苏科版八年级数学下册举一反三专题10.2分式的运算【八大题型】同步练习(学生版+解析)

专题10.2分式的运算【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1已知分式恒等式确定分子或分母】 ③运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。【题型1已知分式恒等式确定分子或分母】【例1】（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx【答案】6【分析】由于x4+x2+1=(x2+1)【详解】解：∵6x3∴6∴6x∴当x=0时，B+D=0①当x=1时，A+B+3C+D=16当x=−1时，3B−A∵6x即6∴A+C=6④联立①③③④解之得A=C=3、B=−2、D=2，∴A+B+C+D=6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于A、B、C、D的方程组即可解决问题．【变式1-1】（2023·山东烟台·八年级统考期末）若3x−4(x−1)(x−2)=K【答案】1【分析】根据分式的加减和恒等关系即可求解．【详解】解：原式变形，得3x−4(x−1)(x−2)＝3k∴3K＝3，4K＝4，解得K＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了分式的加减，解决本题的关键是恒等关系变形．【变式1-2】（2023上·上海黄浦·八年级上海市民办立达中学校考期中）已如3x2−7x+2x−1x+1【答案】a=−1【分析】先把分式恒等式去分母可得3x【详解】解：3x∴去分母可得：3x∴3x由恒等式可得：a+b=−7a−b−3=2解得：a=−1b=−6【点睛】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．【变式1-3】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）阅读下列材料：若1−3xx2−1=A解：等式右边通分，得A根据题意，得A+B=−3−A+B=1，解之得A=−2仿照以上解法，解答下题．(1)已知x+6x+12x−3=Mx+1−N2x−3（其中(2)若12n−12n+1=a2n−1−b(3)计算：11×3【答案】(1)M=−1(2)12，(3)1010【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；（2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；（3）由11×3=12×【详解】（1）解：等式右边通分，得Mx+1根据题意，得2M−N=1−3M−N=6，解之得M=−1（2）解：等式右边通分，得a2n−1根据题意，得2a−2b=0a+b=1，解之得a=b=故答案为：12，1（3）解：1=====故答案为：10102021【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【题型2比较分式的大小】【例2】（2023下·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：如果a−b>0，那么a>b；如果a−b=0，那么a=b；如果a−b<0，那么a<b．（1）已知2x>y>0，且A=xy，B=x+1y+2，试用“作差法”比较（2）比较两数1999199820212020和19991999（3）对于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，则【答案】(1)A>B；(2)1999199820212020>【分析】用作差法求解．【详解】(1)A−B=x∵y>0，∴y+2>0，∴yy+2∵2x>y，∴2x−y>0，∴2x−yyy+2>0故答案为：A>B．（2）令19991998=t，20212020=m，1999199820212020∵2t>m，∴2t−m>0，∵m>0，则m+2>0，∴m(m+2)>0，∴1999199820212020（3）A−B=0，xy−x+1y为正数，所以分母不为0∴2x−y=0，y=2x．故答案为：y=2x．【点睛】本题考查了作差法比较大小：如果A-B＞0，那么A＞B；如果A-B=0，那么A=B；如果A-B＜0，那么A＜B．【变式2-1】（2023上·福建福州·八年级统考期末）已知：P=x+1，Q=4xx+1(1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；(2)设y=3P−Q2【答案】(1)P-Q≥0，理由见解析；(2)y的整数值为：-7，-3，-1，3．【分析】（1）先求差，再比较差与0的大小关系；（2）先表示y，再求y的整数值．【详解】（1）解：P-Q≥0，理由如下：P-Q=x+1−==(x−1)∵x＞0，∴x+1＞0，（x-1）2≥0．∴P-Q≥0；（2）解：y==−2+5∵x，y是整数，∴x+1是5的因数．∴x+1=±1，±5．对应的y值为：∴y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+1=-1或y=-2+（-1）=-3．∴y的整数值为：-7，-3，-1，3．【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．【变式2-2】（2023上·湖南常德·八年级常德市第七中学校考期中）(1)若a、b为正数，且a<b，直接判断1a与1(2)若a、b为正数，且a≠b，试比较ba(3)若1a+1b=1【答案】(1)1(2)ba(3)ba【分析】（1）计算出1a−1b=b−aab，再根据a（2）计算出ba+ab−2=(b−a)2ab，再根据（3）计算出ba+ab−ab=【详解】（1）1a理由如下：1a∵a、b为正数，∴ab＞0，∵a＜b，∴b-a＞0，∴1a即有：1a（2）ba理由如下：ba∵a、b为正数，∴ab＞0，∵a≠b，∴(b−a)2∴ba∴ba（3）ba理由如下：ba∵1a∴1a∴a+b=ab，∴ba∴ba【点睛】本题考查了分式的混合运算、完全平方公式等知识，掌握分式的混合运算是解答本题的关键．【变式2-3】（2023下·江苏南京·八年级统考期中）已知b＞a＞0．(1)比较大小：aba+1(2)若c＞0，比较ab与a+c(3)下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．①若n＞m＞0，则m+2n+2③若n＞m＞2，则m−2n−2③若n＞m＞2，则m−2n−2④若n＞m＞2021，则m+2022n+2022【答案】(1)＜(2)a+c(3)③④【分析】（1）利用作差法判断大小即可．（2）利用作差法比较大小即可．（3）利用作差法逐项进行比较判断即可．【详解】（1）解：a+1b+1−ab∵b>a>0，∴b−a>0，b(b+1)>0，∴b−ab(b+1)∴a+1b+1即ab故答案为：<．