2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）第十八章 正比例函数和反比例函数（45道压轴题专练）（解析版）

第十八章正比例函数和反比例函数（5大题型）（45道压轴题专练）压轴题型一正比例函数相关压轴题1．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡越大）判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.【详解】解：根据直线经过的象限，知，，，，根据直线越陡越大，知，，所以．故选B．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．2．（2018·安徽合肥·八年级统考期末）如图，若正比例函数y＝kx图象与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2相交围成的正方形有公共点，则k的取值范围是()A．k≤2 B．k≥ C．0＜k＜ D．≤k≤2【答案】D【分析】如图，可知当直线在过点和点两点之间的时候满足条件，把、两点分别代入可求得的最小值和最大值，可求得答案．【详解】解：直线与正方形有公共点，直线在过点和点两直线之间之间，如图，可知，，当直线过点时，代入可得，解得，当直线过点时，代入可得，解得，的取值范围为：，故选．【点睛】本题主要考查一次函数图象点的坐标，由条件得出直线在过和两点间的直线是解题的关键，注意数形结合思想的应用．3．（2021秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，正方形OABC中，点B(4，4)，点E，F分别在边BC，BA上，OE=，若∠EOF=45°，则OF的解析式为()A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x【答案】B【详解】分析：作辅助线，构建全等三角形，证明△OCE≌△OAD和△EOF≌△DOF，得EF=FD，设AF=x，在直角△EFB中利用勾股定理列方程求出x=，根据正方形的边长写出点F的坐标，并求直线OF的解析式．详解：延长BF至D，使AD=CE，连接OD．

∵四边形OABC是正方形，∴OC=OA，∠OCB=∠OAD，∴△OCE≌△OAD，∴OE=OD，∠COE=∠AOD．

∵∠EOF=45°，∴∠COE+∠FOA=90°﹣45°=45°，∴∠AOD+∠FOA=45°，∴∠EOF=∠FOD．

∵OF=OF，∴△EOF≌△DOF，∴EF=FD，由题意得：OC=4，OE=2，∴CE==2，∴BE=2，设AF=x，则BF=4﹣x，EF=FD=2+x，∴（2+x）2=22+（4﹣x）2，解得：x=，∴F（4，），设OF的解析式为：y=kx，4k=，k=，∴OF的解析式为：y=x．

故选B．

点睛：本题是利用待定系数法求一次函数的解析式，考查了正方形的性质及全等三角形的性质与判定，作辅助线构建全等三角形是本题的关键，利用全等三角形的对应边相等设一未知数，找等量关系列方程，求出点F的坐标，才能运用待定系数法求直线OF的解析式．4．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别是直线和，过点作轴的垂线交于点···过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点······依次进行下去，点的坐标为．【答案】【分析】先根据直线和的函数解析式求出点的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．【详解】由题意得：点的横坐标为1将代入得：则点的坐标为由题意得：点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3将代入得：，解得则点的坐标为同理可得：，，，由此可知，点的横坐标为，纵坐标为点的横坐标为，纵坐标为点的横坐标为，纵坐标为归纳类推得：点的横坐标为，纵坐标为（其中n为正偶数）则点的横坐标为，纵坐标为即故答案为：．【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、正比例函数的图象，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．5．（2019秋·广东揭阳·八年级校考期中）如图放置的，，，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，，，，…都在直线1上，点，，，…都在直线1右侧，则点的坐标是．【答案】【分析】根据等边三角形的性质结合一次函数图象上点的坐标特征可得出点Bn的坐标，进而可得出点An的坐标，代入n=2019即可求出结论【详解】∵△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，∴点B1的坐标为（，），点B2的坐标为（1，），点B3的坐标（，），…，点Bn的坐标为（，），∴点An的坐标为（+1，），∴点A2019的坐标为（+1，），即A2019的坐标为（，）．故答案为：（，）.【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化找出点An的坐标规律是解题的关键．6．（2021春·全国·八年级专题练习）平面直角坐标系中，点A坐标为，将点A沿x轴向左平移a个单位后恰好落在正比例函数的图象上，则a的值为．【答案】【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是(2-a，3)，代入计算即可．【详解】解：∵A坐标为(2，3)，∴将点A沿x轴向左平移a个单位后得到的点的坐标是(2-a，3)，∵恰好落在正比例函数的图象上，∴，解得：a=．故答案为．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．．7．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知正比例函数的图象过点，求：(1)求正比例函数关系式；(2)画出正比例函数的图象；(3)当自变量x满足时，直接写出对应函数值y的取值范围．【答案】(1)(2)画图见解析(3)【分析】（1）把代入函数解析式即可；（2）先列表描点，再连线即可；（3）分别求解当时，；当时，；从而可得答案．【详解】（1）解：∵正比例函数的图象过点，∴，∴，∴正比例函数为；（2）列表：00描点连线：

