专题03 圆锥曲线-【中职专用】中职高二数学题型精析通关练（高教版2023·拓展模块一上册）（解析版）

专题03圆锥曲线题型一椭圆的方程【频次0.7，难度0.7】例1若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得出，即可得解.【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，所以，则，所以椭圆的标准方程为.故选：B.变式1已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解.【详解】由题意得，，，，所以．故选：D．例2椭圆的长轴长为．【答案】【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的性质计算即可.【详解】由，显然椭圆的焦点在横轴上，其实轴长为.故答案为：变式2若方程表示椭圆，则m的取值范围是．【答案】【分析】表示椭圆的条件是分母都大于0，且分母不相等.【详解】由题意可知且.故答案为：例3已知焦点在轴上，且，，则：(1)求椭圆标准方程；(2)求椭圆离心率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题中信息直接写出椭圆的标准方程；（2）求出的值，即可得出该椭圆的离心率.【详解】（1）解：因为椭圆焦点在轴上，且，，故该椭圆的标准方程为.（2）解：由已知可得，故该椭圆的离心率为.变式3已知椭圆的一个焦点为.(1)求出椭圆的方程；(2)求出椭圆的离心率及其长轴长.【答案】(1)(2)离心率，长轴长【分析】由椭圆方程和焦点坐标得b，c的值，求得椭圆方程和离心率，长轴长.【详解】（1）由焦点坐标为，所以椭圆焦点在x轴上，所以，椭圆方程为：.（2）由第一问，得，，所以椭圆的离心率为，长轴长.题型二椭圆的几何性质【频次0.3，难度0.8】例4椭圆的长轴长与焦距之差等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程求出，再求长轴长与焦距之差.【详解】由题得，，所以，，所以长轴长，焦距，所以长轴长与焦距之差等于．故选：B变式4椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】由题意可得关于的方程，解方程即可得解.【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得．故选：A．例5已知椭圆的方程为，则该椭圆的（

）A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为【答案】D【分析】利用椭圆的标准方程求出即可判断选项的正误.【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上，即，则.所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.故选：D变式5椭圆的长轴长为（

）A．4 B．5 C．6 D．9【答案】C【分析】由椭圆的方程即可得出答案.【详解】由可得，则.故选：C.题型三双曲线的方程【频次0.7，难度0.7】例6已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C经过点及离心率公式即可求解.【详解】因为双曲线C经过点，所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为.因为双曲线经过点，所以，解得．又因为，所以，则，所以双曲线的标准方程为．故选：C.变式6与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（）A．1 B．1C．1 D．1【答案】D【分析】由题意，设要求的双曲线为，将点的坐标代入，计算可得t的值，将其方程变形为标准方程，即可得答案．【详解】由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线，设要求的双曲线为.又该双曲线经过点，则，解得，则要求的双曲线的标准方程为.故选：D.例7已知双曲线的焦点为和，一条渐近线方程为，则的方程为.【答案】【分析】由焦点坐标以及渐近线方程列式求出即可得解.【详解】双曲线的焦点在轴上，设的方程为，由题意，解得，所以的方程为.故答案为：.变式7已知双曲线经过点，则C的渐近线方程为．【答案】【分析】根据双曲线过点求出a，然后可得.【详解】因为双曲线经过点，所以，解得，又，所以渐近线方程为.故答案为：.例8双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，(1)求双曲线标准方程；(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.【答案】(1)(2)答案见详解【分析】（1）根据已知条件列方程求出a，b，c，然后可得标准方程；（2）根据（1）中a，b，c，的值直接写出所求即可.【详解】（1）由题知，，解得，所以，所以双曲线标准方程为：.（2）由（1）知，双曲线焦点在x轴上，所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即.变式8求下列各曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆；(2)一个焦点为，实轴长为6的双曲线.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据椭圆的性质求解；(2)根据双曲线的性质求解.【详解】（1）由题可设椭圆的标准方程为，由题知，，，椭圆的标准方程为.（2）由题可设双曲线的标准方程为，由题知，，双曲线的标准方程为.题型四双曲线的几何性质【频次0.3，难度0.8】例9双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据双曲线方程求出即可得解.【详解】由双曲线知，，所以，所以.故选：B变式9已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线的方程可求得，计算可判断每个选项的正确性.【详解】由双曲线，可得，所以，所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误；虚轴长，故C错误；离心率，故D正确.故选：D.例10已知双曲线，则其离心率是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据等轴双曲线的性质即可求解.【详解】为等轴双曲线，则，所以离心率为.故选：B变式10若若双曲线的离心率为，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】根据双曲线的离心率与、、关系求解即可.【详解】由题意，双曲线的离心率，所以.故选：C.题型五抛物线的方程【频次0.7，难度0.7】例11抛物线过点，则的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把点代入抛物线方程，再求得准线方程.【详解】把点代入抛物线方程，得，解得，所以抛物线方程为，准线方程为.故选：B.变式11已知抛物线上一点A的横坐标为4，F为抛物线E的焦点，且，则（

）A．3 B．6 C．12 D．【答案】B【分析】根据焦半径公式可求的值.【详解】由题意，，抛物线的焦半径公式得，故，故选：B.例12抛物线的焦点为，点在上，若，则的值为.【答案】【分析】通过焦半径公式计算出，在把点的坐标代入抛物线即可。【详解】，则，则，又，则.故答案为：变式12已知抛物线经过点，写出的一个标准方程：.【答案】（答案不唯一）【分析】利用抛物线的标准方程计算即可.【详解】依题意可得的标准方程可设为或，将点的坐标代入得，则的标准方程为或.故答案为：（答案不唯一）.例13分别求适合下列条件的方程：(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；(2)经过点的抛物线的标准方程.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a、c，进而求出b，即可求解；（2）设抛物线方程为或，将点P坐标代入，即可求解.【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为由条件可得.所以.所以，当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的标准方程得，此时，所求抛物线的标准方程为；当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，此时，所求抛物线的标准方程为.综上所述，所求抛物线的标准方程为或.变式13求满足下列条件的曲线的标准方程：(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为的椭圆的标准方程；(2)准线方程为的抛物线的标准方程；(3)焦点，，一个顶点为的双曲线的标准方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由长轴长和离心率求出，进而求出的值，得椭圆的标准方程；（2）由准线方程得，得抛物线方程；（3）由顶点坐标和焦点坐标得，的值，求得，得双曲线的方程.【详解】（1）由已知，，，得：，，从而.所以椭圆的标准方程为.（2）抛物线的准线方程为，所以抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是，所求抛物线的标准方程为：（3）设双曲线方程为，由题设可得，故，故双曲线方程为.题型六抛物线的几何性质【频次0.3，难度0.8】例14对抛物线，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为【答案】A【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A.变式14下列关于抛物线的图象描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为【答案】A【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标