2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题01 实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题）（含解析）

PAGE专题01实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题）通用的解题思路：1.一次函数的实际问题关键是要根据题意列出函数关系式，其中求自变量取值范围是关键；一般答题思路：①根据题意列方程；②用含未知数的式子分别表示出几个未知的量；③根据题意求自变量的取值范围；④根据题意列出符合题意的方案；⑤选择最优方案.2.反比例函数的实际问题普通几何问题一般答题思路：①根据未知量，正确的设未知数；②通过图形获得定量和变量的等量关系；②根据题意列方程求值即可；动点几何问题一般答题思路：①用含未知数x的式子表示出已移动的量和关联的量；②根据面积、周长或移动距离等关系列方程（构建函数模型）；③根据点的位置进行分类讨论.3.二次函数的实际问题二次函数（方程）实际应用的一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求出自变量的取值范围；③化为顶点式，根据二次项系数“a”的正负性和对称轴判定最值.1．（2022·广东·中考真题）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（SKIPIF1<0）与所挂物体质量x（SKIPIF1<0）满足函数关系SKIPIF1<0．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．x025y151925(1)求y与x的函数关系式；(2)当弹簧长度为20SKIPIF1<0时，求所挂物体的质量．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)所挂物体的质量为2.5kg【分析】（1）由表格可代入x=2，y=19进行求解函数解析式；（2）由（1）可把y=20代入函数解析式进行求解即可．【详解】（1）解：由表格可把x=2，y=19代入解析式得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴y与x的函数关系式为SKIPIF1<0；（2）解：把y=20代入（1）中函数解析式得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即所挂物体的质量为2.5kg．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是得出一次函数解析式．2．（2022·广东广州·中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度SKIPIF1<0（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求储存室的容积V的值；(2)受地形条件限制，储存室的深度SKIPIF1<0需要满足16≤SKIPIF1<0≤25，求储存室的底面积S的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当16≤SKIPIF1<0≤25时，400≤S≤625【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；（2）先求解反比例函数的解析式为SKIPIF1<0，再利用反比例函数的性质可得答案．【详解】（1）解：由图知：当深度SKIPIF1<0=20米时，底面积S=500米2，∴SKIPIF1<0=500米2×20米=10000米3；（2）由（1）得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），S随着SKIPIF1<0的增大而减小，当SKIPIF1<0时，S=625；当SKIPIF1<0时，S=400；∴当16≤SKIPIF1<0≤25时，400≤S≤625．【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键．3．（2023·广东深圳·中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形SKIPIF1<0和抛物线SKIPIF1<0构成，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点O，过点O作线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于点E，若以O点为原点，SKIPIF1<0所在直线为x轴，SKIPIF1<0为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，求抛物线的解析式；

(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求两个正方形装置的间距SKIPIF1<0的长；

(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．

【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出SKIPIF1<0时对应的自变量的值，得到SKIPIF1<0的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）求出直线SKIPIF1<0的解析式，进而设出过点SKIPIF1<0的光线解析式为SKIPIF1<0，利用光线与抛物线相切，求出SKIPIF1<0的值，进而求出SKIPIF1<0点坐标，即可得出SKIPIF1<0的长．【详解】（1）解：∵抛物线SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，设抛物线的解析式为SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中垂线，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0；（2）∵四边形SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0均为正方形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0均为矩形，

∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵太阳光为平行光，设过点SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0的光线的解析式为SKIPIF1<0，由题意，得：SKIPIF1<0与抛物线相切，联立SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．题型一一次函数的实际问题1．（2024·广东深圳·二模）晋侯鸟尊作为山西博物馆的镇馆之宝，不仅是西周青铜艺术的杰作，更是见证大国沧桑的国之瑰宝．而木板漆画是山西博物馆的另一件镇馆之宝，填补了北魏前期绘画实物的空缺，在工艺、绘画和书法上有极高的历史和艺术价值．某商店计划购买一批仿制鸟尊工艺品和木板漆画工艺品，已知购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元．(1)求鸟尊工艺品和木板漆画工艺品的单价；(2)该商店计划购买鸟尊工艺品和木板漆画工艺品共100件，其中鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的SKIPIF1<0，当购买多少件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低？最低总费用为多少元？【答案】(1)鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件；(2)当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，为14136元．【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数解决实际问题．（1）设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件，根据“购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元”即可列出二元一次方程组，求解即可解答；（2）设购买鸟尊工艺品m件，费用为w元．则SKIPIF1<0，根据“鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的SKIPIF1<0”可列出不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件．根据题意，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，答：鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件；（2）解：设购买鸟尊工艺品m件．费用为w元．则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴w随m的增大而增大，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，w最小，最小值为SKIPIF1<0（元），答：当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，为14136元．2．（2024·广东深圳·二模）2024年4月18日上午10时08分，华为SKIPIF1<0系列正式开售，华为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0已在华为商城销售，约一分钟即告售罄．“SKIPIF1<0改变生活，SKIPIF1<0改变社会”，不一样的SKIPIF1<0手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的SKIPIF1<0手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元．(1)求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元；(2)某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的SKIPIF1<0，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．【答案】(1)A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元．(2)营业厅购进A种型号手机12部，B种型号手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一次函数的应用，一元一次不等式的应用：（1）设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，由售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元，再建立方程组即可；（2）设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机SKIPIF1<0部，获得的利润为w元，SKIPIF1<0，再利用一次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，由题意得：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；（2）解：设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机SKIPIF1<0部，获得的利润为w元，由题意得，SKIPIF1<0，∵B型手机的数量不超过A型手机数量的SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴w随x的增大而减小，∴当SKIPIF1<0时，w取得最大值，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．答：营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．3．（2024·广东深圳·一模）研究发现课堂上进行当堂检测效果很好，每节课40分钟，假设老师用于精讲的时间x（单位：分钟）与学生学习收益SKIPIF1<0的关系如图1所示，学生用于当堂检测的时间x（单位：分钟）与学生学习收益SKIPIF1<0的关系如图2所示（其中SKIPIF1<0是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于当堂检测的时间不超过用于精讲的时间．(1)老师精讲时的学生学习收益SKIPIF1<0与用于精讲的时间x之间的函数关系式为________；(2)求学生当堂检测的学习收益SKIPIF1<0与用于当堂检测的时间x的函数关系式；(3)问“高效课堂”模式如何分配精讲和当堂检测的时间，才能使学生在这40分钟的学习收益总量W最大？（SKIPIF1<0）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)精讲33分钟，当堂检测7分钟【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的运用，顶点式求二次函数的最大值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．（1）由图设该函数解析式为SKIPIF1<0，即可依题意求出y与x的函数关系式．（2）本题涉及分段函数的知识，需要注意的是x的取值范围依照分段函数的解法解出即可．（3）设学生当堂检测的时间为x分钟SKIPIF1<0，学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为SKIPIF1<0分钟，用配方法的知识解答该题即可．【详解】（1）解：设SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，自变量的取值范围为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；（2）解：当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）设学生当堂检测的时间为x分钟SKIPIF1<0，学生的学习收益总量为W，则老师在课堂用于精讲的时间为SKIPIF1<0分钟．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．∵W随x的增大而减小，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，综合所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．即老师在课堂用于精讲的时间为33分钟，学生当堂检测的时间为7分钟时，学习收益总量最大．4．（2024·广东深圳·二模）【项目化学习】项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：SKIPIF1<0）、滑行距离y（单位：SKIPIF1<0）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下：运动时间SKIPIF1<00246810SKIPIF1<0运动速度SKIPIF1<01098765SKIPIF1<0滑行距离SKIPIF1<001936516475SKIPIF1<0根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：任务二：观察分析（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）任务三：问题解决（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方SKIPIF1<0处有一辆电动小车，以2SKIPIF1<0的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．【答案】（1）作图见详解（2）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0【分析】（1）利用描点法解答即可；（2）利用待定系数法解答即可；（3）令SKIPIF1<0，求得小球停下来的时间，再将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系式解答即可；（4）假定经过SKIPIF1<0秒小球追上小电动车得到关于SKIPIF1<0的一元二次方程，令SKIPIF1<0，得到关于SKIPIF1<0的不等式，解不等式即可得出结论．【详解】解：（1）画出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数图象如下：（2）由（b）中图象可知：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系为一次函数关系，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系为SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系式为SKIPIF1<0；（3）当SKIPIF1<0时，解得：SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离SKIPIF1<0．（4）假定经过SKIPIF1<0秒小球追上小电动车，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由题意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0若黑球不能撞上小车，则SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．题型二反比例函数的实际问题1．（2024·广东中山·一模）在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I，电压U，电阻R三者之间满足关系式SKIPIF1<0电流SKIPIF1<0与电阻SKIPIF1<0之间的函数关系如图．(1)写出Ⅰ与R的函数解析式；(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过12A时，电路中电阻R的取值范围是什么?【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，结合图形求出函数解析式是解题的关键；（1）由图知，把点A的坐标代入SKIPIF1<0中，可求得U的值，从而确定函数解析式；（2）求出当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．结合反比例函数的图象与性质即可确定电路中电阻R的取值范围．【详解】（1）解：电源电压U保持不变，由图象可知SKIPIF1<0，I与R的函数解析式为SKIPIF1<0；

