长沙理工大学材料力学练习册答案详解

第6章应力状态分析

一、选择题

1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A）。

20

(MPa)

20

（A）a点；（B）b点：（C）c点;(D)d点。

2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力。=Q成立的充分必要条件，有

a。

下列四种答案，正确答案是（B：。

（A）o=G,r。0;（B）a=a,r=0;（C）aa,T=0;（D）a=a=T。

xyxyxyxy

3、已知单元体AB、BC面上只作用有切应力j现关于AC面上应力有下列四种答案,

正确答案是（C）。

（A）T=T/2,o=0;（B）T=T/2,Q=6/2；

ACACACAC

（C）T=T/2,CT=一岳/2；（D）r=-T/2,o=6/2。

ACACACAC

4、矩形截面简支梁受力如图（a）所示，横截面上各点的应力状态如图（b）所示。关

于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（D）。

—T-^T—4-IHI

（b）

（A）点1、2的应力状态是上确的;（B）点2、3的应力状态是正确的：

（C）点3、4的应力状态是正确的:（D）点1、5的应力状态是正确的。

5、对于图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答

案是（D）。

（A）三种应力状态均相同；（B）三种应力状态均不同;

（C）（b）和（c）相同；（D）（a）和（c）相同；

6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（B）.

解答：。发生在o成45的斜截面上

maxI

7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（C）。

（A）脆性材料；（B）塑性材料；

（C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料；

8、三个弹性常数之间的关系：G=E/[2（\+v）]适用于（C）。

（A）任何材料在任何变形阶级:（B）各向同性材料在任何变形阶级;

（C）各向同性材料应力在比例极限范围内：（D）任何材料在弹性变形范围内。

G=-------------

2(1+v)

解析：在推导公式过程中用到了虎克定律，且G、七、v为材料在比例极限内的材料常

r_E

而B数’故适应于各向同性材料’应力在比例极限范围内

9、点在三向应力状态中，若o=v（Q+O）,则关于£的表达式有以下四种答案，正确

3I23

答案是（C）。

(A)o/E;(B)v(£+£)；(C)0；(D)

解析:-V(a+Q)j|,G=V(a+o)

10、图示单元体处于纯剪切应力状态，关于a=450方向上和线应变，现有四种答案,

正确答案是（C）。

T

450

（A）等于零：（B）大于零；（C）小于零；（D）不能确定。

解析：e=—v(a9昨<0

3ELJ•2JEL“」E孙

11、图示应力状态，现有四种答案，正确答案是（B）。

(A)€>0；(B)£=0；(C)£<0；(D)不能确定。

解析：c=€=—1「。-V(<T+G)].__T0-V(TT)]=0

z2a3i2J“个」

12、某点的应力状态如图所示，当O、O、。，T增大时，关于£值有以下四种答

xy

案，正确答案是（A）。

（A）不变；（B）增大；（C）减小；（D）无法判断。

解析：$--[aT'Q2匕与T无关

5EL：xyJ孙

13、在图示梁的A点测得梁在弹性范围内的纵横方向的线应变£、£后，所能算出的

材料常数有（D）。

（A）只有E；（B）只有也（C）只有G：（D）七、v和G均可算出。

解析：中间段为纯弯曲，A点为单向拉伸，

£

G=______

2（1十I，）

14、纯剪应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案，正确答案是（C）。

（A）变大；（B）变小；（C）不变；（D）不一定。

解析：因纯剪应力状态：=T,0=0,01=-T

体积改变比能V=1（g+CT4-0）=1-（T4-0-T）=0

r6Ei23E

.•w=H=o

rV

...△v=o

二、填空题

1、图示单元体属于单向（栉伸）应力状态。

X

T

T

题1图

2、图示梁的A、B、C、D四点中，单向应力状态的点是A、B,纯剪应力

状态的占与D,在任何截面上应力均为零的点是_____C________。

题2图

三、计算题

1、求图示单元体的主应力，并在单元体上标出其作用面的位置。

80MPa

60MPa

解答：

o=60Mpa,c=0,T=80Mpa

Xyxy

2

：.6=»}=0十°土卜,。jr)2+T:=—±/(—)+(80)2={I""加

。，02V22V2w”

