北师大版八年级数学上册专题5.3三元一次方程组【八大题型】同步练习(学生版+解析)

专题5.3三元一次方程组【八大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三元一次方程（组）的解】 1【题型2用消元法解三元一次方程组】 2【题型3用换元法解三元一次方程组】 2【题型4用整体思想解三元一次方程组】 3【题型5构造三元一次方程组求解】 4【题型6三元一次方程组的阅读理解类问题】 4【题型7三元一次方程组中的数字问题】 5【题型8三元一次方程组的应用】 6【知识点三元一次方程组及解法】1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．【题型1三元一次方程（组）的解】【例1】（2023·陕西·八年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（

）A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个【变式1-1】（2023下·八年级课时练习）三元一次方程x+y+z=5的正整数解有（

）A．2组 B．4组 C．6组 D．8组【变式1-2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）已知方程组3x−y=52x+y−z=04ax+5by−z=−22与方程组ax−by+z=8x+y+5z=c2x+3y=−4有相同的解，则a、A．a=−2b=−3c=1 B．a=−2b=3c=1 C．【变式1-3】（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则A．3 B．2 C．1 D．0【题型2用消元法解三元一次方程组】【例2】（2023下·重庆綦江·八年级校联考期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，3x+2y+z=39①2x+3y+z=34②方程①：32139第一步方程②：23134→693102⋯⋯→051a第二步方程③：12326→M⋯⋯→0b839其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：369618（2）a＝24（3）b＝A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）【变式2-1】（2023下·全国·八年级专题练习）有理数x、y、z满足x−y+2z=1x+y+4z=3，则x+2y+5zA．−4 B．3 C．4 D．值不能确定【变式2-2】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）解方程组a+b+c=63a−b+c=4【变式2-3】（2023·浙江·模拟预测）实数x,y,z满足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．则x+3y2017x+2017y+2017z=【题型3用换元法解三元一次方程组】【例3】（2023上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）已知x，y，z满足x+43=y+32=z+8【变式3-1】（2023下·八年级课时练习）若x+y+z≠0且2y+zx=2x+yz=A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（2023下·上海杨浦·八年级校考期末）解方程组：x−43【变式3-3】（2023下·内蒙古乌海·八年级校考期中）探索创新完成下面的探索过程：给定方程组1x+1y=11y+1z=21z解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x=______；y=______；z=______．【题型4用整体思想解三元一次方程组】【例4】（2023上·山东济南·八年级统考期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．例：已知3x+2y+z=4①7x+5y+3z=10②，求x+y+z解：①×2得：6x+4y+2z=8③②−③得：x+y+z=2∴x+y+z的值为2．(1)已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？【变式4-1】（2023下·福建福州·八年级校考期末）若2x+3y+4z=10且y+2z=2，则x+y+z的值是．【变式4-2】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题．已知方程组3x+7y+z=204x+10y+z=27，求x＋y＋z解：将原方程组整理，得2x+3y②－①，得x＋3y＝7，③把③代入①，得x＋y＋z＝6.仿照上述解法，解决下面问题．已知方程组6x+4y=22−x−6y+4z=−1则x＋2y－z的值为【变式4-3】（1）已知二元一次方程组3x+2y=72x+3y=3则x−y=______，x+y=（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算∶x∗y=ax+b+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=16，2∗3=12，那么5∗9=______．【题型5构造三元一次方程组求解】【例5】（2023下·福建福州·八年级统考期末）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有2+3=5，在图2中，若k的值为8，则x的值为（