（3）当时，；当时，；当自变量x满足时，对应函数值y的取值范围为．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，画正比例函数的图象，求解函数的函数值的取值范围，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解本题的关键．8．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8(1)求正比例函数的解析式．(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝－x(2)存在，点P的坐标为：(5，0)或(－5，0)【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．【详解】（1）解：∵点A的横坐标为4，，∴点A的纵坐标为-4，∴点A的坐标为(4，－4)，∵正比例函数y＝kx的图像经过点A，∴-4＝4k，解得k＝－1，∴正比例函数的解析式为y＝－x；（2）存在，∵A(4，－4)，∴AH＝4，∵，∴OP＝5，∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意点P的坐标有两个．9．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点．(1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）．(2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值．(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标，（2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解；（3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解．【详解】（1）解：∵点在直线上∴，∴,∵点在直线∴解得，∴，（2）∵∴∵，，∴，，∴，，，，，，∵的面积等于的面积的两倍∴，即，解得，则，（3）当时，，则，的解析式为，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∴当时，，∴，当时，，∴;综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．压轴题型二反比例函数的面积问题1．（2022春·湖南株洲·九年级株洲二中校考自主招生）如图所示，是反比例函数与在x轴上方的图像，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作轴分别交这两个图像于A点和B点，若点P在x轴上运动，则的面积等于（

）

A． B．2 C．3 D．1【答案】A【分析】设，可求得的坐标，即可求得的面积．【详解】解：设，则点的纵坐标为，当时，，可得，，，，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用式子表示出的长和边上的高是解题的关键．2．（2021秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且轴于点A，轴于点B，、分别交双曲线，于D、C两点，则的面积为（

）

A． B． C． D．2【答案】C【分析】根据条件可知，通过设P坐标，表示出C，D坐标，从而表示出，的长度即可，【详解】解：∵轴于点A，轴于点B，∴点P和点C的纵坐标相同，点P和点D的横坐标相同，设点P坐标位，则，，∴，，∴，故选：C【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，设出坐标表示出线段，的长度是解题的关键．3．（2023春·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线、边交于点，连接．若点为的中点，则的面积为（

）A． B．1 C． D．3【答案】A【分析】设，根据题意表示出点，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：反比例函数的图象经过矩形的顶点，设，是矩形，且点为的中点，点纵坐标为，代入反比例函数解析式得，点横坐标为，点横坐标为代入反比例函数解析式，，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，设点坐标根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．4．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，C，D两点在双曲线（）上，A、B两点在双曲线（，）上，若轴，且，则三角形的面积．

【答案】【分析】如图，过点C作轴于点F，作轴于点G，过点D作轴于点E，则四边形是矩形，设点C和点D的坐标，得到点A和点B的坐标，得到和的长，然后由列出方程，化简得到a与b的关系，然后用切割法求得五边形的面积，由反比例系数k的几何意义求得、、矩形的面积，从而得到梯形的面积和的面积相等，最后求得的面积．【详解】解：如图，过点C作轴于点F，过点D作轴于点E，