（2）a+cb+c−ab=b(a+c)b(b+c)−∵b>a>0，c>0，∴c(b−a)>0，b(b+c)>0，∴c(b−a)b(b+c)即a+cb+c（3）①m+2n+2−mn=n(m+2)−m(n+2)∵n>m>0，∴2(n−m)>0，n(n+2)>0，∴2(n−m)n(n+2)则m+2n+2③m−2n−2−mn=n(m−2)−m(n−2)∵n>m>2，∴2(m−n)<0，n(n−2)>0，∴2(m−n)n(n−2)则m−2n−2<m③m−2n−2−m+1n+1=(m−2)(n+1)−(m+1)(n−2)∵n>m>2，∴3(m−n)<0，(n−2)(n+1)>0，∴3(m−n)(n−2)(n+1)则m−2n−2④m+2022===4043(n−m)∵n>m>2021，∴4043(n−m)>0，(n+2022)(n−2021)>0，∴4043(n−m)(n+2022)(n−2021)则m+2022n+2022故答案为：③④．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握作差法以及分式混合运算的运算法则是解答本题的关键．【知识点2整数指数幂的运算】1.整数负指数幂：a−n2.若am=an，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则am【题型3分式的混合运算】【例3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算：(1)3(2)x−y【答案】(1)8(2)1【分析】（1）先对各个分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案；（2）先对各个分式分子分母因式分解，根据分式混合运算顺序，先计算乘除，再利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案．【详解】（1）解：3=3===8（2）解：x−y=x−y=x+3y==1．【点睛】本题考查分式混合运算，涉及通分、约分、因式分解等知识．掌握分式混合运算法则及运算顺序，熟记因式分解的方法，准确找到最简公分母通分是解决分式混合运算的关键．【变式3-1】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）计算a2a−b−a−b【答案】b【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减．【详解】解：原式====b故答案为：b2【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．【变式3-2】（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）当x分别取−2023，−2022，−2021，…，−2，−1，0，1，12，1A．−1 B．1 C．0 D．2023【答案】B【分析】先求出x=−a和x=1aa≠0【详解】解：当x=−a和x=1−a==0当x=0时，x2则所求的和为0+0+0+⋯+0+−1故选A．【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键．【变式3-3】（2023上·广西贵港·八年级统考期中）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．x2=x+3=x−3=2x−6=2x−6−=2x−6−2x+1=−5任务一：填空：以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是或填为：；第步开始出现错误，这一步错误的原因是；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是；任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算：1a+1【答案】任务一：①三，分式的基本性（分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变）；③五，去括号时，括号前面是“−”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：−72x+6【分析】任务一：本题考查的是分式的基本性质的应用，去括号法则的应用；①根据通分的概念及分式的基本性质进行填空；③根据去括号法则进行分析判断；任务二：本题考查的是分式的混合运算；先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算即可；任务三：本题考查的是分式的混合运算；先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，先计算乘法运算，再通分进行分式加减法运算即可．【详解】解：任务一：①化简步骤中，第三步进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，③第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是“−”号，去括号后，括号里的第二项没有变号，任务二：x2======−任务三：1====3【题型4分式的化简求值】【例4】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b【答案】−【分析】先根据完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，进一步推出ab+bc+ac=−6，由ca+3b+3=c−3a−3，由此代入所求式子中并化简得到【详解】解：∵a+b+c=2，∴a+b+c2∴a2∵a2∴ab+bc+ac=−6，∵a+b+c=2，∴c=2−a−b，∴3c+3=9−3a−3b，∴ab+3c+3=ab+9−3a−3b==a=a−3同理可得：bc+3a+3=b−3ca+3b+3=c−3∴=======−7【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简．【变式4-1】（2023上·河北唐山·八年级统考期中）已知x2−x−2=0求代数式【答案】−1【分析】本题考查了分式的运算化简求值，先对分子和分母因式分解，将除式的分子、分母交换位置将除法转化为乘法，然后约分、化简，再通分化简，把已知变形为x2【详解】解：3x−3=3===x−1−x=−1∵x2∴x∴原式=−1【变式4-2】（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）若abc=1，a+b+c=2，a2+b2【答案】−【分析】首先求出ab+ac+bc=12，将原代数式的分母变形为【详解】解：∵a+b+c=2，∴a∵a∴ab+bc+ac=1∵a+b+c=2，∴c−1=1−a−b，∴ab+c−1=ab+1−a−b=a−1同理可得：bc+a−1=b−1c−1，∴原式======−2故答案为：−2【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．