）

A．115 B．−1 C．1 【变式5-1】（2023下·上海闵行·八年级校考期中）已知x、y、z满足x−2−z+3x−3y−82【变式5-2】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级统考期中）已知y=ax2+bx+c，当x=−2时，y=9；当x=0时，y=3；当x=2时，y=5，求a、b【变式5-3】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期中）对于三个有理数a、b、c，用avea,b,c表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中的最小的数，若ave4a+3b2【题型6三元一次方程组的阅读理解类问题】【例6】（2023下·云南德宏·八年级统考期末）阅读材料：我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1根据以上信息解决下列问题：(1)请求出矩阵41(2)若矩阵a−2371b【变式6-1】（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组4x+10y=6    解：将方程②变形为8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则y=−1；把y=−1代入①得，x试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：（1）试求方程组的解2x−3y=7（2）已知x､y､z，满足3x−2z+12y=52x+z+8y=8，求z【变式6-2】（2023下·浙江·八年级期末）对于实数x，y定义新运算x⋅y=ax+by+cxy其中a，b，c为常数，若1⋅2=3,2⋅3=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有x⋅d=x，则d的值是．【变式6-3】（2023下·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：x=1y=8就是方程3x+y＝11的一组“好解”；x=1y=2z=3(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；(2)关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27【题型7三元一次方程组中的数字问题】【例7】（2023下·八年级单元测试）幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”“河图”“洛书”等．图1所示的是一个三阶幻方，在3×3的方阵图中，填写了一些数或代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等，我们称这种幻方为“数字连续型三阶幻方”．(1)求x，y的值；(2)在图2中完成此方阵．【变式7-1】（2023·福建南平·统考二模）《孙子算经》上有一著名问题就是“物不知数问题”．原文是这么说的：“有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问物几何？”把这个问题翻译为：一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求这个数？请你写出符合条件的一个数是．【变式7-2】（2023上·全国·八年级校考期末）一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么原来的三位数是（

）A．215 B．216 C．217 D．218【变式7-3】（2023下·重庆綦江·八年级统考期末）对于一个三位数n,如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7,那么称这个数n为“幸福数”．例如：n1=935,∵9+3−5=7,∴935是“幸福数”；n2=701,（1）判断845,734是否为“幸福数”？并说明理由；（2）若将一个“幸福数”m的个位数的2倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位数变成百位数,得到一个新的三位数t（例如：若m=654,则t=586）,若t也是一个“幸福数”,求满足条件的所有m的值．【题型8三元一次方程组的应用】【例8】（2023下·浙江宁波·八年级校联考期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）．(1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？甲乙丙每辆汽车能装的吨数212.5每吨蔬菜可获利润（百元）574(2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润．专题5.3三元一次方程组【八大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三元一次方程（组）的解】 1【题型2用消元法解三元一次方程组】 3【题型3用换元法解三元一次方程组】 6【题型4用整体思想解三元一次方程组】 8【题型5构造三元一次方程组求解】 11【题型6三元一次方程组的阅读理解类问题】 14【题型7三元一次方程组中的数字问题】 17【题型8三元一次方程组的应用】 21【知识点三元一次方程组及解法】1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．【题型1三元一次方程（组）的解】【例1】（2023·陕西·八年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（

）A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个【答案】A【分析】先设x＝0，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答案．【详解】当x＝0时，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；当x＝2时，y+z＝1997，有1998个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解；∴非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1＝2001×2000【点睛】本题考查了二元一次方程、三元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、三元一次方程、有理数运算的性质，从而完成求解【变式1-1】（2023下·八年级课时练习）三元一次方程x+y+z=5的正整数解有（