设，，∴点，，∴，，，，，∵，∴，化简得，，∴，∵点C和点D在反比例函数上，∴，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，切割法求多边形的面积，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．5．（2022秋·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点为顶点作等边，使A，B落在轴上点在点的左边若点坐标为，则的面积是．【答案】【分析】设等边的边长为，则点，则，解得：，即可求解．【详解】解：设等边的边长为，则点，则，解得：负值已舍去，，故答案是：．【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，本题的重点是确定点的坐标，利用，即可求解．6．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是．【答案】4【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得S△ACD=S△OCD,S△ACB=S△OCB,进而可得S△ABD=S△OBD,根据点B在双曲线上，BD⊥y轴，可得S△OBD=4，进而即可求解．【详解】点C是OA的中点，∴S△ACD=S△OCD,S△ACB=S△OCB,∴S△ACD+S△ACB=S△OCD+S△OCB,∴S△ABD=S△OBD,点B在双曲线上，BD⊥y轴，∴S△OBD=×8=4,∴S△ABD=4,答案为：4.【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．7．（2023·山东·九年级专题练习）已知点A为函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．

(1)如图1，若点A的坐标为，求点C的坐标；(2)如图2，过点A作，垂足为D，求四边形的面积．【答案】(1)点C的坐标为(2)4【分析】（1）先由反比例函数解析式求出A点坐标，再由中点坐标公式求得B点坐标，由于轴，得到点B和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数解析式求出点C的横坐标，即可解决；（2）设出A点坐标，由，得到B点坐标，由于轴，，可以得到轴，由此写出点D坐标，由于轴，且点C在图象上，求出点C的坐标，故可以得到和的长度，进而求得和的面积，与的面积之差即为四边形的面积．【详解】（1）解：将点A坐标代入到反比例函数中得，，∴，∴点A的坐标为，∵，，∴点B的坐标为，∵轴，∴点C的纵坐标为2，令，则，∴，∴点C的坐标为；（2）设，∵，∴点B的坐标为，∵轴，∴轴，又，∴轴，∴点D的坐标为，∵轴，且点C在函数图象上，∴，∴，，∴四边形的面积为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决本题的关键．8．（2023·辽宁鞍山·校考一模）如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作轴于点D，连接．直线与x轴的负半轴交于点E．

(1)当E的坐标为时，求点B的坐标；(2)若，求四边形的面积．【答案】(1)(2)6【分析】（1）把点代入反比例函数中，即可求出k的值，得到反比例函数解析式；根据过A作轴于点C可得点C的坐标，设直线的解析式为，把点C、E的坐标代入即可得到直线的解析式，解由反比例函数与直线的解析式为组成的方程组，即可得到点B的坐标；（2）由可得点B的纵坐标，代入（1）中所求的反比例函数中，得到点B的坐标，设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入即可得到直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点E的坐标，利用面积公式可求的四边形的面积．【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，∴，解得，∴反比例函数解析式为．∵过作轴于点C，∴点C的坐标为，设直线的解析式为，∵直线过点，，∴，解得，∴直线的解析式为，解方程组，得，，∴点B的坐标为．（2）由（1）可知点C的坐标为，∴，∴，∴点B的纵坐标为6，由（1）可知反比例函数解析式为，把代入反比例函数中，得，解得，∴点B的坐标为，∵过点B作轴于点D，∴点D的坐标为，设直线的解析式为，∵直线过点，，∴，解得，∴直线的解析式为，把代入函数中，得，解得，∴点E的坐标为∵，，，，∴，，，，∴．【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法，一次函数与坐标轴的交点特征，三角形和梯形面积的计算等知识，熟练掌握一次函数和反比例函数的相关知识是解题的关键．9．（2023·辽宁营口·校联考一模）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点，交于点，交于点，已知点，点．

(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）分别求出，，，，再利用割补法求解即可．【详解】（1）∵点，点，，；点，∵点A是的中点，点，把点代入得：，反比例函数解析式为：；（2）把代入得：，把代入得：，，，，，．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．压轴题型三反比例函数的k值意义1．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为矩形的对角线的中点，点是轴上一点，连接、，若平分，点是的中点，反比例函数的图象经过点、，已知的面积为，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，先由平分得，由矩形的性质得到，从而得到，故而，再由平行线的性质得到和的面积相等，然后设点的坐标，结合点是的中点得到点和点的坐标，最后结合的面积求出的取值．【详解】解：连接，则，

