专题02 平面向量-【中职专用】中职高二数学题型精析通关练（高教版2023·拓展模块一上册）（解析版）

专题02平面向量题型一向量的概念【频次0.6，难度0.4】例1下列结论正确的是：（

）A．若与都是单位向量，则．B．若与是平行向量，则．C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量【答案】C【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误；对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确；对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误；故选：C.变式1四边形中中，，则下列结论中错误的是（

）A．一定成立 B．一定成立C．一定成立 D．一定成立【答案】D【分析】由可知四边形为平行四边形，逐项分析即可.【详解】由可知四边形为平行四边形，显然AC正确，根据平行四边形法则，B也是正确的，而，故D错误.故选：D例2已知向量，，若，则（

）A．5 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用向量坐标运算，结合相等向量求解即得.【详解】向量，，由，得，所以.故选：B变式2已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用单位向量的定义求解即可.【详解】单位向量的模长相等，则，故D正确；且两者并不一定是相同或相反向量，故A错误；两者不一定共线，故B错误；两者不一定垂直，故C错误.故选：D.题型二向量的线性运算【频次0.8，难度0.5】例3在中，记，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果.【详解】由已知有.故.故选：A.变式3在中，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量线性运算的运算法则求解即可.【详解】由题意知，，所以.故选：B.例4已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用向量的减法运算得，B，C，D三点共线，即，根据向量平行求出.【详解】因为，且B，C，D三点共线，即,又，所以，解得.故选：C.变式4在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可得解.【详解】由点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，得.故选：C.例5（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量加减运算可得结果．【详解】，故选：A．变式5如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（

）

A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最大值.【详解】根据题意，，所以又，所以因为三点共线，所以，即，由图可知，，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为1.故选：B.

例6设为的边的中点，，则.【答案】1【分析】利用向量的平行四边形法则，结合平面向量基本定理求出.【详解】由为的边的中点，得，即，又，不共线，所以，.故答案为：1变式6给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是．【答案】题型三向量的内积【频次0.8，难度0.5】例7已知向量满足，且，则的值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】根据已知条件直接化简求解即可.【详解】因为向量满足，且，所以.故选：C.变式7已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量数量积的运算律可得，，即可求解.【详解】由，得，又，所以.故选：A例8在平行四边形中，若，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算结合数量积的运算性质即可求解．【详解】在平行四边形中，，由题意得.故选：C.变式8中，设，若，则的形状是（

）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定【答案】A【分析】根据向量的线性运算可得，再由向量的数量积可得答案.【详解】因为，所以，即，可得，又因为，所以，所以角A为钝角.故选：A．例9在中，，，P是BN上一点，且，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】作出图形，由平面向量基本定理求出的值，再用向量数量积的运算律计算即得.【详解】如图，，，且，因三点共线，故，即，，故．故选：C．变式9已知向量是单位向量，且，则（

）A．3 B．5 C． D．【答案】D【分析】对两边同时平方可得，结合数量积的运算律计算即可求解.【详解】由，得，所以，所以.故选：D例10已知中，，，，则.【答案】【分析】利用相反向量将转化为，然后由数量积定义可得.【详解】因为，，，所以.故答案为：变式10已知，是单位向量，且满足，则与的夹角为.【答案】/【分析】利用向量的夹角公式可求与的夹角.【详解】由可得，故，故，即，而，故，故答案为：/题型四向量的坐标表示【频次0.8，难度0.5】例11已知向量，若，则实数（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标运算可得答案.【详解】若，则，解得.故选：B.变式11若向量，则下列与向量垂直的向量是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数量积的坐标表示判断即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：C例12平面向量，，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标运算得，即可求出.【详解】向量，，若，则，所以.故选：A变式12已知向量，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件得到，解出即可.【详解】由知，故.故选：B.例13已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法坐标运算、数量积坐标运算，坐标表示向量的共线判断，以及坐标求向量模长公式即可逐一判断.【详解】因为，，所以，，故A错误，B正确；又因为，所以与不共线，故C错误；又，，所以，故D错误，故选：B变式13在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量夹角的余弦的坐标公式直接计算即可得解.【详解】.故选：D.例14已知平面向量，，则（

）A． B．4 C．