苏科版八年级数学上册专题7.4期末复习之解答压轴题十三大题型总结同步特训(学生版+解析)

专题7.4期末复习之解答压轴题十三大题型总结【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1两条直线相交问题】 1【题型2与一次函数有关的面积的计算】 3【题型3与一次函数图像有关的应用】 5【题型4与一次函数性质有关的应用】 6【题型5探究函数的图像及其性质】 8【题型6由三角形全等分类讨论求参数的值】 10【题型7利用全等三角形解决阅读理解类问题】 12【题型8勾股定理在格点中的运用】 14【题型9以弦图为背景的计算】 16【题型10利用勾股定理解决实际问题】 18【题型11等腰三角形中的证明与计算】 20【题型12数式或图形的规律探究】 22【题型13数式或图形中新定义问题】 24【题型1两条直线相交问题】【例1】（2023上·山西太原·八年级统考期末）综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数y=−43x+8的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，经过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB=OC．点D是线段CA上的一个动点，过点D作x轴的垂线交直线AB于点E，交直线BC于点F．设点D

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)当m=−3时，求△BEF的面积；(3)如图2，作点C关于直线DF的对称点G．请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择题．A．①当m=2时，点G的坐标为；②点D在线段CA上运动的过程中，当EF=13DG时，mB．①用含m的代数式表示点G的坐标为；②点D在线段CA上运动的过程中，当EF=12AG时，m【变式1-1】（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+8交x轴于点A，交y轴于点B，且OB=2OA．

(1)求直线AB的解析式；(2)①若另一条直线y=ax+a+6与直线AB有唯一交点P，求点P的坐标；②直接写出a的取值范围．(3)若直线y=ax+a+6只与y轴的交点D在线段OB上（D不与O，B重合），试写出a取值范围．【变式1-2】（2023下·河北承德·八年级统考期末）如图，已知直线l1与y轴相较于点A0,3，直线l2:y=−x−2交y轴于点B，交直线

(1)求直线l1(2)过动点Da,0作x轴的垂线，与直线l1相交于点M，与直线l2相交于点N，当MN=3(3)点Q为l2上一点，若S△APQ=【变式1-3】（2023上·山西太原·八年级校考期末）如图，直线l1:y=14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点(1)直接写出点A、B、P的坐标；(2)求出直线l2(3)如图1，求ΔADP(4)如图2，点M是线段AP上任一点，过点M作y轴的平行线交直线l2于点N，设点M的横坐标为m①用m表示点M、N的坐标：M:，N:；②线段MN的长度用l表示，写出l与m的函数关系式；③ΔANP的面积用s表示，写出s与m【题型2与一次函数有关的面积的计算】【例2】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，已知点A10，0，点B0，8，过点B作x轴的平行线l，点

(1)如图1，求出△AOP的面积；(2)如图2，已知点C是直线y=85x上一点，若△APC是以AP【变式2-1】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A−5，2，B−1，2，直线y=kx−1与

(1)求△ABC的面积；(2)若点A和点B在直线y=kx−1的两侧，求k的取值范围；(3)若P点将线段AB分成1：3两部分，直接写出【变式2-2】（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）已知一次函数y=kx+b的图像直线l经过点0,1，−1,4，将此函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图像为直线l'(1)求直线l的函数表达式；(2)求直线l、直线l'及y(3)过y轴上一点P画x轴的平行线分别与直线l，l'交于两个不同的点M、N，若点P、M、N中有一点是另两点所成线段的中点，求点P【变式2-3】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，过点C的直线y−x=6与坐标轴相交于A、B两点，已知点Cx,y是第二象限的点，设△AOC的面积为S

(1)写出S与x之间的函数关系，并写出x的取值范围；(2)当△AOC的面积为6时，求出点C的坐标；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点M，使得M与A、O、C中任意两点形成的三角形面积也为6，若存在，请直接写出点M的坐标．【题型3与一次函数图像有关的应用】【例3】（2023下·安徽芜湖·八年级校考期末）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米）．图中的折线表示y与x之间的函数关系图像．求：

(1)甲、乙两地相距______千米；(2)求动车和普通列车的速度；(3)求C点坐标和直线CD解析式；(4)求普通列车行驶多少小时后，两车相距1000千米．【变式3-1】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港停止．设甲、乙两船行驶xh后，与B港的距离分别为y1、y2km，y1

(1)B、C两港口间的距离为______km，a=______；(2)甲船出发几小时追上乙船？(3)在整个过程中，什么时候甲乙两船相距10km【变式3-2】（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中EF−FM−MN为折线段．请结合图像回答下列问题：

(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；(2)在4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．①图2中m的值为___________．②请求出在6≤t≤9时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．【变式3-3】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．