..0=115.44/Wp«,a=O,o=-55.44Mpa

2

tan2a=-\=_2x80:a=-34.72

oa-ct600

xy

.•PJ0「a°=—34.72确定巴

a+90确定0

01

2、已知应力状态如图。试求主应力及其方向角，并确定最大切应力值。

|50MPa

11IK)()MPa

▲J20MPa

解答:

/a=lOOMpa,G=-50,T=20Mpa

工yxy

y}=片"一=若&,(誓％+202={…

%2V2孙2V2-52.61M/W

.,.Q=!02.62Mpa,(y=O,(y=-52.62Mpa

2T

tan2a=-=_2x20=-0.2667；a=-7.46

oa-a100+50o

xy

,/a>o/.a=-7.46确定。

所以确定o

t=X.J0Z62+52.62=776Mp〃

max22

3、图示单元体，求：（1）指定斜截面上的应力：（2）主应力大小，并将主平面标在

单元体图上。

解答：

va=200Mpa,o=-200,r=-300%a,a=60

xyxf

qaCTg

a=/L।<rcos2a-Tsin2a=0cos120+300sinl20=-200•1+300•也=159.8孙a

60"2'2'。222

o-a400

T_,TT^in2a+Tcos2a=___sin120-300cos120=32.32Mpa

6o2灯2

CTg

•••川=…}土J(T-r)2+r2=°±72002+3(X)2=±360.56吸a

4噎,2V2中

。=360.56Wp«,a=0,o=-360.56M〃a

I23

2r

tan2a=-_2x300=i,5：a=28.15

a-a400

确定b

所以a490确定o

03

4、用解析法求图示单元体Q匕面上的应力（a=300）,并求t及主应力。

max

20MPa

:G40MPa

解答:

vo=-40Mpo,o=0j=-2DMpa

Xyxy

c+o0-04040人

a..——r•十^——,-cos2a-Tsin2a=---cos120+20sinl20=1.32Mpa

6o22。22

aCT

T.=n-sin2a+Tcos2a=--sinl20-20cos120=-7.32Mpa

2xy2

CT+CTIa-a40k40Y

...6=a}=----J(—*------r)2+T2=-—±*1-|+202=9.3Mpa

%C2V2V2VlFjM3”

.,.a=8.3Mpa.a=0,。=-48.3Mpa

I23’

T=L(a-a)=28.3Mpa

max2]3

5、试求图示单元体主应力及最大切应力，并将主平面在单元体上标出。

解答：

/a=40Mpa,o=-40,T=20Mpa

Xyxy

O+<JIa-Q

•'，"}=-*cw±J(「y)2+T2=±44.7Mpa

。.向2V2。

:.o=44.7Mpa,o=0,o=-44.7Mpa

2T'

tan2a=-=_2x20=-0.5；a=-13.3

o一。40+40

*/a>o

.-.a确定o>a+90确定o

0I03

T=—(。一er)=44.7Mpa

max2|3

6.物休内某一点，载荷系统1和载荷系统II单独作用时产生的应力状态分别如图（a）

和（b）所示。试求两载荷系统同对作用时（仍处于弹性小变形）的主单元体和主应力。

解答:

7、构件上某点处的应力状态如图所示。试求该点处的主应力及最大切应力之值，并画

出三向应力状态的应力圆。

。=20MPa

c-50MPa

=40MPa

解答：_____________

0+OIQ-Q

•.P}=_i-----K.±.-----r)2+T2={77.7初x,

C2V2-1-7.7班

.,.o=71.7Mpa,c=-7.7,a=-3QMpa

I23

T=—(o-o)=53.9Mpa

max213

8、图示单元体，已知o=100MPa、a=40MPa及该点的最大主应力o=120MPa<.求

*yi

该点的另外两个主应力。、O及最大切应力tO

max

X

lOMPa

解答:

Q+Ca-a

-*--------^)2+72={40M”