把点A的坐标代入上式中得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：由（1）可知，函数解析式为SKIPIF1<0．∵电源电压U保持不变，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．∵函数图象在第一象限内，I随R的增大而减小，

∴当电路中的电流不超过SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．2．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量SKIPIF1<0（毫克/百毫升）与时间SKIPIF1<0（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．【实践探究】（1）求部分双曲线SKIPIF1<0的函数表达式；【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上SKIPIF1<0喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上SKIPIF1<0能否驾车出行？请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）第二天早上SKIPIF1<0不能驾车出行，见解析【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析．（1）先用待定系数法求出正比例函数解析式，然后求出SKIPIF1<0，从而得出SKIPIF1<0，再求出反比例函数解析式即可；（2）求出当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，然后进行判断即可．【详解】解：（1）依题意，设SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设双曲线的解析式为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，从晚上SKIPIF1<0到第二天早上SKIPIF1<0时间间距为13小时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0第二天早上SKIPIF1<0不能驾车出行．3．（2023·山东青岛·三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；(1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：x（场）31025p（万元）10.61214.2(2)求p与x之间满足的函数关系式；(3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？(4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为正整数(3)第15场和第35场(4)第21场获得的利润最大，最大利润为145万元【分析】（1）根据第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可解答；（2）根据题意设出相应的函数表达式，然后通过表格中的数据求出表达式中的未知量即可；（3）把SKIPIF1<0分别代入（2）中两个解析式中即可求解；（4）分别表示出利润的相关函数，再在自变量取值范围内研究哪一场获得的利润最大，最大利润是多少．【详解】（1）解：∵第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系式为SKIPIF1<0．（2）解：设基本价为SKIPIF1<0，①第1场～第20场，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为正整数，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系式为SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．第21场～第40场，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为正整数时，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系式为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．依题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为正整数；（3）解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场（4）解：设每场获得的利润为SKIPIF1<0（万元）．当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为正整数时，SKIPIF1<0，∵在对称轴的左侧，SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的增大而增大，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大利润为SKIPIF1<0（万元）．当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为正整数时，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的增大而减小，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大利润为SKIPIF1<0（万元），∵SKIPIF1<0，∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数，是函数的综合运用，解题的关键是：理解题意，会求出各函数的解析式，在根据函数的图象及性质解答，题目较难．题型三二次函数的实际问题1．（2024·广东中山·一模）某商家销售某种商品，每件进价为40元．经市场调查发现，该商品一周的销售量SKIPIF1<0（大于0的整数）件与销售单价SKIPIF1<0（不低于50的整数）满足一次函数关系，部分调查数据如表：销售单价SKIPIF1<0（元/件）5055607075…一周的销售量SKIPIF1<0（件）500450400300250…(1)直接写出销售量SKIPIF1<0关于销售单价SKIPIF1<0的函数表达式：SKIPIF1<0．(2)若一周的销售利润为2750元，则销售单价是多少元/件？(3)现商家决定将商品一周的销售利润作为捐款寄往贫困地区，则捐款能达到的最大值是元．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)销售单价是95元/件(3)9000【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，列出方程和函数关系式是解此题的关键．（1）设SKIPIF1<0，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意得出SKIPIF1<0，解方程即可得出答案；（3）设商品一周的销售利润为SKIPIF1<0元，得出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）解：设SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴销售量SKIPIF1<0关于销售单价SKIPIF1<0的函数表达式为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；（2）解：根据题意得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴销售单价是95元/件；（3）解：设商品一周的销售利润为SKIPIF1<0元，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值，最大值为9000元，故答案为：9000．2．（2024·广东东莞·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡SKIPIF1<0上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里SKIPIF1<0表示起跳点A到地面SKIPIF1<0的距离，SKIPIF1<0表示着陆坡SKIPIF1<0的高度，SKIPIF1<0表示着陆坡底端B到点O的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：SKIPIF1<0）与水平距离x（单位：SKIPIF1<0）近似满足函数关系：SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，落点P的水平距离是SKIPIF1<0，竖直高度是SKIPIF1<0．(1)点A的坐标是___________，点P的坐标是___________；(2)求满足的函数关系SKIPIF1<0；(3)运动员再次起跳，运动员的竖直高度y（单位：SKIPIF1<0）与水平距离x（单位：SKIPIF1<0）近似满足函数关系SKIPIF1<0，问：运动员这次起跳着陆点的水平距离___________第一次着陆点的水平距离（填“大于”、“小于”或“等于”）．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)小于【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）SKIPIF1<0，落点SKIPIF1<0的水平距离是SKIPIF1<0，竖直高度是SKIPIF1<0，即可得到点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标；（2）用待定系数法求解即可；（3）由SKIPIF1<0，先求出直线SKIPIF1<0的表达式，再解方程求出直线和抛物线交点的横坐标与40比较即可．【详解】（1）解：SKIPIF1<0，落点P的水平距离是SKIPIF1<0，竖直高度是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0的表达式为SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去负值），∵SKIPIF1<0，∴运动员这次起跳着陆点的水平距离小于第一次着陆点的水平距离，故答案为：小于3．（2024·广东深圳·一模）综合与应用为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线SKIPIF1<0的部分图象，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为SKIPIF1<0米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离SKIPIF1<0米处，绳子刚好经过她的头顶．