(1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm；(2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同：(3)若乙容器底面积为900mm【题型4与一次函数性质有关的应用】【例4】（2023下·山东泰安·八年级统考期末）为使活动更具有意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元．(1)求甲、乙两种品牌文化衫的单价；(2)根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【变式4-1】（2023下·河北邢台·八年级统考期末）学校计划组织八年级的同学参观大学城，已知八年级共有480名同学，计划租用9辆客车，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表：租金/（元/辆）载客量/（座/辆）甲种客车170045乙种客车200060(1)若恰好一次性将480名学生送往大学城且客车全部坐满，则应租用甲、乙两种客车各多少辆？(2)设租用甲种客车x辆，租用甲、乙两种型号的客车总费用y元．①求y与x的函数关系式．②在保证所有同学均能被送达大学城的情况下，怎样租车费用最低？最低费用是多少元？【变式4-2】（2023下·湖北荆门·八年级统考期末）为了落实“乡村振兴”政策，A,B两城决定向C,D两乡运送水泥建设美丽乡村，已知A,B两城分别有水泥200吨和300吨，从A城往C,D两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C,D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C乡需要水泥240吨，D乡需要水泥260吨．(1)设从A城运往C乡的水泥x吨．设总运费为y元，写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．(2)为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<7)元，这时A城运往C乡的水泥多少吨时总运费最少？【变式4-3】（2023下·福建厦门·八年级统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过160套，他们的进价和售价如下表：商品进价售价乒乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．(1)求出a，b的值；(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（0<n<10），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？【题型5探究函数的图像及其性质】【例5】（2023下·江西抚州·八年级南城县第二中学校考阶段练习）有这样一个问题：探究函数y=−2|x|+1的图像与性质．小明根据学习函数的经验，对函数y=−2|x|+1的图像与性质进行了探究．(1)①函数y=−2|x|+1的自变量x的取值范围是_____________；②若点A（－7，a），B（9，b）是该函数图像上的两点，则a___________b（填“＞”“＜”或“＝”）；(2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图像：x…－5－3－10135…y……(3)函数y1=−2|x|和函数①y1=−2|x|的图像向___________平移________个单位长度得到y=−2|x|+1，y2②当−2|x|+1=−2|x+1|+1时，x＝_____________；③观察函数y2【变式5-1】（2023上·重庆潼南·八年级校联考期末）如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=4，AC=3，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着B−C−A方向运动到A点停止，设y=S△ABP，点P的运动时间为(1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围．(2)在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出y的一条性质(3)结合作出的图像直接写出它与函数y=x+1相交时x的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）【变式5-2】（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数y=kx+b（其中k，b为常数，且k≠0），则称函数y=−kx+bx≥0kx+bx<0为一次函数y=kx+b（其中k，【理解运用】例如：一次函数y=−2x+1，它的关联函数为y=2x+1(1)点P−2,m在一次函数y=−2x+1的关联函数的图像上，则m(2)已知一次函数y=−2x+1．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数y=−2x+1，它的关联函数为y=2x+1①填表，x…−2−1012…y…53135…②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数y=−2x+1的关联函数的图像；③若−1≤x≤2，则y的取值范围为______；【拓展提升】(3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为−1，4、2，2，连接MN．直接写出线段MN与一次函数【变式5-3】（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）在我们学习函数的过程中，经历了“确定函数的解析式一利用函数图象研究其性质”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义a阳阳结合上面的学习过程，对函数y=|2x−1|的图象与性质进行了探究．(1)①化简函数y=|2x−1|的表达式：当x≥12时，y=，当x＜12时，②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；(2)函数y1=|2x−1|+1的图象可由①当0≤x<3时，y1的取值范围是②当2≤y1≤5时，x的取值范围是③当m<y1<n时（其中m，n为实数，m<n），自变量x的取值范围是−1<x<2，求n【题型6由三角形全等分类讨论求参数的值】【例6】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6．

(1)求BO的长；(2)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．【变式6-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）如图1，在四边形BCDE中，∠D=∠E=90°，点A在边上DE上，且AC⊥AB．(1)求证：∠DAC=∠EBA．(2)如图2，若AC=8，AB=6．点F从点C出发，沿折线CAB以速度为每秒2个单位长度向终点B运动；点G从点B出发，沿折线BAC以速度为每秒1个单位长度向终点C运动；F，G向DE作垂线，垂足分别为M，N．设点G的运动时间为ts．当△AMF与A，N，G三点构成的三角形全等时，求AG【变式6-2】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．(1)求证：∠BAM=∠BCA；(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且S△ABP=5②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△APB与△BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．【变式6-3】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．（1）当t＝2时，S△AQF＝3S△BQC，则a＝；（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．【题型7利用全等三角形解决阅读理解类问题】【例7】（2023下·四川达州·八年级四川省大竹中学校考期末）（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在ΔABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是；则中线AD的取值范围是（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=160°，以C为顶点作∠ECF=80°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE、DF与EF的数量关系【变式7-1】（2023上·辽宁大连·八年级校联考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图1,在四边形ABCD中,E是BC的中点,AE是∠BAD的平分线,AB∥DC，求证:AD=AB+DC．小明发现以下两种方法:方法1:如图2,延长AE、DC交于点F；方法2:如图3,在AD上取一点G使AG=AB,连接EG、CG.(1)根据阅读材料,任选一种方法,证明：AD=AB+DC；用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:(2)如图4,在四边形ABCD中,AE是∠BAD的平分线,E是BC的中点,∠BAD=60°,∠ABC=180°-12【变式7-2】（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）已知：如图①，纸片Rt△ABC，∠ACB=90°

(1)将△ABC沿着MN折叠，使得△AMN与△CMN重合，MN为折痕，展开后如图②所示．试判断MN与BC的位置关系，并说明理由；(2)在（1）的条件下，连接MC，过点M作ME⊥BC，点E为垂足，如图③所示．①将△BME沿ME折叠，点B能与点C重合吗？请说明理由；②图中与△AMN全等的三角形有______个；(3)将图②中纸片沿MC剪开得△MBC，如图④所示，将另一张纸片△OPQ与△MBC拼接，边OP与边MC恰好重合(点O与点C重合)，若OP=OQ，且△MBC的面积与△OPQ的面积相等，试探索∠BMC与∠【变式7-3】（2023上·河北张家口·八年级校考期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形：__________；【理解与运用】(2)如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，求x的取值范围；(3)如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=AB，求证：AQ=2AD．

