专题04 随机变量及其分布（四大题型）-【中职专用】中职高二数学题型精析通关练（高教版2023·拓展模块一下册）（解析版）

专题04随机变量及其分布题型一离散型随机变量【频次0.3，难度0.3】例1下列叙述中，是离散型随机变量的是（

）A．某电子元件的寿命B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数C．某人早晨在车站等出租车的时间D．测量某零件的长度产生的测量误差【答案】B【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解.【详解】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量．故选：B．变式1下列随机变量不是离散型随机变量的是（

）A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数XB．南京长江大桥一天经过的车辆数XC．某种水管的外径与内径之差XD．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X【答案】C【分析】根据离散型随机变量的定义进行判断即可.【详解】选项B、D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B、D中的X均为离散型随机变量．选项A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故A中X为离散型随机变量．而选项C中X的取值不能一一列举出来，则C中的X不是离散型随机变量．故选：C.例2下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性【答案】C【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.故选：C.变式2在下列表述中不是离散型随机变量的是（

）①某机场候机室中一天的旅客数量；

②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；③某篮球下降过程中离地面的距离；

④某立交桥一天经过的车辆数X．A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的【答案】C【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案.【详解】①②④中的随机变量可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量.故选：C例3甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（

）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列举出的所有可能的情况，即得.【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．变式3下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；其中是离散型随机变量的为（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选：C题型二离散型随机变量的分布列【频次0.3，难度0.3】例4随机变量X的分布列如下:X-101P若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由随机变量分布列的性质和数学期望的定义列出方程组，计算即得.【详解】由题意，①，②，联立①，②，解得，.故选：A.变式4下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（

）0120.36A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【分析】直接根据分布列的概率和为1列方程计算即可.【详解】由已知得，解得或（舍去）.故选：B.例5已知随机变量的分布列为51015则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由分布列性质计算即可.【详解】由分布列的性质，得，解得．故选:D.变式5已知随机变量的分布列，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可.【详解】.故选：D.例6已知随机变量的分布列为012设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出值，求出随机变量X的均值，再根据其性质求解.【详解】由题可知，解得.所以，所以.故选：A变式6设是一个离散型随机变量，其分布列为：01则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得，可求，进而由可求结论.【详解】由，解得（舍去），所以．故选：D.题型三二项分布【频次0.5，难度0.4】例7某班级共有40名同学，其中15人是团员．现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，定义随机变量为其中团员的人数，则服从（

）A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布【答案】B【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可.【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布；将一个伯努利试验重复做次，叫做重伯努利试验，一般地，在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率记为，在次试验中事件发生的次数记为，则服从二项分布；件产品中包含件次品，从中抽取件产品，记件产品中次品数为，则服从超几何分布；若随机变量的概率分布密度曲线满足正态密度函数，则称机变量服从正态分布；所以某班级共有40名同学，其中15人是团员，现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，设随机变量为其中团员的人数，则随机变量服从超几何分布.故选：B变式7某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据二项分布的概率公式来解.【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则，故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为.故选：B.例8设随机变量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得结果．【详解】因为随机变量，所以，解得或（舍），所以，所以.故选：D．变式8已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.【详解】因为，所以．故选：B例9已知随机变量服从二项分布，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二项分布的概率公式计算．【详解】．故选：D．变式9已知随机变量X服从二项分布，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二项分布有关的公式求得正确答案.【详解】由，得．故选：C例10从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出从袋子中取出一个红球的概率，进而得到，利用二项分布的方差公式进行求解.【详解】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为，因为是有放回的取球，所以，所以故选：D变式10已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.【详解】.故选：C题型四正态分布【频次0.5，难度0.4】例11已知随机变量，且，则（

）A．0.7 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】C【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】根据正态曲线的对称性可得,故选：C变式11已知随机变量X服从正态分布，则（

）（参考数据：，）A．0.3413 B．0.4772 C．0.6826 D．0.9544【答案】B【分析】根据正态分布的性质写出，再根据正态分布知识即可求解.【详解】随机变量X服从正态分布,,,根据正态分布对称性可得.故选：B.例12某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（

）（）A．50天 B．61天 C．86天 D．88天【答案】B【分析】由题意可得，进而由可得结论.【详解】由，所以，所以交易额在4460到4540盒的概率为，所以由可知大约有61天．故选：B.变式12已知随机变量，且，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】C【分析】根据正态分布的对称性可求得结果.【详解】因为，所以，所以.故选：C例13随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（

）A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975【答案】C【分析】由正态分布曲线的性质直接计算即可求解.【详解】由正态分布曲线的对称性可知，.故选：C.变式13设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论中正确的是（

）A．，标准差 B．，标准差C．，标准差 D．，标准差【答案】B【分析】根据正态分布的对称性分析判断即可.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布，，所以，，，所以，，故选：B例14某校有1500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于125分）的人数占总人数的