基础上用斜率左表达出网一两=忑.

（5"/+16

【详解】⑴解：将点尸（2,2）代入抛物线方程可得：p=l,

所以抛物线C:/=2x；

（2）证明：设":止-2=他-2）（%>1）,

与抛物线方程联立可得：

ky2-2y+4-4k=0,

4-4k2-2k

•,乃力=—；ny.4=一;，

kk

因为直线以，尸8的倾斜角互补，

用-左代4可得：为=-三三

K

k二为一%二乃一为_2=1

因此，"式_区”+为2,

22

即

12（1-左）-2-2k2（1+无2+2k

（3）解：由（2）可知，kAB=-\,AIJ，^-,B1，,———

2kkkk.

X/\/

2

…2-2k1（2（1-左）1、2-2kn

因此/8号―-,=-、x-v7=x+2y---p~~=0,

KKK

\7

门、12-2/

尸不。到直线N8的距离,2k25k2-4,

1FBF

_____L=\\-\A=xR-xA==32'

・W|同一画•阿[小#"[.+*，+小:一25E4I6

._d____d_=5.-432r=16_伊―)&

"\F^~\FB\~2y[5k225k4-24k2+i6~7525k4-24k2+16

44

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4

令t=5k——,

k

由2>1,得/>1

d____d__^_t161v1612火

•••网一画y»+]6ygs石2灰一亍

t

当且仅当」=4n5无-3=4=]=2+2次时取等号.

k5

所以d两一d两的最大值为7V苧s•

（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在平面直角坐标系x伽中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程

为0=4sin。，若P为曲线q上的动点，将OP绕点。顺时针旋转60。得到。。，动点。的轨迹为曲线。2.

（1）求曲线C。的极坐标方程：

（2）在极坐标系中，点M（4,当｝