【题型8勾股定理在格点中的运用】【例8】（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A、B、C都在格点上，画图过程用虚线表示．

(1)在图1中，画出格点C，使∠ABC=45°．(2)在图2中，在AC上画点E，使∠AEB=∠ABC．(3)在图3中，点D是AB上一点，在AB的下方画∠ADF=45°．【变式8-1】（2023下·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），在网格中画出格点△ABC（即（1）请你直接写出△ABC的面积为（2）若△ABC三边的长分别为m2+16n2【变式8-2】（2023上·江苏徐州·八年级校联考期末）如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）△ABC的周长；（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；（3）△ABC的面积；（4）点C到AB边的距离．【变式8-3】（2023下·吉林·八年级校考阶段练习）图①，图②，图③均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长都为1．线段AB的端点均在格点上．按要求在图①，图②，图③中画图．（1）在图①中，以线段AB为斜边画一个等腰直角三角形，且直角的顶点为格点；（2）在图②中，以线段AB为斜边画一个直角三角形，使其面积为2，且直角的顶点为格点；（3）在图③中，画一个四边形，使所画四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，且其余两个顶点均为格点.

【题型9以弦图为背景的计算】【例9】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）(1)四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图甲．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为15，每个三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积．(2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．(要求：先在图乙中画出分割线,再画出拼成的正方形并标明相应数据)【变式9-1】（2023上·河南郑州·八年级郑州市第三中学校考期末）（1）阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；（2）问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．【变式9-2】（2023上·浙江·八年级专题练习）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．

(1)如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边BC的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的15，求直角三角形的长直角边AC(2)小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．【变式9-3】（2023上·江苏扬州·八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①勾股定理的证明，人们已经找到了200多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．(2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1(3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、【题型10利用勾股定理解决实际问题】【例10】（2023上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【变式10-1】（2023上·广东深圳·八年级统考期末）美宜佳超市为了让顾客感觉服务很温馨，在超市门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4米及2.4米以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临美宜佳”的语音．如图，一个身高1.6米的学生刚走到A处（学生头顶在B处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等，请你计算迎宾门铃距离地面多少米？

【变式10-2】（2023上·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期末）国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（CD）35米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面30米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面10米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头顶正上方（AB∥CD），且显示距离地面25米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点【变式10-3】（2023上·江苏南京·八年级统考期末）如图①，长方体长AB为8cm，宽BC为6cm，高BF为4cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为cm；②当点P在BC边上，设BP长为acm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．【题型11等腰三角形中的证明与计算】【例11】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在BC的延长线上，连接DB、DE，DB=DE．(1)求证：∠ABD=∠CDE；(2)如图2，若∠BAC=60°，求证：AD=CE；(3)如图3，在（2）的条件下，点F是△ABC外一点，连接FC，AF，BF，且FC平分∠AFB，若CF=6，AF=12BF【变式11-1】（2023上·北京西城·八年级北京四中校考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点E在射线AB上且∠ACE=2α，在射线CE上取点D使得CD=CA，连接AD并延长交射线CB于点F．(1)当0°<2α<60°时，①∠DAB=______；(请用含α的代数式表示)②求证：CE+BE=CF；(2)当60°<2α<120°时，请根据题意补全图形，并写出线段CE，BE，CF间的数量关系______.【变式11-2】（2023上·广西南宁·八年级校考期末）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．教材再现：如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．求证：BE=DC．(1)请写出证明过程；继续研究：(2)如图，在图1的基础上若CD与BE交于点O，AB与CD交于点M，AC与BE交于点N，连接AO，求证：AO平分∠DOE；(3)在（2）的条件下再探索OA，OC，OE之间的数量关系，并证明．【变式11-3】（2023上·浙江绍兴·八年级校联考期末）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC−CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）．(1)当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为_____（cm），BP的长为______（cm）（用含t的式子表示）．(2)当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值．(3)当点Q从点C运动到点A的过程中，连接PQ，直接写出PQ中点O经过的路径长．【题型12数式或图形的规律探究】【例12】（2023下·北京西城·八年级北京八中校考期末）观察下列计算过程，猜想立方根．13=1，23=8，33=27，43=64，53(1)小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由203<19000<303；猜想(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：①3−117649=______，②【变式12-1】（2023下·安徽芜湖·八年级校联考期末）如图，每个小方格边长为1，已知点A1(1,0)，A2(1,1)，A3(−1,1)，A4(−1,−1)，(1)将图中的平面直角坐标系补画完整；(2)按此规律，请直接写出点的坐标：A9，A10(3)按此规律，则点A2022的坐标为【变式12-2】（2023下·上海·八年级上海市市西初级中学校考期末）细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：122232+1=（1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于7的长度；（4）若S表示三角形面积，S1=S△OP1P2，【变式12-3】（2023下·江苏无锡·八年级校联考期末）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为；（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为、（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是（等号两边需化为最简形式）；（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为__________________（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．【题型13数式或图形中新定义问题】【例13】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是___．A.①一定是“方倍三角形”

B.②一定是“方倍三角形”C.①②都一定是“方倍三角形”