22xy20Mx

二.o=120Mpa.a=20,c=lOMpa

123

=L(o-o)=55Mpa

T

max2

9、试确定图示单元体的最大切应力，以及图示斜截面上的正应力和切应力。

解答:

c=80Mpa,a=40Mpa,o=-20Mpaa

I23

,-.T=一(。-ct)=5QMpa

max2l3

,/a=Q,o=o,T=0

o+oa-a

..G-----------------------------------r-cos2a-Tsin2a=lOMpa

3022Kf

a-a.-

T，=----------^sin2a+Tcos2a=17.32Mpa

302V

10、己知受力构件某处的£=400x103o=50MPa，o=-40MPz,材料的E=200GPa,

xy2

v=0.3o试求该点处的£、

y

解答：

?.£=Jo-v(o+a以

XfLXyz」

••a=£E+VQ+a)=400x106x200x109+03x[50+(-40)]x10=83Mpa

。-v(o+o)][185.5x1Of

(y2万」

J_FQ-VXQ+a)lj=-399.5x10-6

E

11、图示拉杆，F、b、h以及材料的弹性常数E、v均为已知。试求线段AB的正应变

和转角。

b

解答：

口°

.a=ctcossa=c•cos45=__

452

(-45)=J

o=ocos2a=a»cos

A=£xAB

A845

△exAB

--------

ABAB

12、求图示梁1—1截面B点与水平方向成45。角方向的线应变£。已知产=10kN,/

4§

=4m,h=2b=200mm,E=1X104MPa,v=0.25o

解答:

从r、M图知，由于B点在中性轴上，故为纯剪应力状态，对于纯剪应力状态，有:

o=b=T,o=0,0=Q.=-T

1Ts823458

3F3F3x10x103

T=_=__________=_______________=0.375

B~2A2*h・2b4x0.2xx0.1

£=_Lg-va-vr]=-l+1»T=-4.96x10-5

45E45~45EBBEB

A=£xAB

AH45

A£xAB

a=___—=£

ABAB22bh

13、空心圆轴外径〃=8cm,内径d=6cm,两端受外力偶矩m咋用。测得表面上一点

沿45。方向的线应变£=-34x10-5。材料弹性模量E=2X105MPa,泊松北v=0.3,求外力偶矩

m。

m

解答:

纯剪应力状态，则：

£-21|=—[-T一次]=-1+y・T=-•1产

45E45-45E-O'VEVEnD?M-a4)

E7cD3(l-ai)•£2x10sxnx0.08311-X34x105

=3.595KN•相

小=~(l+r).16(1+0.3A16

14、一个处于二向应力状态下的单元体，材料E=200GPa,v=0.3,a=70MPa,

I

a=-70MPa。试求最大切应变丫。

3nax

解答：

a-a

T=I3=70Mp4

max2

ax=Gr

-r=:=2(1।%=9.2x1OT

muxG后M

15、圆轴直径为d,材料的弹性模量为E,泊松比为v,为了测得轴端的力偶〃？之值,

但只有一枚电阻片。试设计电阻片粘贴的位置和方向；若按照你所定的位置和方向，已测得

线应变为g,则机=?

0

H1

解答：

(1)电阻片沿图示45方向粘贴于轴的表面，设t=T

max

(2)取单元体如图，a=T,O=0,Q=-T

I23

EE

：.T=_IL.

1+V

TEEnd3

m=T=TW=—C--

16、如图所示，薄壁圆筒受扭矩和轴向力作用。已知圆筒外径£>=52mm,壁厚r=2mm,

外力偶矩m=600Nm,拉力F=20kNo试用单元体表示出D点的应力状态；求出与母线

AB成300角的斜截面上的应力；求出该点的主应力与主平面位置（并在单元体上画出）。

解答:

17、一体积为10X10X10mm3的立方铝块，将其放入宽为10mm的刚性槽中，已知v

（铝）=0.33,求铝块的三个主应刀。

解答:

