2024年新沪科版七年级上册数学全册课件 第3章 小结与复习

第3章

一次方程与方程组

小结与复习课程导入

课程讲授习题解析归纳总结一、方程的有关概念1.

方程：含有未知数的等式叫作方程．2.

一元一次方程的概念：只含有____个未知数(元)，未知数的次数都是____，且等式两边都是______的方程叫作一元一次方程．3.

方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解．4.

解方程：根据等式的性质求方程的解的过程．一1整式1.二元一次方程的概念：含有______未知数的_____方程，叫做二元一次方程.2.二元一次方程组的概念：由两个______方程组成的含有______未知数的方程组叫作二元一次方程组.3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解.二、二（三）元一次方程组的有关概念

两个一次一次两个4.三元一次方程组的概念：由三个_____方程组成的含有_______未知数的方程组叫作三元一次方程组.一次三个1.等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数

或同一个整式子，所得结果仍是整式．

如果a＝b，那么a±

＝b±c.2.等式的性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数

(除数不能为0)，所得结果仍是等式．

如果a＝b，那么ac＝___

，＝

(c≠0).三、等式的性质c3.如果

a=b，那么

b=a.（对称性）4.如果

a=b，b=c，那么

a=c.（传递性）bc

___

解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘.(2)去括号：注意括号前的系数与符号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程的左边，

常数项移到方程右边，移项注意要改变符号．(4)合并同类项：把方程化成

ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以x的系数，得

x＝m的形式.四、一元一次方程的解法五、二元一次方程组的解法（1）代入法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法.（2）加减法：把方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法，叫作加减消元法，简称加减法.六、三元一次方程组的解法消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组.1.列方程(组)的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程（组）．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案(包括单位)．[注意]审题是基础，找等量关系是关键.七、用一次方程与方程组解决实际问题2.常见的几种方程类型及等量关系：(1)行程问题中基本量之间的关系：①路程＝速度×时间；②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；③追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．（2）等积变形问题中基本量之间的关系：

①原料面积=成品面积；

②原料体积=成品体积.（3）储蓄问题中基本量之间的关系：

①本金×利率×年数=利息；

②本金+利息=本息和.（4）销售问题中基本量之间的关系：

①实际售价

-

进价(成本)=利润；

②利润÷进价×100%=利润率；

③进价×(1+利润率)=售价；

标价×折扣数÷10=进价.（5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系：

①增长率=原有量×增长率；

现有量=原有量+增长量.

②降低量=原有量×降低率；

现有量=原有量

-

降低量.（6）百分率问题中基本量之间的关系：

①浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量；

②增长率问题：原量×(1+增长率)=增长后的量；

原量×(1-

减少率)=减少后的量.考点一方程（组）的有关概念解析：将x＝2代入方程得1＋a＝－1，解得

a＝－2.例1

如果x=2是方程的解，那么a的值是

(

)A.0B.2C.－2D.－6方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即可得字母参数的值.C1.

若(m－3)x|m|－2＋2＝1是关于x的一元一次方程，则m的值为_____．－3针对训练注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为0.

例2若(a-3)x+y|a|-

2＝9是关于

x，y的二元一次方程，则a的值为______．【解析】由题意，未知数

x的系数为

a-3，所以

a-3≠0.

由未知数

y的次数为|a|

-

2，所以|a|

-

2=1，即

a=±3.但

a≠3.所以

a=

-3.

-3针对训练2.若

xm

-

yn+2

=3是二元一次方程，则mn的值为________．-1考点二等式的基本性质例3

下列说法正确的是

(

)A.x+1=2+2x变形得到1=xB.2x=3x变形得到2=3C.将方程系数化为1，得D.将方程3x=4x－4变形得到x=4D方法总结：利用等式的性质变形，需注意符号问题，同时一定要谨记，利用等式性质2变形，等式两边同时除以一个数时，该数不能为0.3.

下列运用等式的性质，变形正确的是(

)A.若x=y，则x－5=y+5B.若a=b，则ac=bcC.若，则2a=3bD.若x=y，则Ba可能为0针对训练考点三一元一次方程的解法例3

解下列方程：(1)；解：去分母，得3(2x+1)－12=12x－(10x+1).去括号，得6x＋3－12=12x－10x－1.移项，得6x－12x＋10x=－1－3＋12.合并同类项，得4x=8.系数化为1，得x=2.提示：先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易．(2).解：去括号，得

移项，得

合并同类项，得

系数化为1，得

4.

解方程：解：去分母，得

2(x－2)=20－5(x＋3).去括号，得2x－4=20－5x－15.

移项，得2x＋5x=20－15＋4.合并同类项，得7x=9.

系数化为1，得针对训练考点四二（三）元一次方程组的解法例5解下列方程组①②解：由①得，x=3+2y.③

将③代入②中，3(3+2y)-8y=13.

解得

y=-2.将

y=-2代入③中，得x=-1.所以原方程组的解为解：原方程组可化简为由①×2+②，得

11x=22，解得

x=2.将

x=2代入①中，得

8-

y=5，解得

y=3.所以原方程组的解为①②解：设解得所以即解得则原方程组可化为方程组中有分数形式，这类方程组可以利用设参数的方法进行消元.解：①

+③×4，得17x+5y=85.④

③×3-

②，得

7x

-

y=35.⑤

解由④⑤组成的方程组，得

x=5，y=0.

把

x=5，y=0代入③中，得15-

z=18，即z=-3.