D.①②都一定不是“方倍三角形”(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB=3(3)如图，△ABC中，∠ABC=120∘，∠ACB=45∘，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝【变式13-1】（2023上·北京海淀·八年级人大附中校考期末）（2023上·福建莆田·八年级校考开学考试）定义：对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d(1)若m=3,n=1．试判断函数y=5x+2是否为函数y1(2)设函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图象相交于点P．求点(3)在（2）的条件下，若m+n>1，点P在函数y1、y【变式13-2】（2023下·福建龙岩·八年级校联考期末）新定义：若无理数T的被开方数(T为正整数)满足n2<T<n+12(其中n为正整数)，则称无理数T的“青一区间”为n,n+1；同理规定无理数−T的“青一区间”为(−n−1,−n)．例如：因为12<2<22(1)17的“青一区间”为；−23的“青一区间”为(2)若无理数a(a为正整数)的“青一区间”为2,3，a+3的“青一区间”为3,4，求3a+1(3)实数x，y，满足关系式：x−3+2023+y−4【变式13-3】（2023上·江苏无锡·八年级统考期末）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”．

(1)请在图（2）中，作出△ABC的“双等腰线”，并标注相等角的度数

①∠B=70°，∠A=35°

②∠B=81°，∠A=27°．(2)直角三角形的______就是它的“双等腰线”(3)如果一个顶角是锐角的等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是______．(4)已知△ABC中，∠C=33°，AD和DE分别是△ABC的“三等腰线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD=DC，BE=DE，请根据题意写出∠B度数的所有可能的值______．

专题7.4期末复习之解答压轴题十三大题型总结【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1两条直线相交问题】 1【题型2与一次函数有关的面积的计算】 9【题型3与一次函数图像有关的应用】 19【题型4与一次函数性质有关的应用】 25【题型5探究函数的图像及其性质】 30【题型6由三角形全等分类讨论求参数的值】 39【题型7利用全等三角形解决阅读理解类问题】 48【题型8勾股定理在格点中的运用】 58【题型9以弦图为背景的计算】 64【题型10利用勾股定理解决实际问题】 72【题型11等腰三角形中的证明与计算】 78【题型12数式或图形的规律探究】 90【题型13数式或图形中新定义问题】 95【题型1两条直线相交问题】【例1】（2023上·山西太原·八年级统考期末）综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数y=−43x+8的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，经过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB=OC．点D是线段CA上的一个动点，过点D作x轴的垂线交直线AB于点E，交直线BC于点F．设点D

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)当m=−3时，求△BEF的面积；(3)如图2，作点C关于直线DF的对称点G．请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择题．A．①当m=2时，点G的坐标为；②点D在线段CA上运动的过程中，当EF=13DG时，mB．①用含m的代数式表示点G的坐标为；②点D在线段CA上运动的过程中，当EF=12AG时，m【答案】(1)A(6,0)，B(0,8)，C(−8,0)(2)21(3)A：①(12,0)；②43或−1；B：①(2m+8,0)，②34【分析】（1）在y=−43x+8中，令x=0得y=8，令y=0得x=6，即得A(6,0)，B(0,8)，而OB=OC，C在x（2）设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点B(0,8)，C(−8,0)代入可得直线BC的解析式为y=x+8，当m=−3时，F(−3,5)，E(−3,12)，可得EF=7，即可得ΔBEF（3）选A、①由m=2，C(−8,0)，直接可得G(12,0)；②由C(−8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，E(m,−43m+8)，F(m,m+8)，故EF=|73m|，即有选B、①由C(−8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，即可得G(2m+8,0)，②由A(6,0)，得AG=|2m+2|，根据已知得|73m|=12【详解】（1）解：在y=−43x+8中，令x=0得y=8，令y=0∴A(6,0)，B(0,8)，∵OB=OC，C在x轴负半轴，∴C(−8,0)；（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点B(0,8)，C(−8,0)代入可得，b=8−8k+b=0解得k=1b=8∴直线BC的解析式为y=x+8，∵点D的横坐标m=−3，∴在y=x+8中令x=−3得y=5，即F(−3,5)，,m+8)，∴EF=|m+8−(−4∵EF=1【点晴】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质，用含m的代数式表示相关点坐标及相关线段．【变式1-1】（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+8交x轴于点A，交y轴于点B，且OB=2OA．

(1)求直线AB的解析式；(2)①若另一条直线y=ax+a+6与直线AB有唯一交点P，求点P的坐标；②直接写出a的取值范围．(3)若直线y=ax+a+6只与y轴的交点D在线段OB上（D不与O，B重合），试写出a取值范围．【答案】(1)y=2x+8；把A−4,0代入y=kx+8，得解得，k=2,∴直线AB的解析式为y=2x+8；（2）①联立方程组y=2x+8y=ax+a+6∴2x+8=ax+a+6,整理得，a−2x=2−a∵直线y=ax+a+6与直线AB有唯一交点，∴a−2≠0,解得x=−1，∴y=2×−1∴点P的坐标为：−1,6②由①知a−2≠0,∴a≠2；（3）对于y=ax+a+6，当x=0时，y=a+6,∵直线y=ax+a+6只与y轴的交点D在线段OB上（D不与O，B重合），∴0<a+6<8，解得，−6<a<2．【变式1-2】（2023下·河北承德·八年级统考期末）如图，已知直线l1与y轴相较于点A0,3，直线l2:y=−x−2交y轴于点B，交直线