，平分，，，，，设，点是的中点，，，，，故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到和的面积相等．2．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过的顶点．若轴，点的坐标为，的面积为，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意设点坐标为，利用点在反比例函数上表示出，求出，根据的面积为，即可求出的值．【详解】解：轴，点的坐标为，则设点坐标为，点在反比例函数上，，，轴，，，，解得：，故选：．【点睛】本题考查了反比例函数图像与几何的综合，根据题意表述出点坐标，的长度是解答本题的关键．3．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其纵坐标为，过点作轴，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点也在该反比例函数的图象上，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作轴于，根据题意，，由于将线段绕点顺时针旋转得到线段，得出，，即可得出，即可得出，，得到，代入反比例函数解析式即可求得的值．【详解】解：作轴于，点在反比例函数的图象上，其纵坐标为，过点作轴，交轴于点，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段．，，，，，，点也在该反比例函数的图象上，，解得，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，表示出点的坐标是解题的关键．4．（2022·河北保定·校考模拟预测）如图，的三个顶点分别为．若反比例函数在第一象限内的图象与有交点，则k的取值范围是

【答案】【分析】由于是直角三角形，所以当反比例函数经过点A时k最小，经过点C时k最大，据此可得出结论．【详解】解∶∵是直角三角形，∴当反比例函数经过点A时k的值最小，经过点C时k的值最大，∵，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．5．（2022·福建南平·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点均落在坐标轴上，且，将线段沿x轴正方向平移至，点D恰好为中点，与交于点F，连接、．若的面积为6，点E在函数的图像上，则k的值为_______．【答案】【分析】设B点的坐标为，点C的坐标为，由已知条件可得，，，分别求出直线与直线的解析式，联立方程组，可求得点F坐标，再结合三角形面积公式可得出的值，最后利用反比例函数中k的几何意义可得出答案．【详解】解：∵，∴为等腰三角形，∴，设B点的坐标为，点C的坐标为，∴，设直线的解析式为，把，代入，得，直线的解析式为，∵线段是由线段沿x轴正方向平移得到，且D为中点，∴，，设直线的解析式为，将，代入，得得，直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，由，得，所以，∵，∴，∵点E在函数的图像上，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解答本题的关键．6．（2023春·福建泉州·八年级校考期中）过反比例函数（）图象上一动点作轴交轴于点，是直线上一点，且，过点作轴交该反比例函数图象于点．已知，那么的值为．【答案】或【分析】分情况讨论：当点在第一象限：①当点在第一象限时，点，则，根据三角形的面积公式即可求解的值，同理求得当点在第三象限时，的值；同样可以推出当点在第三象限：的值，即可求解．【详解】解：有两种情形：当点在第一象限：①当点在第一象限时，如图：

设点，则，则，解得：；当点在第三象限时，如图：

设点，则，则，解得：；同理，当点在第三象限时，的值为或；综上，当的值为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，反比例函数的图象上的点的特征等，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．7．（2023春·四川内江·九年级统考阶段练习）如图，，，以为边作平行四边形，反比例函数的图象经过点C．

(1)求k的值；(2)将平行四边形向上平移几个单位长度，使点B落在反比例函数的图象上；(3)根据图象写出，x为何值时反比例函数的图象在直线上方．【答案】(1)(2)12(3)【分析】（1）由，，以、为边作平行四边形，可求得点的坐标，然后利用待定系数法求得的值；（2）首先求得当时，反比例函数上的点的坐标，继而可求得将平行四边形向上平移几个单位长度，使点落在反比例函数的图象上；（3）根据图象求解即可．【详解】（1）平行四边形中，，，，把代入，得：，解得：；（2）把代入，解得：，向上平移个单位；（3）∵∴由图象可得，当时，反比例函数的图象在直线上方．【点睛】此题考查了反比例函数的性质以及平行四边形的性质．注意掌握反比例函数上的点的坐标特征．8．（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）如图，为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为．