）A．2组 B．4组 C．6组 D．8组【答案】A【分析】最小的正整数是1，当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1；依此类推，然后把个数加起来即可．【详解】解：当x=1时，y+z=4，y分别取1，2,，3，此时z分别对应3，2，1，有3组正整数解；当x=2时，y+z=3，y分别取1，2，此时z分别对应2，1，有2组正整数解；当x=3时，y+z=2，y分别取1，此时z分别对应1，有1组正整数解；所以正整数解的组数共：3+2+1=6（组）．【点睛】本题考查三元一次不定方程的解，解题关键是确定x、y、z的值，分类讨论【变式1-2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）已知方程组3x−y=52x+y−z=04ax+5by−z=−22与方程组ax−by+z=8x+y+5z=c2x+3y=−4有相同的解，则a、A．a=−2b=−3c=1 B．a=−2b=3c=1 C．【答案】D【分析】将两方程组中不含a，b，c项的方程联立，求出x，y，z的值，代入两方程组中的含a，b，c项的方程中得到关于a，b，c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值．【详解】解方程组3x−y=52x+y−z=0解得x=1y=−2代入可得方程组4a−10b=−22a+2b=8解得a=2b=3故选D．【点睛】此题考查了三元一次方程组的解，解三元一次方程组的方法是进行消元，化为二元一次方程组，再进行求解，三元一次方程组的解必须同时满足方程组中的三个方程．【变式1-3】（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】把x=1y=2【详解】解：根据题意，把x=1y=2z=3代入方程组，得由①+②+③，得4a+4b+4c=12，∴a+b+c=3；故选：A【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算【题型2用消元法解三元一次方程组】【例2】（2023下·重庆綦江·八年级校联考期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，3x+2y+z=39①2x+3y+z=34②方程①：32139第一步方程②：23134→693102⋯⋯→051a第二步方程③：12326→M⋯⋯→0b839其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：369618（2）a＝24（3）b＝A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）【答案】B【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可.【详解】解：3x+2y+z=39由②×3，得6x+9y+3z=102④由④−①，得3x+7y+2z=63由⑤−①，得∴a=24，由③×3，得3x+6y+9z=78⑥由⑥−①，得∴b=4，【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的系数表示出来．【变式2-1】（2023下·全国·八年级专题练习）有理数x、y、z满足x−y+2z=1x+y+4z=3，则x+2y+5zA．−4 B．3 C．4 D．值不能确定【答案】A【分析】把方程看着关于x、y的方程，用z表示x、y．然后代入x+2y+5z即可求值．【详解】解：x−y+2z=1①①+②得：2x+6z=4，x=2−3z，②−①得：2y+2z=2，y=1−z，把x=2−3z，y=1−z代入得：x+2y+5z=2−3z+21−z故本题选：C．【点睛】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．【变式2-2】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）解方程组a+b+c=63a−b+c=4【答案】a=2【分析】运用加减消元法得到一个关于a、b的二元一次方程组，求解可得a、b，然后将a、b代入求解即可．【详解】解：a+b+c=6①-②得：2b-2a＝2，即b-a＝1，①+③得：3a+4b＝18，解b−a=13a+4b=18可得把a＝2，b＝3代入方程①得：2+3+c＝6，解得：c＝1．则方程组的解是：a=2b=3【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法成为解答本题的的关键．【变式2-3】（2023·浙江·模拟预测）实数x,y,z满足3x+7y+z=1,4x+10y+z=2018．则x+3y2017x+2017y+2017z=【答案】−【分析】由②−①得：x+3y=2017，x=2017−3y，由②×3−①×4【详解】解：3x+7y+z=1①由②−①得：∴x=2017−3y，由②×3−①×4∴z=2y−6050，∴x+y+z=2017−3y+y+2y−6050=−4033，∴x+3y2017x+2017y+2017z故答案为：−【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到x=2017−3y，z=2y−6050是解题的关键．【题型3用换元法解三元一次方程组】【例3】（2023上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）已知x，y，z满足x+43=y+32=z+8【答案】14【分析】设x+43=y+32=z+84=t，则整理得出【详解】解：设x+4则x=3t-4，y代入x-2y解得：t=6x=3故答案为：14．【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，设出参数，利用参数表示其它未知数，是解题的关键．【变式3-1】（2023下·八年级课时练习）若x+y+z≠0且2y+zx=2x+yz=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用已知得出2y＋z＝kx①，2x＋y＝kz②，2z＋x＝ky③，进而求出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），再利用提取公因式法分解因式进而求出即可．【详解】：解：∵2y+zx∴2y+z＝kx①2x+y＝kz②∴①＋②＋③得：3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），3（x＋y＋z）−k（x＋y＋z）＝0，3（x＋y＋z）（3−k）＝0，因为x＋y＋z不等于0，所以3−k＝0，即k＝3．【点睛】此题主要考查了三元一次方程组、比例的性质，正确将已知变形得出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z）是解题关键．【变式3-2】（2023下·上海杨浦·八年级校考期末）解方程组：x−43【答案】x=13【分析】设x−43=y+14=z+25=k，分别用【详解】x−43由①设x−43∴x=3k+4，y=4k−1，z=5k−2，代入②得：3k+4−24k−1∴3k+4−8k+2+15k−6=30