(1)求直线l1(2)过动点Da,0作x轴的垂线，与直线l1相交于点M，与直线l2相交于点N，当MN=3(3)点Q为l2上一点，若S△APQ=【答案】(1)y=(2)a=−65(3)−2,0或−4,2【分析】（1）根据题意求得点P的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据题意推得Ma,23a+3，（3）设Qℎ,−ℎ−2，分当点Q在线段PB上和当点Q在射线BP上讨论，根据S【详解】（1）解：∵y=−x−2过点P∴m=1即点P设l1的解析式为∵过点A0,3，∴−3k+b=1b=3解得，k=2所以l1的解析式为y=（2）解：由题意可知，Ma,23因为MN=3，有两种情况：23解得：a=−6−a−2−2解得：a=−24（3）解：设Qℎ,−ℎ−2当点Q在线段PB上，∵S△APQ∴S△ABQ∴ℎ=2即Q−2,0当点Q在射线BP上，∵S∴S△ABQ∴ℎ=−4，即Q−4,2综上，点Q的坐标为−2,0或−4,2．【点睛】本题考查了求一次函数的函数值，求一次函数的解析式等，在（1）中求得P点坐标是解题的关键，注意函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式，在（2）中用含a的代数式表示出MN的长是解题的关键，在（3）中三角形面积的表示是关键．【变式1-3】（2023上·山西太原·八年级校考期末）如图，直线l1:y=14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点(1)直接写出点A、B、P的坐标；(2)求出直线l2(3)如图1，求ΔADP(4)如图2，点M是线段AP上任一点，过点M作y轴的平行线交直线l2于点N，设点M的横坐标为m①用m表示点M、N的坐标：M:，N:；②线段MN的长度用l表示，写出l与m的函数关系式；③ΔANP的面积用s表示，写出s与m【答案】(1)A(−4,0)，B(0,1)，P(2,(2)y=−x+(3)15(4)①(m,14m+1)，(m,−m+7【分析】（1）在直线l1:y=14x+1中，分别令y=0和x=0，x=2，可求得A（2）利用待定系数法得到直线l2（3）求出点D的坐标，根据SΔ（4）①根据直线l1:y=1②根据①得出的点M、N的坐标即可写出l与m的函数关系式；③根据SΔ【详解】（1）解：在直线l1令y=0可得x=−4，令x=0可得y=1，令x=2可得y=3∴A(−4,0)，B(0,1)，P(2,3（2）解：设直线l2的解析式为y=kx+b∴3.5k+b=02k+b=3∴直线l2的解析式为y=−x+（3）解：∵直线l2的解析式为y=−x+∴点D(0,7∴S（4）解：①∵点M是线段AP上任一点，过点M作y轴的平行线交直线l2于点N，设点M的横坐标为m则：M:(m,14m+1)故答案为：(m,14m+1)②线段MN的长度l=−m+7∴l与m的函数关系式为l=−5③SΔ∴s与m的函数关系式为s=−15【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，用点的坐标表示线段的长是解题的关键．【题型2与一次函数有关的面积的计算】【例2】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，已知点A10，0，点B0，8，过点B作x轴的平行线l，点

(1)如图1，求出△AOP的面积；(2)如图2，已知点C是直线y=85x上一点，若△APC是以AP【答案】(1)△AOP的面积为40(2)点C的坐标为10，16【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）当点C在直线l的上方时，证明△PEA≌△CFP(AAS)，得到AE=PF且PE=FC，即可求解；当点C在直线【详解】（1）∵点A10，0∴OA=10，过点P作PH⊥OA于H，

∵直线l∥x轴，点B在z轴上，∴PH=OB=8，∴S△AOP故答案为：40；（2）设点Pn,8n≠0，点C当点C在直线l的上方时，如图，

过点P作直线FE，交x轴于点E，交过点C与x轴的平行线于点F，、∵△APC为等腰直角三角形，则PA=PC，∠APC=90°，∴∠APE+∠FPC=90°，∠FPC+∠FCP=90°，∴∠APE=∠FCP，∵∠PEA=∠CFP=90°，PA=PC，∴△PEA≌△CFP(AAS∴AE=PF且PE=FC，则85m−8=10−n且解得：m=10n=2即点C的坐标为10,16（不合题意的值已舍去）；当点C在直线l的下方时，如图，过点A作AM⊥l于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，

同理可得：△AMP≌△ANC(AAS∴AM=AM且MP=NC，∴8=|10−m|或n−10=8解得：m=2n=565即点C的坐标为2,165或综上，点C的坐标为：10,16或2,16【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．【变式2-1】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A−5，2，B−1，2，直线y=kx−1与

(1)求△ABC的面积；(2)若点A和点B在直线y=kx−1的两侧，求k的取值范围；(3)若P点将线段AB分成1：3两部分，直接写出【答案】(1)6(2)−3<k<−(3)k=−32【分析】（1）延长线段AB交y轴于点D，则AB⊥y轴，求出AB,CD，利用三角形的面积公式求解即可；（2）先求出直线AC,BC的斜率，即可求出k的取值范围；（3）分两种情况：AP:PB=1:3或AP:PB=3:1求解.【详解】（1）解：∵A−5∴AB∥x轴，延长线段AB交y轴于点D，AB⊥y轴，∵CD=2−−1=3，∴S