所以，原方程组的解为①②③针对训练解：(1)将②代入①中，得1+y+2y=10，解得

y=3.将

y=3代入②中，得所以，原方程的解为5.解下列方程组：①②解：(2)设

则

x=2k，y=3k，z=4k.将其代入方程②中，得2k+3k+4k=45.即

k=5.所以，原方程组的解为①②考点四实际问题与一元一次方程例6

一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为7km/h，水流速度为2km/h，往返一次共用28h，求甲、乙两码头之间的距离．解：设甲、乙两码头之间的距离是xkm.由顺水航行时间＋逆水航行时间＝往返一次共用时间，得解得x=90.答：甲、乙两码头之间的距离是90km.一行程问题方法总结：(1)顺水航行所用时间+逆水航行所用时间=总时间.(2)顺流速度=船在静水中的速度+水流速度.

逆流速度=船在静水中的速度

-

水流速度.6.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可

早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟，

则他家到学校的路程是多少千米？解：设他家到学校的路程是x千米，依题意得解得x=15.

答：他家到学校的路程是15千米.针对训练二等积变形问题例7用直径90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个底面积为125×125mm2，内高81mm的长方体铁盒倒满水时，玻璃杯中的水的高度下降了多少mm？(结果保留整数）等量关系：玻璃杯中倒出水的体积=长方体铁盒的体积．解：设玻璃杯中的水的高度下降了x

mm.依题意得解得x≈199.

答：玻璃杯中的水的高度下降了199mm.针对训练7.

已知一圆柱形容器底面直径为0.5m，高为1.5m，里面盛有1m深的水，将底面直径为0.3m，高为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少？等量关系：圆柱内升高部分的体积=圆形铁块的体积．解：设容器内的水面将升高

xm.依题意得解得x=0.18.

答：容器内的水面将升高0.18m.例8

某农户把手头一笔钱买了年利率为2.89%的3年期国库券.如果他想3年后得到2万元，现应约买这种国库券多少元？三储蓄问题解：设现应购买这种国库券

x元.等量关系：本息和=本金+利息=本金+本金×利率×年数．依题意得x+

2.89%×3x=20000.解得x≈18404

.答：现应约买这种国库券18404元.针对训练 8.小红的父亲在停征利息税后存入了一种年利率为2.43%的两年储蓄，到期后，所得利息正好给小红买了一个价格为121.5元的计算器，那么小红的父亲存入了多少元钱？解：设小红的父亲存入了

x元钱.等量关系：利息=本金×年利率×年数．依题意得2.43%×2x=121.5.解得x=2500

.答：小红的父亲存入了2500元.例9

某种商品零售价每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的9折降价并让利40元，仍可获利10%，则这种商品的进价每件多少元？四销售问题解：设这种商品进货每件为

x元.等量关系：标价×折扣÷10-40=进价×(1+10%)依题意得(1+10%)x=900×9÷10-40

.

解得x=700

.答：这种商品进价每件为700元.方法归纳：（1）售价=标价×折扣÷10.（2）售价=进价+利润=进价×(1+利润率).针对训练9.一件衣服按标价的6折出售，店主可赚22元.已知这件衣服的进价是50元，问标价是多少元？解：设这件衣服的标价为

x元.等量关系：标价×折扣÷10=进价+利润.依题意得

解得x=120

.答：这件衣服的标价为120元.五、比例问题例10

三个正整数的比为1:2:4，它们的和是84，那么这三个数分别是多少？解：设这三个数分别为

x，2x，4x.相等关系：三数之和=84.依题意得x+2x+4x=84

.解得x=12

.所以，x=12，2x=24，4x=48.答：这三个数分别为12，24和48.方法归纳：比例问题一般采用间接设元法，通常设每一份为

x.比例问题中等量关系为：各部分之和=总量.针对训练 10.A、B、C三个公司合作一项工程，计划派出91名技术人员，按公司的投入比例3:4:6，则A、B、C三个公司分别派出的技术人员的人数各是多少？解：设A、B、C三个公司分别派出的技术人员为3x

人、4x

人、6x

人.依题意得3x+4x+6x=91.解得x=7

.所以3x=21，4x=28，6x=42.答：A、B、C三个公司分别派出的技术人员为21人、28人、42人.六和、差、倍、分问题例11

旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的

25%，第二次旅程中用去剩余汽油的

40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1升，求油箱里原有汽油多少升？等量关系：两次所用汽油之和=剩余汽油

-1.

两次所用汽油之和+剩余汽油=原有汽油.解：设油箱中原有的汽油

x

升.依题意得[25%x+(1-25%)x×40%]×2-1=x

.

解得x=10.答：油箱中原有汽油10升.针对训练 11.把一个减法算式里的被减数，减数与差相加，得数是592，已知减数比差的2倍还大2，问减数是多少？解：设差为

x，则减数为2x+2.等量关系：被减数=减数+差.

被减数+减数+差=592.依题意得(x+2x+2)×2=592.

解得x=98.所以减数2x+2=198.答：减数为198.七、百分率问题例12

已知现有含盐

20%

与含盐

8%

的盐水，若需配置含盐

15%

的盐水

300

千克，求这两种盐水各需多少千克？等量关系：含盐20%的盐水质量+含盐8%的盐水质量=300.两种盐水中的含盐量之和=300×15%.解：配置300千克含盐15%的盐水，需含盐20%的盐水

x