【中考冲刺】2024年中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（天津专用）专题08 锐角三角函数实际问题 解析版

二轮复习2024年中考数学重要考点名校模拟题分类汇编专题08——锐角三角函数实际问题（天津专用）1．（2023下·天津滨海新·九年级天津经济技术开发区第一中学校考开学考试）如图，某中学数学兴趣小组在学习了“解直角三角形及其应用”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在A处测得该建筑物顶端B的仰角为28°，然后从A处前进40m到达D处，在D处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，点A，D，C在同一水平的直线上，且BC⊥DC.求建筑物BC的高度（结果精确到0.1）．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，3≈1.73）【答案】建筑物BC的高度约为30.6m．【分析】根据三角函数得出AC和DC，进而列出方程解答即可．【详解】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC=∴BC=DC·tan∴BC=DC·tan在Rt△ABC中，tan∠BAC=∴tan28∘∴40+DCtan∴0.53∴DC≈53∴BC=答：建筑物BC的高度约为30.6m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练利用三角函数的知识求解是解答本题的关键．2．（2023下·天津和平·九年级天津市双菱中学校考开学考试）如图，为求出河对岸两棵树A，B间的距离，小坤在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12m到达D点，测得∠CDB=90°．取CD的中点E，测得∠AEC=56°，∠BED=67°参考数据：sin56°≈45，tan56°≈3

【答案】13米【分析】根据E为CD中点，CD=12，得到CE=DE=6．在Rt△ACE中，求得AC=CE⋅tan56°，在Rt△BDE中，求得【详解】解：如图，过点A作AF⊥BD于点F，∵E为CD中点，CD=12m∴CE=DE=6m在Rt△ACE∵tan∴AC=CE⋅在Rt△BDE中，tanBD=DE·tan∵AF⊥BD，∴AC=DF=9m，AF=CD=12∴BF=BD−DF=14−9=5m在Rt△AFB中，AF=12m，∴AB=A∴两树间距离为13米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是正确的构造直角三角形，并选择正确的边角关系．3．（2023·天津河西·天津市新华中学校考三模）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度AD．已知测角仪的高度为1.6米，在水平线MD上点M处测得建筑物最高点A的仰角为22°，沿MD方向前进24米，达到点N处，测得点A的仰角为45°，求建筑物的高度AD．（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40【答案】17.6米【分析】延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝24m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝24+x，解直角三角形即可得到答案．【详解】解：延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝24米，DE＝CN＝BM＝1.6米，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x米，∴BE＝24+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝AEBE＝x24+x≈解得：x＝16，∴AD＝AE+ED＝16+1.6＝17.6（米），答：建筑物的高度约为17.6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．4．（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为30m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为35°测得底部C处的俯角为43°，求甲、乙两建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．（参考数据：tan35°≈0.70，tan43°≈0.93）【答案】AB为28m，DC为7m.【分析】作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形，根据矩形的性质可多AE＝BC＝30，AB＝CE，在Rt△ACE中，由EC＝AE•tan43°求得EC的长，即可得AB的长；在Rt△AED中，DE＝AE•tan35°，由CD＝EC﹣DE即可求得CD的长.【详解】如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝30，AB＝CE，在Rt△ACE中，EC＝AE•tan43°≈27.9（m），∴AB＝CE≈27.9（m），在Rt△AED中，DE＝AE•tan35°，∴CD＝EC﹣DE＝AE•tan43°﹣AE•tan35°＝30×0.93﹣30×0.7≈7（m），答：甲、乙建筑物的高度AB为28m，DC为7m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．5．（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，斜立于地面的木杆AB，从点C处折断后，上半部分BC倒在地上，杆的顶部B恰好接触到地面D处，测得∠ACD=60°，∠ADC=37°，折断部分CD长5.73米，求木杆AB的长度（结果保留整数）．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75【答案】9米【分析】过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AED和Rt△AEC中，利用三角函数解得DE=AEtan37°，CE=33AE，【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，∴∠AEC=∠AED=90°，由题意可知∠ACD=60°，∠ADC=37°，CD=5.73，在Rt△AED中，tan∠ADC=∴DE=AE∵在Rt△AEC中，tan∠ACD=AECE∴CE=AEtan60°∵DC=CE+DE=5.73，∴33∴解得AE≈3，∴AB=AC+CD=2答：木杆AB的长度约是9米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意作辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．