高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)3.1.3函数的奇偶性(第一课时)(原卷版+解析)

3.1.3函数的奇偶性（第一课时）一、单选题1．下列命题正确的是（

）A．奇函数的图象关于原点对称，且B．偶函数的图象关于y轴对称，且C．存在既是奇函数又是偶函数的函数D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称2．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B． C． D．3．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．4．已知在上是偶函数，且满足，当时，，则（

）A． B． C． D．5．已知是定义在上的函数，则“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．7．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值是（

）A．2 B． C．0 D．二、多选题9．已知函数是R上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．C．是增函数 D．10．已知是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（

）A． B．C． D．三、填空题11．函数f（x）＝x3－x的图象关于________对称.12．若函数是定义在上的偶函数，则_____．13．已知函数f(x)满足，且对于都有，请写出满足上述条件的一个函数解析式为_________________________（答案不唯一)14．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．四、解答题15．已知函数．(1)当时，判断函数的奇偶性；(2)当时，判断函数在上的单调性，并证明．16．已知函数．(1)证明函数为奇函数；(2)若，求函数的最大值和最小值．3.1.3函数的奇偶性（第一课时）一、单选题1．下列命题正确的是（

）A．奇函数的图象关于原点对称，且B．偶函数的图象关于y轴对称，且C．存在既是奇函数又是偶函数的函数D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称【答案】C【分析】根据奇偶性的定义判断．【详解】奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x=0时有意义，比如，A错误；偶函数的图象关于y轴对称，但不一定等于0，如，B错误；函数y=0既是奇函数又是偶函数，C正确；奇､偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误.故选：C.2．下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】对于A，为奇函数，所以A不符合题意；对于B，为偶函数，在上单调递减，所以B不符合题意；对于C，既是偶函数，又在上单调递增，所以C符合题意；对于D，为奇函数，所以D不符合题意．故选：C．3．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性以及值域即可解出．【详解】因为的定义域为，且，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C；又当时，，当且仅当时取等号，所以排除B，D．故选：A．4．已知在上是偶函数，且满足，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数的周期性和奇偶性得到，由此能求出结果．【详解】解：在R上是偶函数，且满足，当时，，则．故选：A．5．已知是定义在上的函数，则“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据偶函数的定义，从是定义在上的偶函数出发去推导的奇偶性，然后再进行反向推理即可.【详解】由都是R上的偶函数，得，设，，为偶函数，即“都是R上的偶函数时，则必为偶函数”，反之，“若为偶函数，则不一定能推出都是R上的偶函数”，例如：取，则是R上的偶函数，而都不具备奇偶性，故“是R上的偶函数”是“都是R上的偶函数”的必要不充分条件.故选：B．6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定的函数，逐一计算各个选项中的函数，并分别判断作答.【详解】函数，对于A，，其图象关于原点对称，是奇函数，A是；对于B，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，B不是；对于C，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，C不是；对于D，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，D不是.故选：A7．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】法一：不妨设，解即可得出答案.法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.【详解】［法一］：特殊函数法由题意，不妨设，因为，所以，化简得．故选：D.［法二］：【最优解】（特殊值法）假设可取，则有，又因为，所以与矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故选：D.［法三］：（直接法）根据题意，为奇函数，若，则，因为在单调递减，且，所以，即有：，解可得：.故选：D.【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．8．已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值是（

）A．2 B． C．0 D．【答案】A【分析】先由可得的周期为6，再结合为奇函数，可得的对称轴，然后对化简计算即可.【详解】解：因为函数是上的奇函数，所以，由得，，所以所以函数为周期函数，周期为6，所以，，由函数为奇函数，得，得函数图象关于对称，即，所以．故选：A二、多选题9．已知函数是R上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．C．是增函数 D．【答案】ACD【解析】由是R上的奇函数，则可算出，代入可算得根据的对称性可得出单调性，根据可求得【详解】A.项

是R上的奇函数，故得，故A对对于B项，，故B错对于C项，当时，在上为增函数，利用奇函数的对称性可知，在上为增函数，故是上的增函数，故C对，故D对故选：ACD【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．10．已知是定义在R上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用函数奇偶性的定义逐一判断即可.【详解】解：因为是定义在R上的偶函数，所以，对于A，因为，所以为偶函数，故满足题意；对于B，因为，所以为奇函数，故不满足题意；对于C，易得为偶函数，故满足题意；对于D，因为，所以不为偶函数，故不满足题意；故选：AC三、填空题11．函数f（x）＝x3－x的图象关于________对称.【答案】原点【分析】根据奇函数定义判断可得.【详解】已知函数的定义域为R，由f（－x）＝（－x）3－（－x）＝－x3＋x＝－f（x），知f（x）是奇函数，则其图象关于原点对称．故答案为：原点.12．若函数是定义在上的偶函数，则_____．【答案】##0.5【分析】根据函数为偶函数，得到等量关系，求出，，进而求出答案.【详解】由题意得：，解得：，又因为为偶函数，所以，即，解得：，所以.故答案为：13．已知函数f(x)满足，且对于都有，请写出满足上述条件的一个函数解析式为_________________________（答案不唯一)【答案】【分析】根据函数的对称性和单调性即可求解.【详解】由可得的对称轴为，由对于都有，可知：在单调递增，故，故答案为：14．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________．【答案】【分析】首先当时，可知，结合已知条件求出，然后利用函数奇偶性求的解析式即可.【详解】解：当时，则，因为当时，，且是定义在上的奇函数，所以，即，故时，的解析式为.故答案为：.四、解答题15．已知函数．(1)当时，判断函数的奇偶性；(2)当时，判断函数在上的单调性，并证明．【答案】(1)奇函数(2)在上是单调递减函数；证明见解析【分析】(1)利用奇函数的定义判断即可；（2）利用函数的单调性的定义即可判断与证明.（1）当时，，定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数．（2）当时，，证明：取，，所以，，则，即，所以在上是单调递减函数．16．已知函数．(1)证明函