【阅读理解】（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）【问题解决】（2）体育龙老师身高SKIPIF1<0米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）他不适合参加本次运动，理由见解析；（3）最多可供SKIPIF1<0人齐跳【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）求出函数的最大值，进行判定即可；（3）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得出最多可供SKIPIF1<0人齐跳．【详解】解：（1）依题意，抛物线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可列方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴抛物线开口向下，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴他不适合参加本次运动；（3）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴最多可供SKIPIF1<0人齐跳．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数解析，求函数的最值，求自变量的值，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式．4．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】项目主题：设计落地窗的遮阳篷项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度SKIPIF1<0，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务．方案1：直角形遮阳篷如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷SKIPIF1<0，点C在SKIPIF1<0的延长线上SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则支撑杆SKIPIF1<0m．(2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与SKIPIF1<0平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与SKIPIF1<0平行)．请求出图2中SKIPIF1<0的长度．方案2：抛物线形遮阳篷(3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将SKIPIF1<0边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，SKIPIF1<0段可伸缩)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长保持不变．若以C为原点，SKIPIF1<0方向为x轴，SKIPIF1<0方向为y轴．①求该二次函数的表达式．②若某时刻太阳光与水平地面夹角SKIPIF1<0的正切值SKIPIF1<0使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点D上升的高度最小值(即点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离)【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）利用勾股定理求SKIPIF1<0即可；（2）由题意得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用正切定义求出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用正切定义求出SKIPIF1<0，得到方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的长度可求．（3）①由题意，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，从而有SKIPIF1<0，设二次函数为：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，求出函数关系式即可；②SKIPIF1<0光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0求出x即可．【详解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；（2）由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）①由F为抛物线顶点，可知SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等腰直角三角形由二次函数对称性可知，SKIPIF1<0设二次函数为：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴y关于x的关系式为：SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0