（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，∴−5k+b=2b=−1∴直线AC的解析式为y=−设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0)，∴−m+n=2n=−1∴直线BC的解析式为y=−3x−1∵点A和点B在直线y=kx−1的两侧，∴−3<k<−3（3）解：当AP:PB=1:3，∵A−5∴点P的坐标为−4,2，将点P−4,2代入y=kx−1，得2=−4k−1解得，k=−3当AP:PB=3:1，∵A−5∴点P的坐标为−2,2，将点P−2,2代入y=kx−1，得2=−2k−1解得，k=−3综上所述，k=−32【点睛】此题考查了一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点问题，正确理解一次函数的性质是解题的关键．【变式2-2】（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）已知一次函数y=kx+b的图像直线l经过点0,1，−1,4，将此函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图像为直线l'(1)求直线l的函数表达式；(2)求直线l、直线l'及y(3)过y轴上一点P画x轴的平行线分别与直线l，l'交于两个不同的点M、N，若点P、M、N中有一点是另两点所成线段的中点，求点P【答案】(1)y=−3x+1(2)2(3)0,−5或0,−177【分析】（1）将点0,1，−1,4代入一次函数的解析式y=kx+b中，得到关于k，b的二元一次方程组，求解即可；（2）确定直线l与y轴的交点A0,1，确定直线l'与y轴的交点B0,−3，得到AB=4，再通过解联立方程组y=−3x+1y=x−3，得到两直线的交点C1,−2，得到点C（3）求得两条直线与直线y=a的交点横坐标，分四种情况讨论即可．【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图像直线l经过点0,1，−1,4，∴b=1−k+b=4解得：k=−3b=1∴直线l的函数表达式为y=−3x+1；（2）∵直线l的解析式为y=−3x+1，∴直线l'的解析式为y=x−3设直线l：y=−3x+1与y轴的交点为A，当x=0时，y=1，则A0,1设直线l'：y=x−3与y轴的交点为B当x=0时，y=−3，则B0,−3∴AB=1−−3设直线l与直线l'交于点C∴y=−3x+1y=x−3解得：x=1y=−2∴C1,−2∴点C到y轴的距离为1，∴S△ABC∴直线l、直线l'及y轴围成三角形的面积为2（3）设点的坐标为P0,a∴过点P与x轴平行的直线的解析式为y=a，把y=a代入y=−3x+1得，a=−3x+1，解得：x=1−a∴M1−a把y=a代入y=x−3得，a=x−3，解得：x=a+3，∴Na+3,a分四种情况：①如图所示，点P为NM的中点，则0−a+3解得：a=−5，∴点P的坐标为0,−5，②如图所示，点N为PM的中点，则a+3−0=解得：a=−17∴点P的坐标为0,−17③如图所示，点M为PN的中点，则1−a3解得：a=−7∴点P的坐标为0,−7④如图所示，点P为MN的中点，则0−1−a解得：a=−5（不符合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为0,−5或0,−177或【点睛】本题考查一次函数图像与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像与坐标轴相交的点的坐标，两直线相交问题，三角形的面积．分类讨论的应用是解题的关键．【变式2-3】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，过点C的直线y−x=6与坐标轴相交于A、B两点，已知点Cx,y是第二象限的点，设△AOC的面积为S

(1)写出S与x之间的函数关系，并写出x的取值范围；(2)当△AOC的面积为6时，求出点C的坐标；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点M，使得M与A、O、C中任意两点形成的三角形面积也为6，若存在，请直接写出点M的坐标．【答案】(1)S=3x+18(2)C(−4,2)(3)存在，M10,2，M2(0,−2)，M30,3，M4【分析】（1）先求出点A坐标，由S△AOC（2）将S=6代入函数解析式可求得点C(−4,2)；（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M．【详解】（1）解：点Cx，y在第二象限，则当y=0时，x=−6，则AO＝S△AOC==18+3x（−6<x<0)（2）由（1）可知S当18+3x=6则x=−4此时：y=6+x=2所以C(−4,2)（3）存在点M满足条件，I．当M点在y轴时，若S△MAO=6，即∴12∴OM=2，∴当点M在原点上方时，点M坐标为M1∴当点M在原点下方时，点M坐标为M2II．当M点在y轴时，若S△MOC=6，即∴12∴OM=3，∴当点M在原点上方时，点M坐标为M3∴当点M在原点下方时，点M坐标为M4III．当M点在y轴时，若S△MAC=6，即

12∴BM=6，∴当点M在点B上方时，点M坐标为M5∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；；IV．当M点在x轴时，若S△MOC=6，即∴12∴OM=6，∴当点M在原点右侧时，点M坐标为M6∴当点M在原点左侧时，点M坐标为−6,0，与点A重合，不合题意舍去；V．当M点在x轴时，若S△MAC=6，即∴12∴AM=6，∵点A坐标为(−6,0)，∴当点M在点A左侧时，点M坐标为M7∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去；综上所述：点M坐标为M10,2，M2(0,−2)，M30,3，M4【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想．【题型3与一次函数图像有关的应用】【例3】（2023下·安徽芜湖·八年级校考期末）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米）．图中的折线表示y与x之间的函数关系图像．求：

(1)甲、乙两地相距______千米；(2)求动车和普通列车的速度；(3)求C点坐标和直线CD解析式；(4)求普通列车行驶多少小时后，两车相距1000千米．【答案】(1)1800(2)动车的速度为300km/h；普通列车的速度(3)C6,900，(4)169h【分析】(1)根据图像，直接得到．(2)根据图像，慢车走完全程用时12小时，计算速度；根据4小时相遇，可确定动车的速度．(3)根据题意，动车达到目的地的时间为1800300=6h，根据图像，得到m=6，此时相遇后各自行驶2小时，此时y=2300+160=900km(4)分相遇前和相遇后两种情形计算．【详解】（1）根据图像，得到当x=0h时，y=1800两地距离为1800km故答案为：1800．（2）根据图像，慢车走完全程用时12小时，∴普通列车的速度为180012根据4小时相遇，得4160解得v动（3）根据题意，动车达到目的地的时间为1800300根据图像，得到m=6，此时相遇后各自行驶2小时，此时y=2300+160故C6,900设CD的解析式为y=kx+b，∵D12,1800∴6k+b=90012k+b=1800解得k=160b=0故CD的解析式为y=160x6≤x≤12（4）设经过x小时，辆车相距1000千米，当相遇前，辆车相距1000千米时，根据题意，得160x+300x=1800−1000，解得x=16当相遇后，辆车相距1000千米时，动车到达目的地，普通车自己行驶x小时，根据题意，得2160+300解得x=2故行驶总时间为6+2故经过169h或【点睛】本题考查了图像信息的读取，待定系数法求解析式，交点的意义，熟练掌握交点的意义，待定系数法，读取图像信息是解题的关键．【变式3-1】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港停止．设甲、乙两船行驶xh后，与B港的距离分别为y1、y2km，y1