（2022·天津·天津市双菱中学校考模拟预测）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：3≈1.7，【答案】（1）30°；（2）9m．【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，BE=33PE=3∵AB=AE-BE=6米，则x-33解得：x=9+33．则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．7．（2019·天津和平·天津二十中校考二模）某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一台拖拉机从O点出发，以每秒5m的速度沿北偏西53°的方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130m，则教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受噪声污染的时间有几秒．(参考数据：sin53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)【答案】(1)教室A在拖拉机的噪声污染范围内；(2)影响的时间为20s【分析】(1)问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内，其实就是问A到OM的距离是否大于污染半径130m，如果大于则不受影响，反正则受影响．如果过A作AB⊥OM于B，那么AB就是所求的线段．直角三角形AOB中，∠AOB的度数容易求得，又已知了OA的值，那么AB便可求出了．然后进行判断即可．(2)如果设拖拉机从C到D教室受影响，那么要求教室受影响的时间，其实就是求CD的值，直角三角形ABC中，AB的值已经求得．又有AC的值，那么BC的值就能求出了．CD也就能求出了，然后根据时间=路程÷速度即可得出时间是多少．【详解】解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，∵∠MON=53°，∴∠AOM=90°﹣53°=37度．在Rt△ABO中，∠ABO=90°，∵sin∠AOB=∴AB=AO•sin∠AOB=200×sin37°≈120(m)．∵120m＜130m．∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．根据题意，在OM上取C，D两点，连接AC，AD，使AC=AD=130m，∵AB⊥OM，∴B为CD的中点，即BC=DB，∴BC=A∴CD=2BC=100(m)．即影响的时间为1005【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．8．（2021上·天津南开·九年级南开翔宇学校校考阶段练习）为提高城市幸福感，某市旅游局开发了风景优美的景点C，已知景点C在景点A北偏东37°方向上，景点C在景点B北偏东60°方向上，且景点B在景点A正北方向，A，B两个景点相距980米，求AC和BC的长（结果取整数）.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】AC的长约为2163米，BC的长约为1500米.【分析】根据题意，从复杂的实际问题中整理已知条件构建方程，即可得解.【详解】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，如图所示：设BE=x米，则AE=(980+x)米，∵在Rt△ACE中，∠CAE=37°，∴CE=AE·tan∵在Rt△BCE中，∠CBE=60°，∴CE=3x，∴0.75(x+980)=3解得x≈750，∴BC=2x≈1500，AC=答：AC的长约为2163米，BC的长约为1500米.【点睛】此题属于中等难度题，主要考查利用方位角构建方程求解距离.失分原因有3个：（1）不能正确地理解题意，从复杂的实际问题中整理已知条件；（2）没有掌握“母子型”模型的解题方法；（3）计算时出错.9．（2022上·天津河东·九年级天津市第四十五中学校考期末）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°【答案】51【分析】由三角函数求出AC=CEtan34°，得出BC=AC−AB，在【详解】解：∵∠ACE=90°，∠CAE=34∴tan∴AC=CE∵AB=21m，∴BC=AC−AB=61.1m，在RtΔBCD中，tan∴CD=3∴DE=CD−EC=105.7−55≈51m，答：炎帝塑像DE的高度约为51m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．10．（2023下·天津河东·九年级天津市第五十四中学校考阶段练习）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为37°，求山高AD是多少米？（结果保留整数，测角仪高忽略不计．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，【答案】251米【分析】设AD=xm，在Rt△ACD中，根据正切的概念用x表示出CD，在Rt△ABD【详解】解：由题意得，∠ABD=30°，∠ACD=37°，BC=100m设AD=xm，在Rt△ACD中，∴CD≈x∴BD=BC+CD=100+x在Rt△ABD中，tan∴x=300∴x≈251，答：山高AD约为251米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．11．（2023下·天津河北·九年级天津二中校考阶段练习）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端A，测得仰角为37°．再往建筑物的方向前进9m到达D处，测得建筑物顶端A的仰角为63°，求建筑物AB的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到1m）．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.8，sin63°≈0.9，【答案】12米【分析】设AB=xm，Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，再利用锐角三角函数列方程，再解方程可得．【详解】解：设AB=xm∵∠ADB=63°∴在Rt△ADB中，tan∠ADB=ABBD∴2=xBD∵CD=9,∴BC=9+1∴在Rt△ABC中，∠ACB=37°，∴tan∴x解得x=12m，经检验符合题意.答，建筑物AB的高度为12m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．12．（2023·天津河东·天津市第七中学校考模拟预测）某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是27°，拉索BD与水平桥面的夹角是58°，两拉索底端距离AD=20米，求立柱BC的高．