.,.o=也=-\9.3Mpa

*y

：.o=0,o=-19.8yW/?«,a=-60Mpa

18、外径为。、内径为d的空心圆轴受扭转时，若利用一电阻应变片作为测力片，用补

偿块作为温度补偿，采用半桥接线。问：（1）此测力电阻片如何粘贴可测出扭矩；（2）圆

轴材料的E、V均为已知，£为测得的应变值，写出扭矩计算式。

解答：

⑴电阻片贴在与轴线成沿45方向，设T=7

max

⑵取单元体如图，

Q=T.Q=0,0=-T

123

...£=£=与CT-v(o+O)1]=lS\y-V(-T)]]=1+1

0IEI23EE

EG

Z.T=—«-

1+v

r氏nd3「(jyl

/.m=T=w=—»-•---»|I--I

「1+v16||_{D)J]

19、一平均半径为R,壁厚为/（KR/IO）的薄壁圆球受内压力p作用。已知球体材料

的反〃求圆球半径的改变量。

解答:

取图示分离体

4CT•RdQ•tsi

pR

:.c=1-=a=o,o=A0

2t123

“。+。)上-吧

△R=R£=R

EL312」Et

20、图示单元体，己知材料的弹性模量E=200GPa,泊松比箕=0.25。求：（1）体积应

变；（2）体枳改变比能（应变能密度）。

।。=30MPa

1=15MPa

xy

解答：

c=30如〃。=O=0,T=15Mpa1=T=0

xyxxyyzxz

⑴。体档鹫、1-2x0.25

0=____(a+a4-aj=________x30x106=75x10-6

Exy:200x104

（2）体积改变比能

Q+a/CT-CT]

J,}=-----J(>y)2+T2=15±¥152+152={MZM”

，《,2V2xy-6-2IW/M

..n=36.21Mpa,o=0,o=-6.2\Mpa

'l-2v231-2x0.25

：.V=-------(o+CT+o>=---------------(30x10)2=3757/n?3

v6E।236x20x10

21、已知某点的£=500x10-6、=-400x10-*>y=200x10-6。求：(1)与£成600面

XsyxyX

上的£；(2)该点的主应变。

«)0

解答：

孙书：

£=£”—-二XuCOS2a+Gsin2a

60222

=50xl0-6+450X10-6COS120+100X10-6xsin120=-88.4x10-6

李书、刘书：

£+££一£y

£=—......>+—4----jcos2a--u«in2a

6o222

=50x10-6+450x10-6cosl20-100x10-6xsin120=-261.6x10-6

主应变：

£+£

1}=--——50x10《土7(450x10-0)2+(100x10-6)2={510.9以10小

S2T10.98x|g

第7章强度理论及其应用

一、选择题

1、图示应力状态，按第三强度理论校核，强度条件有以下四种答案，正确答案是(D)。

(A)T<[o]；(B)@<.|a]；(C)-y]2x<[a]；(D)2r<[o]o

xyxyxyxy

解答：

G=Q-G=T-(-T)=2T<[Q]

r3Ixyxy

2、根据第三强度理论，判断图示单元体中用阴影线标出的危险面(450斜面)是否正

确，现有四种答案，正确答案是(B)。

(A)(a)、(b)都正确；(B)(a)、(b)都不正确；

(C)(a)正确，(b)不正说；(.D)(.a)不正确，(b)正确。

3、塑性材料的下列应力状态中，哪一种最易发生剪切破坏，正确答案是(B)。

解答：

AQ=0,0=a/2,o=0/=a-a=a

I23313

Ba=o,o=0,a=f/2,=o—o=c+a/2=3a/2

123313

Ca=o.c=Q=0,r=a-a=o

I23313

Da=T=a/2,o=0,a=-T=-Q/2,O=O-Q=G/2+O/2=Q

4、两危险点的应力状态如图，且,由第四强度理论比较其危险程度，有如卜答案,

正确答案是(C)。

O

(b)

(A)(a)应力状态较危险；(B)(b)应力状态较危险;

