42-第四章第二节(概率统计)

第四章随机变量的数字特征4.2方差

内容简介:

在一些实际问题中,只需知道随机变量的某些特征,随机变量的数学期望、方差以及各阶矩.本节讨论随机变量的方差以及其性质,利用其理论解决实际问题.

第四章随机变量的数字特征4.2方差4.2.1提出问题

1.射手的平均射中环数相等,如何推断他们的射击水平?4.2.2预备知识

1.数学期望定义与计算公式,独立性及其充要条件.2.六种重要的分布,指示函数.

2.如何判断两台机床工作的精度,或者工作的稳定性?一批灯泡的质量如何认定?4.2.3

问题分析

引例

有一批灯泡,知其平均寿命是E(X)=1000(小时).仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏.事实上,有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在950～1050小时;也有可能其中约有一半是高质量的,它们的寿命大约有1300小时.另一半却是质量很差的,其寿命大约只有700小时.为

了评定这批灯泡质量的好坏,还需进

一步考察灯泡寿命X与其均值E(X)=1000的偏离程度.若偏离程度较小,表示质量比较稳定.从这个意义上来说,我们认为质量较好.由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.

容易看到E{|X-E(X)|}能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.但由于上式带有绝对值而导致运算不方便.为运算方便起见,通常是用量E{[X-E(X)]2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度的.用怎样的量来度量这个偏离程度呢?4.2.4

建立理论

定义1设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]2}存在,则称E{[X-E(X)]2}为X的

方差,记为D(X)或Var(X).即D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2}.(4.2.1)

在应用上,还引入与随机变量X具有相同量纲的量,记为,称为标准差或均方差.

讲评

方差的实际意义是：随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度.若X取值比较集中,则D(X)较小;反之,若X取值比较分散,则D(X)较大.因此,D(X)是刻画X取值分散程度的一个量.

由定义知,方差实际上就是随机变量X的函数g(X)=(X-E(X))2的数学期望.

(1)若X是离散型随机变量,分布律为

P{X=xk}=pk,k=1,2,…,

则

关于离散型随机变量和连续型随机变量方差的具体计算公式如下所述.

定理1

在相应方差存在的条件下,

(2)若X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),则

(3)方差常用下面公式进行计算：

D(X)=E(X2)-[E(X)]2.(4.2.4)

D(X)=E{[X-E(X)]2}=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2.证

结论(1)和(2)由方差定义及函数期望计算公式即得.

关于结论(3),

4.2.5理论应用

例4.2.1

深入解读第二节例4.1.1:进一步分析该投资者如何投资为好呢?

从平均收益看,投资房产收益大,可比投资商业多收益0.1万元.

我们再来计算它们各自的方差：解D(X)=(11-4)21×0.2+(3-4)2×0.7+(-3-4)2×0.1=15.4,D(Y)=(6-3.9)2×0.2+(4-3.9)2×0.7+(-1-3.9)2×0.1=3.29各自的标准差:因为标准差(方差也一样)越大,

则说明收益的波动越大,从而投资风险也在增加.所以从标准差看,投资房产的风险比投资商业的风险大一倍多.

若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资商业为好.虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上.

XY01p.j12pi.1试计算

E(X),E(X2),E(XY)和D(X).

例4.2.2

继续解读例3.3.1:设二维随机变量(X,Y)的分布律为由X和Y的联合分布律得到解所以，例4.2.3

继续解读例4.1.3：已知随机变量的概率密度为再求X和Y的方差D(X)及D(Y).已知X的数学期望为

解所以由x与y的对称性得到

4.2.4′理论研究

定理2

随机变量的方差具有以下性

质(设随机变量期望及方差均存在):

(2)设C,a,b为常数,则

D(CX)=C2D(X),且D(aX+b)=a2D(X),(4.2.6)设C为常数,则D(C)=0.

(4.2.5)(3)若X与Y相互独立,

则D(X±Y)=D(X)+D(Y).

(4.2.7)

(4)设X1,X2,…,Xn是相互独立的n个随机变量,C1,C2,…,Cn是n个常数,则

(5)D(X)=0的充分必要条件是存在常数C,

使X以概率1取常数C,即

P{X=C}=1,

这里C=E(X).