（结果保留一位小数）[参考数据：tan58°≈1.6，tan27°≈0.5]【答案】立柱BC的高约为14.5米【分析】设立柱BC的高为x米，根据正切的定义用x分别表示出CD、AC，根据题意列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设立柱BC的高为x米，在Rt△BCD中，tan∠BDC=∴CD=BC在Rt△ABC中，tan∠BAC=∴AC=BC由题意得：2x−5解得：x≈14.5，答：立柱BC的高约为14.5米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（2023下·天津南开·九年级南开翔宇学校校考阶段练习）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图2所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i=1:1，BN⊥l于N，且CN=2(1)求∠ACB的度数；(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．【答案】(1)105°(2)3.2【分析】（1）根据山坡②的坡度i=1:1，可求∠BCN=45°，∠ACB=180°−∠BCN−∠ACM即可求解；（2）由余弦值和正弦值分别求出BC、AC即可求解；【详解】（1）解：∵山坡②的坡度i=1:1，∴tan∠BCN=∴∠BCN=45°，∵∠ACM=30°，∴∠ACB=180°−∠BCN−∠ACM=180°−45°−30°=105°，（2）∵∠BCN=45°，CN=2∴cos∠BCN=∴BC=2千米，∵∠ACM=30°，AM=0.6km∴sin∠ACM=∴AC=1.2km∴该登山运动爱好者走过的路程．AC+BC=1.2+2=3.2km【点睛】本题主要考查锐角三角函数的综合应用，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键．14．（2023下·天津和平·九年级天津一中校考阶段练习）如图，甲乙两楼的水平距离为120m，自乙楼楼顶C处，测得甲楼顶端A处的仰角为60°，测得甲楼底部B处的俯角为46°，求甲楼AB的高度．（结果取整数）参考数据：tan46°≈1.04，【答案】甲楼AB的高度约为332【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．【详解】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E．在Rt△BCE中，∠BCE=46°，BD=CE=120m由tan∠BCE=∴BE=1.04×120=124.8m在Rt△ACE中，∠ACE=60°，由tan∠ACE=得tan60°=∴AE=120×∴AB=AE+BE=124.8+207.6=332.4m∴AB=AE+BE≈332m答：甲楼AB的高度约为332m．【点睛】本题考查解直角三角形−仰角俯角、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题，中考常考题型．15．（2020·天津·九年级天津市第四中学校考阶段练习）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈1.73）【答案】标语牌CD的长为6.3m．【详解】分析：如图作AE⊥BD于E．分别求出BE、DE，可得BD的长，再根据CD=BD-BC计算即可；详解：如图作AE⊥BD于E．在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，∴BE=12AB=5（m），AE=53在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），∴BD=DE+BE=12.79（m），∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m．点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．16．（2019·天津和平·天津二十中校考一模）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：3，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）．【答案】（1）30．（2）34.6米．【分析】（1）根据特殊角度的三角函数值即可求解；（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．【详解】（1）∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：3．∴tan∠ABC=33∴∠ABC=30°；故答案为：30；（2）设过点P的水平线为PQ，则由题意得：∠QPA=15°,∠QPB=60°∴∠PBH=∠QPB=60°,∠APB=∠QPB=45°∵∴∠ABC=30°∴∠ABP=90°在Rt△PBH中，PB=PHsin在Rt△PBA中，AB=PB=20答：A、B两点间的距离约34.6米．17．（2019下·天津·九年级天津一中阶段练习）随着航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到1海里）．【答案】PB约为566每里【详解】分析：通过勾股定理得到线段PC的长度，然后解直角△BPC求得线段PB的长度即可．详解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC．∵AP=400海里，∴由勾股定理知，AP2=AC2+P故PC=2002又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，∴PB=PC答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里．点睛：本题主要考查了勾股定理的应用和解直角三角形的应用．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．18．（2019下·天津南开·九年级南开翔宇学校校考开学考试）海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东67°，航行12海里到达C点，又测得海岛A在北偏东45°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．【参考数据：sin67°≈【答案】无触礁的危险，理由详见解析.【详解】试题分析：作AD⊥BC,利用三角函数计算AD试题解析：作AD⊥BC,交BC延长线于D设AD=x,由三角函数知CD=AD⋅tan45°=x,BD=ADtan67°=12xBD-CD=BC,所以x=6078<607【点睛】19．（2023·天津·统考中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知C