(C)两者的危险程度相同；(D)不能判断。

5、已知折杆ABC如图示，AB与BC相互垂宜，杆的截面为圆形，在B点作用一垂直

fABC平面的力卜。该杆的AB段和BC段变形有以下四种答案，正确答案是（C）。

（A）平面弯曲：（B）斜弯曲；（C）弯扭组合；（D）拉弯组合。

6、一正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M,扭矩为T,截

面上A点具有最大弯曲正应力o及最大扭转切应力t,其弯曲截面系数为卬。关于A点的

强度条件现有下列四种答案,正确答案是（C）。

(A)Q<[Q],T<[T]；(B)>JM2+T2/W<[G]；

(C)VQ2+3T2<[Q]；(D)2+0.75T2/W<[o]<>

二、填空题

1、图示应力状态，按第三强度理论的强度条件为O+工<[Q]o

（注：O>T）

2XV

X

xy

z

解答：

,.,CT=G,O=T,C=-T:.a=a-O=Q+T<[a]

1z2xy3xyr3I3:xy

2、第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为o及。，对于纯剪切应力状态,

r3r4

恒有o/a=2/6。

/答：r纯剪应力状态

a=T,G=0,a=-T,o=O-Q=T+T=2T

I23,313

=v-<y)2+(a-ct)2+(a-a)2]=J-(T2+T2+4t2)=AT

r3V212233IV2

b2i_2

3、一般情况下，材料的塑件破坏可洗用最大的应力或形状改变能次席强

度理论；而材料的脆性破坏则选用最大拉应力或最大伸长线应变强度理论

（要求写出频理论的具体名称）。

4、危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用第一（最大拉应力）

强度理论进行计算，因为此时材料的破坏形式为脆性断裂____________________________。

三、计算题

1、试对给定应力状态：a=212MPa、a=-212MPa、T=212MPa，确定材料是否

xy

失效:

（1）对脆性材料用最大拉应力理论，若已知材料。=300MPa;

b

（2）对塑性材料用最大切应力理论及形状改变比能理论，若已知材料o=500MPao

解答:

xy平面内：。卜世了212-212212+212

力2+T;±+2122={299.8Mpo

■in22*>■22-299.8Mpa

/.a=299.8Mpa,G=o,o=-299.8Mpa

123

（1）脆性材料：a=299.8Mpo<a故材料未失效

1b

（2）塑像材料：o=0—0=299.8—（—299.8）=599.6Mpa>o故材料失效

r3I3s

2、已知某构件危险点的应力状态如图，[cy]=160MPa。试校核其强度。

（用第三强度理论）

50

60

/

50(MPa)

解答:

在x,y平面内o=a=60Mpa,r=-50Mpa

xyN

G+G10760+60,r60-60、、

..0}=一---.1(—------r)2+r2=------±J(------尸4-(-3U)2-1I

C'2V22V2E

.,.Q=110Mp。。=50Mpa,。=\0Mpa

o=0-0=lOOMpo<[Q]

3、钢制构件，已知危险点单元体如图所示，材料的a=240MPa，按第三强度理论求

构件的工作安全因数。

/.a=130Mpa,o=80Mpa,o=-20Mpa

0r3=q-%=\50Mpa

ra240

n=-=---=1.6

ar3,150

4工字型截面钢梁，[oj=17UMPa，/=9940cm4,危险截面上尸=180kN，

zS

M=lOOkN-m。校核梁的正应力及相当应力强度。±（用第三强度理论）

_

1L0

010

1T0

解答：

先对上下边缘进行强度校核：o=吗e=0.16_161Mpa<回=170Mpa

2/9940X10-B

其次对胶板剪缘分界处进行强度校核2

My100x103x0.15…八

a=a=-A-=------------=151Mna,（y=0

*z9440x10-sy

T=r=Fi*180X103X0.16X0.01X0.155...

，*==45CMpa

v/b9440x10xx0.01

:.o=163,4Mpa,o=0Mpa,a=-12.4Mpa,o=a-a=176Mpa>[a]

123r3I3

但，176770=35%<5%所以安全

170

5、箱形截面梁，其截面尺寸如图。已知危险截面上尸=480kNJa2+b2,M=150kN-m，

材料的[o]=170MPa，[T]=lOOMPa,全面校核梁的强度。

解答：

校核上下边缘的最大弯曲应力/=212空-竺四竺=1.392x10-4加

z1212

My150x103x0.15

a\62Mpa<[c]

max1.392x1(^

其次对胶板剪缘分界处进行强度校核

S晟、=耿”0.0掰+gx^).13x0.01X0.065=5.61xl0-»