【变式4-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且(x2−1)(y2【答案】1【分析】先把(x2−1)(y2−1)xy+(y2−1)(z2−1)yz+(z2−1)(x2−1)zx=4去分母、移项，根据因式分解法变形为[xyz﹣（x+y【详解】解：∵(x∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，整理，得xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0．∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠0，∴xyz﹣（x+y+z）=0，∴xyz=x+y+z，∴1yz即1xy故答案为：1．【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．【题型5分式加减的应用】【例5】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米m>1的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为m−1米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米2和Q千克/米2．下列说法：①P>Q；③P=Q；③P<Q；④P是Q的m−1m+1倍．其中正确的个数有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】分别表示出P=nm2−1，Q=n【详解】解：由题意可得：P=nm2∵P−Q====−2n∵n>0，∴−2nm+1m−12∵P==故③④正确，共2个，故选B．【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．【变式5-1】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/小时，下山速度为b千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（

）A．a+b2 B．ab2 C．a+b2ab【答案】D【分析】平均速度=总路程÷总时间，设单程的路程为x，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可；【详解】设上山的路程为x千米则上山的时间xa小时，下山的时间为x则上、下山的平均速度2xx故选：D【点睛】本题考查了列代数式，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点．【变式5-2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为ba(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设a、b、c为△ABC三边的长，求证：ca+b【答案】(1)b(2)b+m(3)见解析【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；（2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；（3）利用（2）的结论来证明即可．【详解】（1）解：由题意得，加入m克水，糖水为a+m克，∴糖水的浓度为ba+m∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，∴ba+m故答案为：ba+m；b（2）解：由题意得，加入m克糖，糖水为a+m克，糖为b+m克，∴糖水的浓度为b+ma+m假设新的“糖水不等式”为baba−b+m∴b−a<0,a+m>0，∴m(b−a)a(a+m)<0，即故答案为：b+ma+m；b+m（3）证明：由（2）可知c+c∴∴∵∴c【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．【变式5-3】（2023上·福建厦门·八年级统考期末）某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是150km，已知货轮在静水中的最大航速为vv>5(1)若该货轮在水流速度为5km/h的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度；(2)航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为5km/h，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线．【答案】(1)顺流航行的最大速度为v+5km/h(2)航运公司应当选择航线2．【分析】（1）根据v顺=v（2）航线1：从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行，得到t总=300vv+5v−5；航线2：从A港到B港和从B港返回A【详解】（1）解：∵货轮在静水中的最大航速为vv>5∴水流速度为5km/h，∴顺流航行的最大速度为v+5km逆流航行的最大速度为v−5km（2）解：航线1：从A港到B港为顺流航行，从B港返回A港为逆流航行，依题意得t总航线2：从A港到B港和从B港返回A港的速度相同，同为v，依题意得t总t总∴t总∴航运公司应当选择航线2．【点睛】本题考查了分式加减的应用、列代数式，要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列式再求解，解题关键是理解顺水航行速度和逆水航行速度．【题型6分式运算的规律探究】【例6】（2023上·辽宁大连·八年级期末）观察下列式子：11−3+55−3=2，4按照上面式子的规律，完成下列问题：(1)再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子：①，③；(2)设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为x()(3)验证这个规律．【答案】(1)−1−1−3+7(2)x-3，6-x，6-x-3(3)见解析【分析】（1）根据所给式子，写出符合条件的即可；（2）第一个数为x，第一个数的分母为x-3，第二个数的分子为6-x,分母为6-x-3，由此可得结论；（3）利用分式的运算方法验证即可．【详解】（1）①−1−1−3③1010−3故答案为：−1−1−3+7（2）通过观察可得规律：xx−3故答案为：x-3，6-x，6-x-3；（3）x====2，∴xx−3【点睛】本题考查数字的变化规律以及分式的加减运算，通过观察式子的特点，找到各式子分子、分母之间的联系是解题的关键．【变式6-1】（2023·安徽·校联考三模）观察以下等式：第1个等式：23第2个等式：44第3个等式：65第4个等式：86第5个等式：107按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：___________；(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)12(2)2n(n+2)【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．【详解】（1）解：128（2）解：2n(n+2)左边=2n∴等式成立．