参考答案与解析（下）高一年级训练（一）

2023学年（下）高一年级训练（一）（参考答案与解析）1．B【分析】由已知运算和复数的运算化简即可.【详解】由题意可得，即，所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，故选：B.2．B【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.3．A【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解.【详解】取中点为，连接，显然，则.故选：A4．C【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算数量积.【详解】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，又，所以，则，所以，，所以.故选：C5．C【分析】举反例可否定ABD，由线面平行性质定理、面面垂直判定定理可知C正确.【详解】对于A，直线可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故A错误；对于B，直线可以平行平面，也可以在平面内，故B错误；对于C，由∥，过作平面交于直线，即平面直线，由线面平行性质定理可知，直线∥直线，又，所以直线，又直线，由面面垂直的判定定理得，故C正确；对于D，若，直线可与平面平行或在平面内，故D错误.故选：C.6．C【分析】利用样本平均数和样本方差的定义列式计算即可.【详解】由甲同学的样本的平均数，方差分别为，乙同学的样本的平均数，方差分别为，则合在一起后的样本平均数，则合在一起后的样本方差.故选：C.7．B【分析】根据题意，求出时，取球的情况，结合独立事件的乘法公式求解即可.【详解】由题意，时，取球的情况为：白白红，白白黑，白黑白，白黑黑，白黑红，黑白白，黑白黑，黑白红，所以.故选：A.8．D【分析】根据给定条件，将三棱锥放到长方体中，求出长方体的体对角线长，从而求得三棱锥外接球的半径，从而得解.【详解】因为在三棱锥中，，，，将三棱锥放到长方体中，设长方体同个顶点的三条棱长分别为，如图，