证

结论(5)证略.下面证明结论(1),

(2),(3)和(4).

(1)由数学期望的性质,有

D(C)=E[C-E(C)]2=E(C-C)2=E(0)=0.

(2)由方差的计算公式,

D(CX)=E(C2X2)-[E(CX)]2

=C2E(X2)-C2[E(X)]2=C2D(X).

第二个等式留给读者自证.(3)D(X±Y)=E[(X±Y)-E(X±Y)]2

=E[(X-E(X)±(Y-E(Y)]2

=E[(X-E(X)]2+E[(Y-E(Y)]2

±2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=D(X)+D(Y)±2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.

由于X与Y相互独立,故X-E(X)

与Y-E(Y)也相互独立.从而E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

=E[X-E(X)]E[Y-E(Y)]

=0,于是，

D(X±Y)=D(X)+D(Y).结合结论(2),(3),可以推知结论(4).讲评

(1)D(2-3X)=9D(X),不是D(2-3X)=-3D(X).(2)X与Y不相互独立(即任意的随机变量)时,

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y).

例4.2.4设随机变量X的数学

期望E(X)和方差D(X)均存在,且D(X)>0,定义一个新随机变量X*为(4.2.9)求证E(X*)=0,D(X*)=1.

通常称X*为X的标准化随机变量.证

讲评这里X不一定是正态随机变量.对正态随机变量X～N(μ,σ2),

则标准化随机变量

几种重要分布的数学期望与方差

(1)0-1分布

设随机变量X～B(1,p),则E(X)=p,D(X)=pq.这里q=1-p.证

由于X的分布率为

故知X2的分布率也是4.2.5′

理论应用

X01PqpX201PqpE(X)=0·q+1·p=p,E(X2)=0·q+1·p=p.从而

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p)=pq.于是

二项分布可看成n个独立的0-1分布之和,即设Xi～B(1,p)(i=1,2,…,n)且相互独立,得到

(2)

二项分布

设随机变量X～B(n,p),则

E(X)=np,D(X)=npq.

证因此，

(3)

泊松分布

设随机变量X～P(λ),则E(X)=D(X)=λ.证

又由于从而D(X)=E(X2)-[E(X)]2=λ2+λ-λ2=λ.

(4)

均匀分布

设随机变量X～U(a,b),则

E(X)=

D(X)=.证

由于X的概率密度

,得又从而(5)

指数分布证X的概率密度为设随机变量X～E(λ),则E(X)=,D(X)=

有由于

我们得到

讲评

(1)由期望和方差关系可知，只需确定一个参数λ即可完全确定指数分布.(2)指数分布的一个重要性质是“无记忆性”,即当元件运行了时间t后如果仍正常,则从t时刻开始其寿命同新的一样.用式子表示就是P{X>t+τ|X>t}=P{X>τ}.

(3)

概率密度为的数学期望E(X)=,D(X)=

一般地,对任何正整数n,

有

Γ(n+1)=n!

.

(4)

关于Γ函数,有如下性质:

(i)

(ii)递推公式Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)

.

(iiii)

Γ(1)=Γ(2)=1.

(iii)

(5)

正态分布设随机变量X～N(μ,σ2),则

E(X)=μ,D(X)=σ2.证由正态分布的定义知,

又

例4.2.5

设随机变量X,Y,Z相互独立,且已知X～N(2,4),Y～E(2),Z～U(-1,2).(1)设W=2X+3XYZ–Z+5,求E(W);(2)设U=3X-2Y+Z-4,求D(U).

可见,正态分布的参数μ与σ2恰是其随机变量的数学期望与方差.

由于D(X)=4,

D(Y)=,D(Z)=,且X,Y,Z相互独立,从而

=2×2+3×2×

+5=10.

E(X)=2,E(Y)=,E(Z)=,且X,Y,Z相互独立,

故得

E(W)=2E(X)+3E(X)E(Y)E(Z)-E(Z)+5

(2)D(U)=9D(X)+4D(Y)+D(Z)=9×4+4×

解

由本节讨论知

(1)讲评