∴10k=30，∴k＝3，∴x＝13，y＝11，z＝13，∴方程组的解为x=13y=11【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握设参数法求解是解题的关键．【变式3-3】（2023下·内蒙古乌海·八年级校考期中）探索创新完成下面的探索过程：给定方程组1x+1y=11y+1z=21z解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x=______；y=______；z=______．【答案】A+B=1B+C=2C+A=5；解方程组过程见解析；12；【分析】根据换元法可以将原方程组化为A+B=1①B+C=2②C+A=5③，①+②+③得出A+B+C=4然后分别求出A【详解】解：令1x=A，1y=B，1z=C，则方程组1①+②+③得A+B+C=4④④−①得：④−②得：④−③得：∴1x解得：x=1【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出A+B+C=4，是解题的关键．【题型4用整体思想解三元一次方程组】【例4】（2023上·山东济南·八年级统考期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．例：已知3x+2y+z=4①7x+5y+3z=10②，求x+y+z解：①×2得：6x+4y+2z=8③②−③得：x+y+z=2∴x+y+z的值为2．(1)已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元．通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱？【答案】(1)18(2)节省了244元【分析】（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，求出按照原价80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔花费总数，即可求出节省的钱数．【详解】（1）解：（1）x+2y+3z=10①①+②得：6x+8y+10z=36，则3x+4y+5z=18；（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意得：40x+20y+4z=488，∴80x+40y+8z=488×2=976，976−732=244（元），则比原价购买节省了244元．【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．【变式4-1】（2023下·福建福州·八年级校考期末）若2x+3y+4z=10且y+2z=2，则x+y+z的值是．【答案】4【分析】已知两式相减就将系数都化为2，两边除以2即可得出结果．【详解】解：2x+3y+4z=10①−②∴x+y+z=4故答案为：4．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将系数化为相同，便于整体计算．【变式4-2】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题．已知方程组3x+7y+z=204x+10y+z=27，求x＋y＋z解：将原方程组整理，得2x+3y②－①，得x＋3y＝7，③把③代入①，得x＋y＋z＝6.仿照上述解法，解决下面问题．已知方程组6x+4y=22−x−6y+4z=−1则x＋2y－z的值为【答案】3【分析】把2x+z看成一个整体，类比题干解法即可求出答案．【详解】将原方程整理得2(x+2y−z)+2(2x+z)＝22①−3(x+2y−z)+(2x+z)＝−1②②×2得-6（x+2y-z）+2（2x+z）=-2③，①-③得8（x+2y-z）=24，解得x+2y-z=3．【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题的关键是利用整体法解方程组，此题难度不大．【变式4-3】（1）已知二元一次方程组3x+2y=72x+3y=3则x−y=______，x+y=（2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算∶x∗y=ax+b+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=16，2∗3=12，那么5∗9=______．【答案】（1）4，2；（2）21元；（3）24【分析】（1）让两个式子相加即可求出x+y，然后让两个式子相减即可求出x−y；（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意列出方程组求解即可；（3）首先根据已知建立一个关于a，b，c的方程组，通过对方程变形即可得出答案．【详解】（1）3x+2y=7①①-②得x−y=4①+②得5x∴x+（2）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据题意得13x+5y+2z=31①①×2−②得：x+y+z=7，∴3x+3y+3z=21，答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元．（3）∵3∗5=16，2∗3=12，x∗y=ax+b+c∴①-②得a+2b=4，②×3-①×2得c−b=4，∴c=b+4，∴5∗9=5a+9b+c=5a+10b+4=5a+2b【点睛】本题主要考查解方程组及整体代入法，掌握解方程组的方法是关键．【题型5构造三元一次方程组求解】【例5】（2023下·福建福州·八年级统考期末）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有2+3=5，在图2中，若k的值为8，则x的值为（