(1)B、C两港口间的距离为______km，a=______；(2)甲船出发几小时追上乙船？(3)在整个过程中，什么时候甲乙两船相距10km【答案】(1)90，2(2)甲船出发1小时追上乙船(3)当经过23h或43h【分析】（1）根据图象可得，甲船用0.5h从A港口到达B港口，A港口和B港口距离30km，即可求出甲船的速度，根据图象得出B港口和C港口距离为90km（2）先求出乙船的速度，根据甲船追上乙船时，两船与B港口距离相等，列出方程求解即可；（3）根据投影进行分类讨论：①当甲船还未追上乙船时；②当甲船追上乙船后，当未到达C港口时；③当甲船到达C港口，乙船还未到达C港口时，分别列出方程求解即可．【详解】（1）解：由图可知：B、C两港口间的距离为90km，甲船用0.5h从A港口到达B港口，A港口和B港口距离∴甲船的速度为：300.5∴甲船从B港口到C港口时间为：9060∴a=1.5+0.5=2，故答案为：90，2；（2）解：由图可知，乙船用3h从B港口到达C∴乙船的速度为：90360x−30=30x，解得：x=1．答：甲船出发1小时追上乙船；（3）解：①当甲船还未追上乙船时，30x−60x−30解得：x=2②当甲船追上乙船后，当未到达C港口时：60x−30−30x=10解得：x=4③当甲船到达C港口，乙船还未到达C港口时：90−30x=10，解得：x=8综上：当经过23h或43h或【点睛】此题主要考查了从函数图象获取信息，以及一元一次方程的应用，利用数形结合得出关键数据，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键．【变式3-2】（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中EF−FM−MN为折线段．请结合图像回答下列问题：

(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；(2)在4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．①图2中m的值为___________．②请求出在6≤t≤9时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．【答案】(1)60(2)①120，②7或39【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了460米，据此可求得乙机器人行走的速度；（2）①先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，根据速度、时间、路程的关系式求解即可；②分情况讨论，一种是甲乙都在运动，第二种状态是甲先到，静止下来，乙在跑，以甲停止运动那一刻为分界点．【详解】（1）解：根据图形知乙机器人9分钟走完了460米，∴乙机器人行走的速度为460÷9=60(米/分)；故答案为：60．（2）①设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，依题意得：3x=60×3+90，解得x=80，甲机器人行走的总路程为：460+90=540(米)，甲机器人前4分钟的速度为80米/分，甲行走路程：80×4=320(米)，4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，甲行走路程：60×2=100(米)，∴m=540−320−100=120故答案为：120．②∵6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，∴6分钟后甲机器人的速度是80米/分，当t=6时，甲乙两机器人的距离为：80×4+60×6−4当甲到达终点C时，t=7.5（分），乙到达终点C时，t=9（分）当6≤t≤9时，y当6≤t≤7.5时，y当7.5<t≤9时，y−60t+460−−80t+600−60t+460−0=60，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间的值为7或39【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程中追击问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【变式3-3】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．