(1)联结，当时，求反比例函数的解析式；(2)联结，若，轴上是否存在点，使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．(3)点在直线上，且，过点作直线轴，交反比例函数的图像于点，若的面积为4，求的值．【答案】(1)(2)存在，或(3)或【分析】（1）连接，设，则，，根据即可求解；（2）先计算，再根据即可求解；（3）分类讨论在延长线上和在延长线上，即可求解．【详解】（1）解：连接，如图：

设，则，，∴，又∵，∴，∴，∴反比例函数的解析式为；（2）解：如图：

∵，∴，，，∴，∴，∴，即，∴，又∵，点在轴上，∴点的坐标为或；（3）解：设，则，，∴，当在延长线上时，如图：

，对于，当时，，∴，∴，∴，∵的面积为4，∴，解得．当在延长线上时，如图：

易得：，，∴，，∴，，综上：或．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合题．熟记反比例函数的相关性质是解题关键．9．（2021秋·河北邢台·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以为边向上作正方形，顶点A在直线上，双曲线经过点A，且与边交于点E.

(1)若，求k的值和点E的坐标；(2)连接、.①若的面积为24，求k的值；②是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)①18；②不存在，理由见解析【分析】(1)根据，设，代入解析式确定A的坐标，确定反比例函数解析式，根据，代入反比例函数解析式计算即可.(2)①设，则，,，根据题意，得，列出等式计算即可.②假设，证明，利用反比例函数解析式建立等式证明即可.【详解】（1）∵正方形，，,∴，，设，则,，代入，得，解得，故，∴，∴即.（2）①∵点A在直线上，∴设，∵正方形，,∴，，，∴,，根据题意，得，∴，解得（舍去），故，故；②∵，∴，∵正方形，∴

∴，∴，∵，∴，∴，∵点A在直线上，∴设，则，∴，∴设，∴设，∵B、C两点在x轴的正半轴上，∴，∴，这是不可能的，故不存在某一位置使得.【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，三角形面积的分割法计算，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，是解题的关键.压轴题型四反比例函数的实际应用1．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（

）．

A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是C．当时， D．当时，【答案】D【分析】根据反比例函数图象，并结合物理学科中的电流等于电压除以电阻的知识点即可求解．【详解】解：设，∵图象过，∴，∵，∴蓄电池的电压是，∴选项A、B错误，不符合题意；当时，，∴选项C错误，不符合题意；当时，，由图象可知：当时，，∴选项D正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质和图象，并利用物理学科中电流、电压、电阻之间的关系是解本题的关键．2．（2023·福建福州·校联考模拟预测）在地球引力作用下，大量气体聚集在地球周围，形成数千公里的大气层，大气层是地球生物赖以生存必不可少的条件，大气层由于重力作用形成了大气压．海拔高度不同，大气压强也不同，如图是大气压强随海拔高度变化的关系图象，观察图象可知，下列说法正确的是（

）A．大气压强与海拔高度成反比例函数关系B．随着海拔高度的增大，大气压强也随之增大C．海拔高度为时，大气压强约为D．海拔高度为时，大气压强为【答案】C【分析】根据反比例函数的定义即可判断A；根据图象的变化趋势即可判断B；根据表格数据即可判断C；根据图象趋势即可判断D．【详解】解：A、根据图象可知图象经过，，，，，，横坐标与纵坐标的积不相等，所以结论错误，故此选项不符合题意；B、根据图象可以看出，随着海拔高度的增大，大气压强也随之减小，所以结论错误，故此选项不符合题意；C、根据图象可以看出，当时，大气压强，所以结论正确，故此选项符合题意；D、根据图象可以看出，，，所以结论错误，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．3．（2023·河南信阳·校考三模）湿度是指空气的干湿程度，或含有的水蒸气的多少，天气预报中最常用的是相对湿度，相对湿度是空气中实际水蒸气含量与同温度下的最大可容纳水蒸气含量的百分比值，符号为%RH．人体感觉舒适的湿度一般为40%RH~70%RH．如图1所示为某实验室的自动除湿机简化后的电路图，R为装在除湿机内的湿敏电阻，其阻值随相对湿度变化的图象如图2所示，当湿敏电阻R的阻值发生变化时，控制电路中线圈的电流I随之发生变化，控制电路中总电阻（调控电阻和湿敏电阻R的阻值之和，其他忽略不计）与电流I的关系图象如图3所示，当电流大于或等于20mA时，L的两个磁性弹片相互吸合，工作电路的压缩机开始带动系统进行除湿．下列说法不正确的是（