）

A．115 B．−1 C．1 【答案】A【分析】根据新定义可得m+n=8x+2x+y=m【详解】解：由题意得m+n=8x+2x+y=m整理得：m+n=8②+③得：5x+3=m+n，将①代入上式得：5x+3=8，解得：x=1，【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键．【变式5-1】（2023下·上海闵行·八年级校考期中）已知x、y、z满足x−2−z+3x−3y−82【答案】x=3【分析】根据绝对值和平方的非负性，列出方程组即可解答．【详解】解：由题意得：x−2−z=0解得：x=3【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，解三元一次方程组，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负性分别为0；以及解三元一次方程组的方法和步骤．【变式5-2】（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级统考期中）已知y=ax2+bx+c，当x=−2时，y=9；当x=0时，y=3；当x=2时，y=5，求a、b【答案】a=1【分析】根据已知条件建立三元一次方程组，解方程组即可求解．【详解】解：当x=−2时，y=9；∴9=4a−2b+c，当x=0时，y=3，∴3=c，当x=2时，y=5，∴5=4a+2b+c，∴4a−2b+c=94a+2b+c=5解得：a=1【点睛】本题考查了解三元一次方程，熟练掌握三元一次方程的解法是解题的关键．【变式5-3】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期中）对于三个有理数a、b、c，用avea,b,c表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中的最小的数，若ave4a+3b2【答案】27:10:81【分析】根据三个数的平均值等于三个数的最小值，说明这三个数相等，得出4a+3b2=9b+4c66c+5a9=9b+4c6，然后将b看作已知数，将a【详解】解：∵ave4a+3b∴4a+3b2解得：a=27∴a:b:c=27故答案为：27:10:81．【点睛】本题主要考查了平均数的特点，解题的关键根据三个数的平均值等于三个数的最小值得出三个数相等．【题型6三元一次方程组的阅读理解类问题】【例6】（2023下·云南德宏·八年级统考期末）阅读材料：我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1根据以上信息解决下列问题：(1)请求出矩阵41(2)若矩阵a−2371b【答案】(1)x=(2)13【分析】（1）由题意得：矩阵4153（2）由矩阵a−2371b452−1【详解】（1）解：由题意得：矩阵4153解得，x=13∴矩阵4153（2）解：∵矩阵a−237∴将x=1y=1z=1代入ax−2y+3z=7x+by+4z=5①+②+【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算．【变式6-1】（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组4x+10y=6    解：将方程②变形为8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则y=−1；把y=−1代入①得，x试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：（1）试求方程组的解2x−3y=7（2）已知x､y､z，满足3x−2z+12y=52x+z+8y=8，求z【答案】（1）x=−1y=−3；（2）z【分析】（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可．【详解】解：（1）2x−3y=7①6x−5y=9②由②得32x−3y把方程①代入③得，3×7+4y=9，解得：y=-3，代入①得，x=-1，所以方程组的解为：x=−1y=−3（2）3x−2z+12y=5①2x+z+8y=8②由①得3x+4y由②得2x+4y③×2-④×3得z=2．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．【变式6-2】（2023下·浙江·八年级期末）对于实数x，y定义新运算x⋅y=ax+by+cxy其中a，b，c为常数，若1⋅2=3,2⋅3=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有x⋅d=x，则d的值是．【答案】4【分析】由新定义的运算x⋅y=ax+by+cxy，及1⋅2=3，2⋅3=4，构造方程组，不难得到参数a，b，c之间的关系．又由有一个非零实数d，使得对于任意实数x，都有x⋅d=x，可以得到一个关于d的方程，解方程即可求出满足条件的d的值．【详解】解：∵x⋅y=ax+by+cxy，由1⋅2=3，2⋅3=4，即a+2b+2c=32a+3b+6c=4∴b=2+2c，a=−1−6c．又由x⋅m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，∴a+cd=1bd=0∵d为非零实数，∴b=0=2+2c，∴c=−1．∴(−1−6c)+cd=1．∴−1+6−d=1．∴d=4．故答案为：4．【点睛】本题属于新定义的题目，根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算是关键，同时考查了学生合情推理的能力，属于中档题．【变式6-3】（2023下·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：x=1y=8就是方程3x+y＝11的一组“好解”；x=1y=2z=3(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；(2)关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27【答案】(1)x=5y=0或x=3y=1(2)有，x=9y=0k=6或x=10y=1k=4【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求x的值，由于y≥3时，x的值为负，不符合要求，不需要再求；（2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式可得出满足条件的解．【详解】（1）解：当y＝0时，x＝5；当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，所以方程x+2y＝5的所有“好解”为x=5y=0或x=3y=1或（2）解：有．x+y+k=15①②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，∵x、y、k为非负整数，∴6﹣2y≥0，解得y≤3，∴y＝0、1、2，3，当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0，∴关于x，y，k的方程组x+y+k=15x+5y+3k=27的“好解”为x=9y=0k=6或x=10y=1k=4【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题的关键．【题型7三元一次方程组中的数字问题】【例7】（2023下·八年级单元测试）幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”“河图”“洛书”等．图1所示的是一个三阶幻方，在3×3的方阵图中，填写了一些数或代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等，我们称这种幻方为“数字连续型三阶幻方”．(1)求x，y的值；(2)在图2中完成此方阵．【答案】(1)x=2，y=5(2)【分析】（1）根据题意进行列方程即可；（2）在（1）的基础上进行关于字母a，b，c列三个方程即可．【详解】（1）解：4+9+x=4+3+2y−x，即13+x=7+2y−x，3+x=y①，y+x+2y−x=4+9+x，3y=13+x②，把①代入②得3×3+x解得：x=2，∴y=3+2=5∴x=2，y=5；（2）解：在（1）的基础上得知x=2，y=5，所以2y−x=8，每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等且为4+9+2=15，那么a+b+2=154+5+b=15所以a=7b=6则【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组等知识内容，正确列方程是解题的关键．【变式7-1】（2023·福建南平·统考二模）《孙子算经》上有一著名问题就是“物不知数问题”．原文是这么说的：“有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问物几何？”把这个问题翻译为：一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求这个数？请你写出符合条件的一个数是．【答案】23【分析】设x=3m+2=5n+3=7b+2，可得3m=5n+17b=5n+1，可知5n+1是21的倍数，可求n=4时m=7，b【详解】解:设x=3m+2=5n+3=7b+23m=5n+1∴m=∴5n+1是21的倍数∴n=4时m=7，b=3这个数是x=23．故答案为：23．【点睛】本题考查带余除法，用字母表示数，三元一次方程组，掌握三元一次方程组，用含字母表示的代数式是解题关键．【变式7-2】（2023上·全国·八年级校考期末）一个三位数，各位数上数字之和为10，百位数字比十位数字大1，如果把百位数字与个位数字对调，所得的新数比原数的3倍还多61，那么原来的三位数是（