则，所以，因为长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，所以三棱锥外接球的直径为，半径为，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：D.9．ABC【分析】由辅助角公式化简即可判断A，结合正弦定理代入计算即可得到，从而判断B，由余弦定理代入计算即可判断D，再由三角形的面积公式即可判断C【详解】因为，所以，且、、为三角形的内角，所以，则，所以，即，故A正确；由可得，由正弦定理可得，即，所以，即，且，则，所以，故B正确；由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍），故D错误；因为，则，故C正确；故选：ABC10．ABC【分析】棱上取点，利用线线平行可得截面为四边形，进而求面积判断A，利用等体积法判断B，利用线面平行的判定定理判断C，假设存在，利用面面垂直的性质定理判断D.【详解】由题意知点在棱上，且，在棱上取点，上取点，使得，所以，平面截正方体所得的截面为四边形，又因为，，，因为四边形为平行四边形，，所以，所以四边形的面积,A说法正确；连接，三棱锥的体积，由上面知，设点到平面的距离为，由，解得，B说法正确；延长交的延长线于点，所以，解得，在上取点，使得，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，C说法正确；假设存在点，使得平面，因为平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面,可得平面，又平面，所以，与矛盾，所以在上不存在点，使得平面，D说法错误，故选：ABC11．ACD【分析】对于A，由已知将四棱锥P−ABCD补形为正方体，即可求得外接球的半径，进而求出表面积，判断A；对于B，取中点，连接，可以证得平面PDC，由，可得与平面不平行，判断B；对于C，由已知条件可得，得点Q的轨迹为线段的中垂线，则可求出BQ长度的最大值，判断C；对于D，由已知可得点M的轨迹为以D为圆心，2为半径的个圆弧，则当M在中点时四棱锥P−AMCD的体积最大，进而求出四棱锥P−AMCD的体积的最大值，判断D.【详解】对于A，由已知将四棱锥P−ABCD补形为正方体，则该四棱锥的外接球的半径即为棱长为2的正方体的体对角线长，所以，则，所以外接球表面积为，故A正确；对于B，取中点，连接，则且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，则，又平面PDC，平面PDC，所以平面PDC，又，所以共面，由，所以与平面不平行，故B错误；对于C，由已知，，得，所以，则点Q的轨迹为线段的中垂线，当Q为中点时，BQ最大，此时，故C正确；对于D，由已知，点M在正方形ABCD内（不含边界），，所以点M的轨迹为以D为圆心，2为半径的个圆弧，要使四棱锥P−AMCD的体积最大，则需四边形的面积最大，当M在中点时四边形的面积最大，此时，所以四棱锥P−AMCD的体积的最大值为,故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：求一些几何体的外接、内切球面积或体积的问题，主要是求出球的半径，要合理的利用补形，利用长方体或正方体模型；几何体中动点问题，求线段、面积、体积等最值问题，主要是找到取得最值时的动点的位置.12．【分析】由数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得.【详解】因为，，且与的夹角为，所以，所以.故答案为：13．84.55【分析】利用第70百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可.【详解】由题意得，解得，因为前4组数据的频率之和为，前5组数据的频率之和为，则分位数在内，设分位数为x，则，解得，所以分位数约为.故答案为：14．23【分析】空1：延长交于点，由线面平行的性质，可得到，从而得到，进而得解；空2：取中点,找到平面，所以或其补角为直线GB与平面所成角，进而得解.【详解】如图所示：空1：延长交于点，连接，则为中点，如下图所示：因为平面，平面，平面平面，所以，因为点G为的重心，所以,所以.空2：取中点,连接，则,设正方形ABCD边长为2，因为，，所以，又则为中点，所以，中，,同理可得，，因为，所以，又，所以平面，则为在平面内的投影，所以或其补角为直线GB与平面所成角，中，，，故答案为：2；3.15．(1)，；(2)，最小值为．【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出；（2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得：，．（2）当时，；当时，,故，所以在区间的最小值为．16．(1)(2)【分析】（1）列出所有基本事件，根据古典概型及对立事件求解；（2）根据独立事件的乘法公式、互斥事件的和的概率公式及对立事件求解即可.【详解】（1）从这5人中随机采访3人，有（小红、小东、小军），（小红、小东、小英），（小红、小东、小青），（小红、小军、小英），（小红、小军、小青），（小红、小英、小青），（小东、小军、小英），（小东、小军、小青），（小东、小英、小青），（小军、小英、小青）共10种情况，其中至少有1人是通讯专业的，对立事件是没有通讯专业的，即（小红、小东、小青），所以至少有1人是通讯专业的概率为.（2）设“小红应聘成功”，“小军应聘成功”，“小青应聘成功”，则至少有2人应聘成功的概率.17．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）取的中点，连接，在和中，分别利用余弦定理表示，结合化简求出，再利用三角形的面积公式即可得解.【详解】（1），由余弦定理得，化简得．；（2）由（1）可得①，又②，取的中点，连接，在中，③，由②③得④，由①④得，解得或（舍去），，.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过线面平行证明线线平行，（2）利用空间向量的方法解决角度问题，.【详解】（1）证明：取的中点，连结，.在中，，分别是，的中点，所以，且.在正方形中，，且，又点是的中点，所以，且.所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因为是圆的直径，是的中点，且，所以，且.以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.依题意，，，，，，，.所以，，.设是平面的法向量，则即取，得，，所以是平面的一个法向量.设是平面的法向量，则即取，得，，所以是平面的一个法向量.所以.设二面角的大小为，据图可知，，所以二面角的余弦值为.19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接，即可证明平面，根据线面平行的性质证明即可；（2）设，连接，设，连接，即可得到截面即为平面，再根据锥体、柱体的体积公式计算可得；（3）取的中点，的中点，连接、、、，即可证明平面平面，则在线段上，从而得到当为的中点时最小，令，连接，则球心在上，设球心为，连接、、，利用勾股定理求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得.【详解】（1）连接，因为且，所以为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以.

（2）在正方形中，直线与直线相交，设，连接，设，连接，由为的中点，得为的中点，，所以平面即为平面，因为为的中点，所以为的中点，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，因为正方体的棱长为，所以，另一部分几何体的体积，两部分的体积．（3）取的中点，的中点，连接、、、，显然，，所以，平面，平面，所以平面，又为的中点，所以且，又且，所以且，所以为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，