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3.3向量的数量积与向量积（第22讲）1．向量的数量积2．两向量的向量积3、向量的混合积sF解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是1、向量的数量积例如:设力F作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式.

定义1两个向量和的模与它们夹角余弦的乘积叫做向量和的数量积（也称“内积”或“点积”）。结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义2设两个向量和，且为非零向量，称为向量在向量上的投影（或射影）。ODAB数量积具有下列性质：（1）当和中有一个为零向量时，。（2）（可记为，称为的数量平方）。（3）两向量和互相垂直的充分必要条件是

，即。（5）；

数量积运算规律：（1）交换律：（3）分配律：（2）若为数：（结合律）7数量积的坐标表达式：于是即由此可得若，均为非零向量，则有两向量夹角的余弦公式[例3-5]已知，求，

，，。

解：

因为所以[例3-6]已知三点，和，求向量与的夹角。

解：因此即单位向量。

[例3-7]在平面上求与已知向量垂直的所以有

解：设所求单位向量为，因为它在平面上，所以；又因为它是与向量垂直的单位向量，单位向量内积为0解此方程组得和于是，所求向量为与。[例3-8]如图所示，设液体流过平面上面积为的一个区域，液体在区域上各点处的流速均为(常向量)，设为垂直于的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一方的液体的质量。（液体密度为）。ASA解：单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A，斜高为的斜柱体，这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是与的夹角，所以这柱体的高为，体积为

。从而，单位时间内这区域流向所指一方的液体的质量为。2、两向量的向量积定义3

两个向量与的向量积（也称外积或叉积）是一个向量，记作,它的模为=sin(

,)，它的方向垂直于与所决定的平面（即，），且按，，的顺序构成右手系。向量积的性质：

向量积符合下列运算规律：（1）反交换律：（3）分配律：（2）结合律：加例基本单位向量的向量积即或解：

解：由向量积的几何意义，可知的面积又

于是3、向量的混合积*定义三个向量的混合积有如下重要性质：（1）（2）等于以为棱的平行六面体的体积。

（2）进一步说明：[例3-11]判断下列各向量组是否共面？若不共面，求以它们为棱的平行六面体的体积。解：(1)，（2）解：因此有向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）课堂小结作业：练习3.3

2（2）（4）（6）

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