）

A．相对湿度越高，湿敏电阻R的阻值越小B．当相对湿度为35%RH时，湿敏电阻R的阻值为150ΩC．当湿敏电阻R的阻值为50Ω时，实验室内的相对湿度在人体感觉舒适的湿度范围内D．当相对湿度为45%RH时，若要压缩机开始工作，则调控电阻的阻值不能低于500Ω【答案】D【分析】根据所给条件和函数图象，逐条分析判断即可．【详解】由题图2，可知湿敏电阻R的阻值随相对湿度的增大而减小，且当时，，故选项A，B说法正确，不符合题意．当时，，在40%RH~70%RH范围内，故选项C说法正确，不符合题意．当时，湿敏电阻．若要压缩机开始工作，则电流，．∴调控电阻，故选项D说法错误，符合题意．故选D【点睛】本题考查了函数及其图象的意义，正确读取图象信息是解题的关键．还要明白在电压一定时，电阻越大电流越小．4．（2023秋·湖北·九年级校考周测）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积V的范围是．

【答案】【分析】先设反比例函数为（），将点代入，求出解析式，再求出当时V的值，即可得到答案．【详解】设反比例函数解析式为（），将点代入，得，∴，且P随V的增大而减小，当时，，∴当气球内的气压大于时，气球将爆炸，∴气体的体积V的范围是，故答案为：．【点睛】此题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意，掌握反比例函数的性质是解题的关键．5．（2023秋·甘肃白银·九年级统考期末）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了度．【答案】150【分析】设函数的解析式为，由时，可求，进而可求函数关系式，然后求得焦距为0.4米时的眼镜度数，相减即可求得答案．【详解】解：设函数的解析式为，度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，，解析式为，当时，，小慧原来戴400度的近视眼镜，小慧所戴眼镜的度数降低了度，故答案为：150．【点睛】考查了反比例函数的应用，根据题意求得反比例函数的解析式是解答本题的关键，难度不大．6．（2023·上海·八年级假期作业）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的学校是．【答案】丙【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：由图可知，、乙、、丁在反比例函数图像上，根据题意可知优秀人数，则①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，故答案为：丙．【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）某种商品上市之初进行了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．

(1)求该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数解析式；(2)当上市的天数为多少时，日销售量为80件？【答案】(1)当时，当时，(2)当上市的天数为8天或50天时，日销售量为80件【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可；（2）直接利用函数解析式分别得出答案．【详解】（1）当时，设，把代入得，∴；当时，设，把代入得，∴；（2）当时,令时，，解得：，当时，令时，，解得：，经检验：是原方程的解，∴故当上市的天数为8天或50天时，日销售量为80件．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型．8．（2022秋·安徽池州·九年级校考期中）某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段：线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分．表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：