）A．215 B．216 C．217 D．218【答案】A【分析】设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数表示为：100z+10y+x，新三位数表示为：100x+10y+z，故根据题意列三元一次方程组再求解即得．【详解】解：设原来三位数的个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，根据题意得：x+y+z=10z−y=1解得：x=7y=1故选C．【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握三位数的表示方法，根据题意列出方程组.【变式7-3】（2023下·重庆綦江·八年级统考期末）对于一个三位数n,如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7,那么称这个数n为“幸福数”．例如：n1=935,∵9+3−5=7,∴935是“幸福数”；n2=701,（1）判断845,734是否为“幸福数”？并说明理由；（2）若将一个“幸福数”m的个位数的2倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位数变成百位数,得到一个新的三位数t（例如：若m=654,则t=586）,若t也是一个“幸福数”,求满足条件的所有m的值．【答案】（1）845是“幸福数”,734不是“幸福数”,见解析;（2）满足条件的所有m的值为:362,654【分析】根据题意可知:（1）要判断一个数是否是“幸福数”,首先要看n是否满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7,即可得出答案．（2）若新的三位数t是“幸福数”,需要先设设这个“幸福数”m=abc,则t=b(2c)a（1≤a≤9,1≤b≤9,0≤c≤4,且a,b,c为整数）,根据a,b,【详解】解：（1）845是“幸福数”,734不是“幸福数”∵8+4−5=7,∴845是“幸福数”；∵7+3−4=6,∴734不是“幸福数”∴845是“幸福数”,734不是“幸福数”．（2）设这个“幸福数”m=abc,则t=b(2c)a（1≤a≤9,1≤b≤9,0≤c≤4,且a,b,根据题意得:{解得：{∵0≤c≤4,且c为整数,∴{a=3b=6∴满足条件的所有m的值为:362,654．【点睛】本题主要考查了实数的加减运算,解三元一次方程组以及学生的运算能力,解题的关键是熟练掌握实数的加减运算法则,三元一次方程组的的解法．【题型8三元一次方程组的应用】【例8】（2023下·浙江宁波·八年级校联考期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）．(1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？甲乙丙每辆汽车能装的吨数212.5每吨蔬菜可获利润（百元）574(2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润．【答案】(1)装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆(2)安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元【分析】（1）设装运乙种蔬菜的汽车为x辆，则装运丙种蔬菜的汽车为(14−x)辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为a辆、b辆、c辆，可以得到出a+b+c=30            (1)2a+b+2.5c=48      (2)，即可得c=12−23a，根据a、b、c都为自然数，可得a为3的倍数，结合【详解】（1）解：设装运乙种蔬菜的汽车为x辆，则装运丙种蔬菜的汽车为(14−x)辆．列方程：x+2.5(14−x)=17，解得x=12．即14−x=14−12=2．答：装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆；（2）解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为a辆、b辆、c