OA=max44dJ典+4x67h=\95Mpa>[o

，lb43^x10-4,Y

校核交界处强度ax=My._150x103x0.13=\^Mpa

xlb1.392xl0-»

FS-480x103x0.14x0.02x0.14

T*=sn===67.1Mpa

Ib1.392X10TX0.02

按强度理论,CT:扃2+4(7*)2=Vl402+4x67.12=l95Mpa>[Q]不安全

6、空心圆轴的界径D=200mm,内径d=160mm。在端部有集中力F,作用点为切于

圆周的A点。已知：尸=60kN,[C]=80Mpa，/=500mm。试：(1)校核轴的强度；

(2)标出危险点的位置(可在题图上标明)；(3)给出危险点的应力状态。

解答：

(1)危险截面在最左端面，在其截面上有

[；W|=F/=60x0.5=30/W•w,|r|=FxD/2=60x0.2-5-2=

由于轴是塑性材料。故&第二强度埋论进行强度校核

1I------_JGox103)+(6x103)

WqMz+r二=66的”⑸安全

3212001

（2）

（3）

7、图示水平放置的圆截面直侑钢折杆，直径d=ioomm,/=2m,g=ikN/m,

[o]=i6oMPao校核该杆的强度。

解答：

在危险截面A上有|A4明才」ql—

22

按第三强度理论。=ZmE=式211=64.4必汝＜[o]

，3W兀X-3

32

8、直径为d的圆截面钢杆处于水平面内，AB垂宜于CD,铅垂作用力F=2kN,

尸=6kN,已知d=7cm,材料=uoMPa。用第三强度理论校核该杆的强度。

解答：

在危险截面A上危险点在七上下边缘lw|=o.6q+o.3£=3KN・〃?,|7l=o.3C=i.8KN・m

--------J£xiO3)+1.8x103)

由第三强度理论1广O安全

+兀=-----------=-u-)-4-M-p-av[]

,3W"0.073

32

9、圆截面水平直角折杆，直径d=6cm,q=o.8kN/m，[o]=8oMPa。试用第三强度理

论校核其强度。

解答“

在危脸截面A上危险点在七上卜边缘[w=gxix2=1.6KN•巴|7|=qxlx_l=0.4KN•“I

2

由第三强度理论。-G7=&6xloJ+G4GRM/I］安全

,3W71X0.063

32

10、直径为20mm的圆截面折杆受力情况如图所示，已知：F=o.2kN,材料的许用应

力为[o]=i7oMPa。试用第三强度理论确定折杆的长度。的许用值。

解答：

在危险截面A上危险点在七上下边缘M=2Faf\T\=Fa

由第二强度理论1I-----------J（2XO.2X4）+（U.2X〃[「]

a=-VA/a+Ta=-------------------------------<[o]=170x106

,3W71X0.023

32

a<0.29855/〃

取[a]=299mm

11、AB、CD两杆互相垂直，在水平面内，C点的集中力2尸及D点的集中力b与刚架

平面垂直。己知产=2okN,/=im,各杆直径相同d=iocm,[a]=70Mpa。试按最大切应力

强度理论校核强度。

解答：在危险截面A上危险点在七上下边缘IM1=F/,l'r|=3巴

由第三强度理论Q=白加+兀=+?批=3千^卜1=644Mpa>[0]

，3XVnxch几扇5’

不安全32

12、图示齿轮传动轴内电机带动，作用在齿轮上的力如图示，已知轴的直径d=30mm,

P=o.8kN,Q=2kN,/=5omm,齿轮节圆直径O=2oomm。试用第三强度理论校核轴的强

度。已知轴的[o]=80MPa。

13、图示传动轴，皮带轮I直径0=8Ocm,皮带轮H直径Q=4()cm,已知轴的许用

应力[o]=50MPa。试以第四强度理论设计轴的直径d,并指出危险截面位置，画出危险点

的应力状态。

解答：

在危险截面A上危险点在七上下边缘|例|=742+12=y/ilKN•w,\T\=O.SKN