(1)填空：的值为______；(2)求线段对应的函数解析式；(3)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度．【答案】(1)21(2)；(3)可进行零件加工的时间长度为．【分析】（1）由线段轴，且点的纵坐标为100，代入，即可求解；（2）利用待定系数法即可求解；（3）将分别代入和，即可求解．【详解】（1）解：∵线段轴，且点的纵坐标为100，∴，解得，故答案为：21；（2）解：设线段的解析式为，把代入得，，解得，∴线段的解析式为；（3）解：当时，，解得，当时，，解得，∴，∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为．【点睛】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数解析式．解答时应注意临界点的应用．9．（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）崇阳县白霓镇回头岭村近年大力打造乡村旅游文化品牌，农村特色美食、农家乐、采摘园、观光养殖场等初具规模，2021年仅桑葚采摘园收入6万元，2022年桑葚产量比2021年增加了1000千克，且每千克价格比2021年上涨了3元，故收入比2021年提高了．已知2021年每千克价格不低于14元(1)求2022年桑葚每千克的价格；(2)村委会计划扩大桑葚采摘园的规模，将今年收入的投入扩建，已知新建采摘园每亩资金不低于1200元，那么最多可以将桑葚采摘园的面积扩大多少？【答案】(1)2022年桑葚每千克的价格为18元；(2)最多可以将桑葚采摘园的面积扩大亩．【分析】（1）设2022年桑葚每千克的价格为x元，根据题意列得分式方程，解方程即可得解；（2）设可以将桑葚采摘园的面积扩大m亩，新建采摘园每亩资金为t元，求得m关于t的反比例函数，利用函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设2022年桑葚每千克的价格为x元，则2021年桑葚每千克的价格为元，2021年桑葚产量为千克，2022年桑葚产量为千克，由题意得，解得，经检验，，都是分式方程的解，∵2021年每千克价格不低于14元，∴，∴，∴应舍去，只取，答：2022年桑葚每千克的价格为18元；（2）解：设可以将桑葚采摘园的面积扩大m亩，新建采摘园每亩资金为t元，则，其中，∵m是t的反比例函数，且，∴m随t的增大而减少，∴当时，m有最大值，最大值为，答：最多可以将桑葚采摘园的面积扩大亩．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是正确找出题中的数量关系，列出方程或函数关系式．压轴题型五函数的表示法1．（2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期中）如图1，在直角中，，点是的中点，动点从点沿出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（

）

A．9 B．12 C．16 D．32【答案】C【分析】由图象可知：当时，等于3，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点和点重合，可得，由直角三角形的面积公式求出面积即可．【详解】解：由图象可知：当时，，，即，解得，点是的中点，，当时，面积发生转折，此时点和点重合，，在中，，，，．故选：C【点睛】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出和的长．2．（2023春·山东济南·六年级统考期末）小颖想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，她把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小颖测得的弹簧的长度与所挂物体质量的组对应值．所挂物体质量012345弹簧长度303234363840当弹簧长度为（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据表格中的数字规律，得到与的函数关系，将代入即可得到答案．【详解】解：由表中数据可以看出，对于每组数据，均有，将其整理得：与的函数关系为．当时，．故选：D．【点睛】本题考查函数的表示方法，得到函数关系式是解题的关系．3．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的小红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度，小红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：时间010203040油温1030507090小红发现，烧了时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（

）A．加热，油的温度是 B．估计这种食用油的沸点温度约是C．在一定范围内，每加热，油的温度升高 D．加热，油的温度是【答案】D【分析】根据表格中的数据得：每加热，温度升高，由此逐一进行分析即可得．【详解】解：A、由表可知，加热，油的温度是，故A正确，不符合题意；B、∵烧了时，油沸腾了，∴这种食用油的沸点温度，故B正确，不符合题意；C、由表可知，在一定范围内，每加热，油的温度升高，故C正确，不符合题意；D、加热，油的温度，故D不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的表示方法；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．4．（2023春·山东泰安·六年级统考期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是．①小明吃早饭用时；小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．

【答案】①③【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可．【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确；由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②错误；由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确；由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误．故答案为：①③【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键．5．（2023秋·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于千米），超过千米每增加千米（不足千米按千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）（）之间的关系式为．【答案】【分析】根据出租车的收费标准，用含有的代数式表示车费即可．【详解】解：由题意可知，当时，，故答案为：．【点睛】本题考查了用关系式表示变量间的关系，理解出租车的收费标准是正确解答的前提．6．（2024春·六年级课时练习）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过立方米时，水价为每立方米元；超过立方米时，超出部分按每立方米元收费，该市每户居民月份用水立方米，应交水费元，则与的关系式为．【答案】【分析】根据用水不超过立方米的收费标准、用水超过立方米时的收费标准分别得出与的函数关系式，然后根据确定与的关系式即可【详解】解：由题意可得：每户每月应交水费元与用水量立方米之间的函数关系式为，因为月份用水量为立方米，应交水费元，则关于的函数表达式为；故答案为：．【点睛】本题主要考查了求函数关系式，掌握立方米这个分界点是解答本题的关键．7．（2022春·福建漳州·七年级校考期中）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家2