(1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm；(2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同：(3)若乙容器底面积为900mm【答案】(1)20，140(2)注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同(3)21000【分析】（1）借助图像可知折线A−B−C是乙容器睡得高度随时间的变化图象，分析图象可以得到答案；（2）分别求出线段AB、DE的解析式，然后联立解方程组即可解题；（3）先求出铁块的底面积，然后计算出铁块的体积即可解题．【详解】（1）解：由图像可知，折线A−B−C是乙容器睡得高度随时间的变化图象，即可以得到原有水的高度是20mm，铁块的高度是140故答案为：20，140．（2）设线段AB的解析式为：y=kx+b，将点0,20和4,140代入得，b=204k+b=140解得，∴y=30x+20设线段DE的解析式为：y=mx+n，将点0,120和6,0代入得，n=1206m+n=0，解得，∴y=−20x+120，令30x+20=−20x+120，解得x=2，∴注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同．（3）解：由图象知：当水槽中没过铁块时4分钟水面上升了120mm，即1分钟上升30mm，当水面没有没过铁块时，2分钟上升了60mm，即1分钟上升25mm．设铁块的底面积为a m∵匀速注水，∴1分钟非水量是相等的．乙水槽中放入铁块时，1分钟注水的体积为：30×不放铁块时，1分钟注水的体积为：25×900m∴30×900−a=25×900，解得∴铁块的体积为：160×140=21000m【点睛】本题考查一次函数的实际问题，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．【题型4与一次函数性质有关的应用】【例4】（2023下·山东泰安·八年级统考期末）为使活动更具有意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元．(1)求甲、乙两种品牌文化衫的单价；(2)根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】(1)甲品牌文化衫的单价为40元，乙品牌文化衫的单价为35元(2)购买760件甲品牌文化衫，260件乙品牌文化衫；理由见解析【分析】（1）设甲品牌文化衫的单价为x元，乙品牌文化衫的单价为y元，根据“购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元”列方程组求解即可；（2）设购买m件甲品牌文化衫，根据“甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍”列不等式求出m的取值范围，设购买这1000件文化衫所需总费用为w元，列出w与m的关系式，根据w随m的变化关系求出最佳方案即可．【详解】（1）设甲品牌文化衫的单价为x元，乙品牌文化衫的单价为y元，依题意得：3x+2y=1905x+y=235解得：x=40y=35答：甲品牌文化衫的单价为40元，乙品牌文化衫的单价为35元．（2）最省钱的购买方案为：购买760件甲品牌文化衫，260件乙品牌文化衫，理由如下：设购买m件甲品牌文化衫，则购买1000−m件乙品牌文化衫，依题意得：m≥31000−m解得：m≥760．设购买这1000件文化衫所需总费用为w元，则w=40m+351000−m∵5>0，∴w隨m的增大而增大，∴当m=760时，w取得最小值，此时1000−m=260，∴最省钱的购买方案为：购买760件甲品牌文化衫，260件乙品牌文化衫．【点睛】本题考查了购买问题，方案设计问题．解题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，运用题设等量关系和不等关系列出二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数解析式，根据函数值增减性设计最佳方案．【变式4-1】（2023下·河北邢台·八年级统考期末）学校计划组织八年级的同学参观大学城，已知八年级共有480名同学，计划租用9辆客车，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表：租金/（元/辆）载客量/（座/辆）甲种客车170045乙种客车200060(1)若恰好一次性将480名学生送往大学城且客车全部坐满，则应租用甲、乙两种客车各多少辆？(2)设租用甲种客车x辆，租用甲、乙两种型号的客车总费用y元．①求y与x的函数关系式．②在保证所有同学均能被送达大学城的情况下，怎样租车费用最低？最低费用是多少元？【答案】(1)租用甲种客车4辆，乙种客车5辆(2)应租用4辆甲种客车，5辆乙种客车，最低租车费用16800元【分析】（1）设租用甲种客车a辆，乙种客车b辆．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）①设租用甲种客车x辆，应租乙种客车9−x辆．然后根据题意列出y与x的函数关系式即可；②由①所得解析式的增减性再结合x的取值范围求解即可.【详解】（1）解：设租用甲种客车a辆，乙种客车b辆．由题可得a+b=945a+60b=480，解得a=4答：租用甲种客车4辆，乙种客车5辆．（2）解：①设租用甲种客车x辆，由题可知，应租乙种客车9−x辆．可得y=1700x+20009−x②由①知y=−300x+18000，∵−300<0，∴y随x的增大而减小．依题意可得x≥045x+60解得0≤x≤4，∴当x=4时，y有最小值，最小值为16800．答：应租用4辆甲种客车，5辆乙种客车，最低租车费用16800元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、不等式的应用等知识点，根据题意确定x的取值范围是解答本题的关键．【变式4-2】（2023下·湖北荆门·八年级统考期末）为了落实“乡村振兴”政策，A,B两城决定向C,D两乡运送水泥建设美丽乡村，已知A,B两城分别有水泥200吨和300吨，从A城往C,D两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C,D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C乡需要水泥240吨，D乡需要水泥260吨．(1)设从A城运往C乡的水泥x吨．设总运费为y元，写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．(2)为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<7)元，这时A城运往C乡的水泥多少吨时总运费最少？【答案】(1)y=4x+100400≤x≤200(2)A城运往C乡200吨，总运费最少．【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值；（2）先列出A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<7)元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值．【详解】（1）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡200−x，从B城运往C乡肥料240−x吨，则运往D乡60+x吨，设总运费为y元，根据题意，则：y=20x+25200−x=4x+100400≤x≤200∵k=4>0,y随x的增大而增大，∴当x=0时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．答：y与x的函数关系式为y=4x+100400≤x≤200最少总运费为10040元；（2）设减少运费后，总运费为w元，则：w==∵0<a<7，∴分以下三种情况进行讨论：①当0<a<4时，4−a>0，此时w随x的增大而增大，∴当x=0时，w最小②当a=4时，w=10040，∴不管怎样调运，费用一样多，均为10040元；③当4<a<7时，4−a<0，此时w随x的增大而减小，∴当x=200时，w最小∴综上可得：当0<a<4时，A城运往C乡0吨，总运费最少；当a=4时，无论从A城运往C乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元；当4<a<7时，A城运往C乡200吨，总运费最少．【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键．【变式4-3】（2023下·福建厦门·八年级统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过160套，他们的进价和售价如下表：商品进价售价乒乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．(1)求出a，b的值；(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（0<n<10），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？【答案】(1)a的值为35，b的值为40(2)①y与x的函数关系式为y=−2x+3600，x的取值范围为：100≤x≤160；②当0<n<2时，乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当2<n<10时，乒乓球拍购进160套，羽毛球拍购进160套能获利最大；当n=2时，无论购多少套，只要满足100≤x≤160，利润都是3600．【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可；（2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过160套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围；②根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．【详解】（1）根据题意：2a+b=1104a+3b=260解得a=35b=40答：a的值为35，b的值为40；（2）①由题意得：y=(45−35)x+(52−40)(300−x)=−2x+3600，∵购进乒乓球拍的套数不超过160套，∴x≤160，∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，∴x≥1解得：x≥100，则x的取值范围为：100≤x≤16