【点睛】本题考查数字的变化类，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性是解答本题的关键．【变式6-2】（2023下·湖南永州·八年级校考期中）阅读理解：阅读下列过程因为2×21=4，因为3×32=9因为4×43=16因为5×54=25…………………．．(1)根据上面规律填空，8×8(2)根据你观察的特点，用含n的公式表示上面的规律为______________(3)证明你得到的公式是否正确．【答案】(1)8+(2)(n+1)×(3)见详解【分析】（1）由已知算式的规律直接把乘改为加即可；（2）利用以上规律得出答案即可；（3）利用分式的运算方法得出答案即可．【详解】（1）解：8×8（2）解：(n+1)×n+1（3）证明：∵左边=(n+1)2n∴左边=右边，∴(n+1)×n+1【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．【变式6-3】（2023·安徽合肥·统考三模）观察以下等式：第1个等式：12第2－个等式：12第3个等式：12第4个等式：12……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：__________________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)1(2)12【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可．【详解】（1）解：1（2）1左边=右边=∴左边=右边．【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．【题型7分式中的新定义问题】【例7】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A−B=AB，则称分式B是分式A“友好分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1所以1x+2是1(1)分式22y+5______2(2)小明在求分式1x设1x2+y2∴1x∴N=1请你仿照小明的方法求分式xx−3(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式bax+b③若n+2mx+m2+n是【答案】(1)是(2)x(3)①bax+2b；③【分析】（1）根据友好分式的定义进行判断；（2）仿照题目中给到的方法进行求解；（3）①根据（1）（2）找规律求解；③由①推出的结论，类比形式求解即可.【详解】（1）解：∵22y+3−∴22y+3与2故答案为：是（2）解：设xx−3的“关联分式”为N，则x∴xx−3∴N=x（3）解：①设bax+b的“关联分式”为N，则b∴bax+b∴N=b规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.故答案为：bax+2b③将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.据此可得n+2=m−1mx+整理得m−n=3∴m+n=m故答案为：2【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键.【变式7-1】（2023下·浙江湖州·八年级校考期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：xx−1−1x−1=1，则称分式xx−1是分式1A．4x+3x+2是x−3x+2的“3B．若a的值为−3，则12+x3+2x是ax+63+2x的“2C．若2aba2−4b2是D．若a与b互为倒数，则5aa+b2是−5ba【答案】B【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可．【详解】A、4x+3x+2B、12+x3+2xC、由已知条件得：2aba2−4D、由已知得：ab=1，5aa+【点睛】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则．【变式7-2】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“互联分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=(1)判断分式3x+2与分式3(2)小红在求分式1x设1x2+y2∴1x2请你仿照小红的方法求分式x+2x+5(3)解决问题：仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数a，b的值，使4a−2bx+b是4b+2【答案】(1)是，理由见解析；(2)x+2(3)a=14【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断；（2）仿照题目中给到的方法进行求解；（3）仿照题目中给到的方法进行求解．【详解】（1）分式3x+2与分式3∵3x+2−3∴分式3x+2是分式3（2）解：设x+2x+5的“互联分式”为N，则x+2∴x+2x+5∴N=x+2（3）解：由（1）（2）可得，yx的“互联分式”是y∵4a−2bx+b是4b+2∴4b+2=4a−2bx+b=bx+a+4b+2整理得a−b=1解得a=1【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键．【变式7-3】（2023下·江苏南京·八年级南京五十中校联考期中）定义：若两个分式A与B满足：A−B=3，则称A与B(1)下列三组分式：①1a+1与4a+1；③4aa+1与a−3a+1；③a2a−1(2)求分式a2a+1(3)若分式4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，且【答案】(1)③③(2)7a+32a+1或(3)−173【分析】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断；（2）根据给出的“美妙分式”定义求分式a2a+1（3）根据分式4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，得到4a2【详解】（1）解：①1a+1③4aa+1③a2a−1故答案为：③③；（2）设分式a2a+1的“美妙分式”为A则A−a∴A−a2a+1=3①当A−aA=a③当A−aA=a综上：分式a2a+1的“美妙分式”为7a+32a+1或（3）∵4a2∴4∵4∴3a2∴3a2+ab=3∵a、b均为不等于0的实数，∴①a=−3b，③ab=3b把①代入2a把③代入2a综上：分式2a2−b2【点睛】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．【题型8分式中的阅读理解类问题】【例8】（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式x2解：设x+2=t，则x=t−2．原式=∴x2这样，分式x2−3x−1x+2就拆分成一个整式(x−5)【应用