人教A版（2019）必修第二册8.5空间直线、平面的平行(精讲)(原卷版+解析)

8.5空间直线、平面的平行（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一线线平行【例1-1】（2022广西）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（

）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB与不平行 D．OB与不一定平行【例1-2】（2022云南）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（

）A．3条 B．4条C．5条 D．6条【一隅三反】1．（2022山东）如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).2（2022黑龙江）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：,,,四点共面.3．（2022甘肃）如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．考点二等角性质【例2-1】（2022北京）已知，，，则（

）A． B．或C． D．或【例2-2】（2022广东省连平县）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）求证：．【一隅三反】1．（2022湖南）下列结论，其中正确的是________(填序号).①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补.③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.2．（2022浙江）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.3．（2022江苏）长方体中，分别为棱的中点.（1）求证：；（2）求证：.考点三线面平行【例3-1】（2022四川）如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．(1)求证：∥平面；(2)若三棱锥的体积为，求的长．【例3-2】（2022河北）如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E、、F分别为棱AD、、AB的中点．证明：直线平面．【例3-3】（2022山东省）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：AF平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.【一隅三反】1．（2022吉林）在正方体中，分别是的中点，则下列说法中错误的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面2．（2022上海）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（

）A．B．C．D．3.（2022山东省）如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；(2)假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.4．（2022山东省）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.考点四面面平行【例4-1】（2022陕西省）如图，在三棱柱中，分别为的中点，．求证：(1)平面；(2)平面平面．【例4-2】．（2022海南）（多选）在正方体中，下列四组面中彼此平行的有（

）A．平面与平面 B．平面与平面C．平面与平面 D．平面与平面【一隅三反】1．（2022北京）如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面：（1）与平面平行的平面为______；（2）与平面平行的平面为______；（3）与平面平行的平面为______．2．（2022山东省）如图：在正方体中，为的中点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求证：平面平面.3（2022山东省）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．(1)求证：∥平面；(2)求证：平面∥平面；(3)设平面与底面的交线为l，求证：．考点五判断定理与性质定理辨析【例5-1】（2022广东）已知为不同的平面，a，b为不同的直线，那么下列条件中能推出与平行的是（

）A．内有无数条直线与平行 B．C．直线，且 D．内任何直线都与平行【例5-2】（2022山东省）已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确的是（

）A．①④ B．①② C．②④ D．③④【一隅三反】1．（2022陕西省）下列条件中能推出平面平面的是（

）A．存在一条直线，，B．存在一条直线，，C．存在两条平行直线，，，，，D．存在两条异面直线，，，，，2．（2022湖北省）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤3．（2022天津）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面．给出下列四个命题：①；

②③；

④．其中真命题是．A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④考点六距离相关问题【例6】（2022山西）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度范围是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023安徽）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（

）A． B． C． D．2（2022甘肃）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则PA1的最小值是（

）A．1 B． C． D．3（2023黑龙江）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（

）A． B． C． D．8.5空间直线、平面的平行（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一线线平行【例1-1】（2022广西）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（

）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB与不平行 D．OB与不一定平行【答案】D【解析】如图，；当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1是不一定平行．故选：D．【例1-2】（2022云南）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（

）A．3条 B．4条C．5条 D．6条【答案】B【解析】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD,BC，A1D1，所以共有4条.故选：B.【一隅三反】1．（2022山东）如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).【答案】①②【解析】根据正方体的结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是是异面直线.故答案为：①②.2（2022黑龙江）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：,,,四点共面.【答案】证明见解析【解析】证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是A1B1C1的中位线，∴GHB1C1，又∵B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四点共面.3．（2022甘肃）如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．【答案】证明见解析【解析】由于分别是长方体的中点，设是的中点，连接，根据长方体的性质可知且，所以四边形是平行四边形.考点二等角性质【例2-1】（2022北京）已知，，，则（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】的两边与的两边分别平行，根据等角定理易知或.故选：B.【例2-2】（2022广东省连平县）如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)∵为正方体．∴，且，又，分别为棱，的中点，∴且，∴四边形为平行四边形，∴且．又且，∴且，∴四边形为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形为平行四边形，∴．同理可得四边形为平行四边形，∴．∵和方向相同，∴．法二：由(1)知四边形为平行四边形，∴．同理可得四边形为平行四边形，∴．又∵，∴，∴．【一隅三反】1．（2022湖南）下列结论，其中正确的是________(填序号).①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.②如果两个角的两边都平行于一个平面，那么这两角相等或互补.③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.【答案】④【解析】根据等角定理可知：对于①：这两个角相等或互补，①错误；对于②、③：无法判定这两个角的两边分别平行，所以无法确定这两角的大小关系，②、③错误；对于④：根据平行线的传递性，④正确；故答案为：④．2．（2022浙江）如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：因为，分别是，的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以.同理可证，又与方向相同，所以.3．（2022江苏）长方体中，分别为棱的中点.（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）如图，取的中点，连接.在矩形中，易得，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以.在矩形中，易得，.所以四边形为平行四边形，所以，所以.（2）因为，，又与的对应边方向相同，所以.考点三线面平行【例3-1】（2022四川）如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．(1)求证：∥平面；(2)若三棱锥的体积为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：连接．∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面；（2）取中点F，连接．∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形．又平面，∴平面，，点E是的中点，∴，∴．【例3-2】（2022河北）如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E、、F分别为棱AD、、AB的中点．证明：直线平面．【答案】证明见解析【解析】证明：如图，取的中点，连接，，因为，所以平面，因此，平面即为平面．连接，，因为，所以四边形为平行四边形，因此，又，所以，而平面，平面，故平面．【例3-3】（2022山东省）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.(1)证明：AF平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【解析】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，.为的中点，，即四边形为平行四边形，.平面平面平面.（2）设，取中点，连接，则在中，分别是的中点，平面平面，平面.与相似，且相似比为，为的三等分点.在点位置时满足平面.即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.【一隅三反】1．（2022吉林）在正方体中，分别是的中点，则下列说法中错误的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】C【解析】如图所示，连接和相交于点O，则O为，的中点.对于A，连接，则,因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，易知,因为平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，因为,所以与平面相交，故C错误；对于D，易知,因为平面,平面，所以平面，故D正确.故选:C.2．（2022上海）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于选项B，如图1，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，B选项不满足题意；对于选项C，如图2，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，C选项不满足题意；对于选项D，如图3，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDNQ，由于ABCD，所以ABNQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，可知D不满足题意；如图4，取BC的中点D，连接QD，因为Q是AC的中点，所以QDAB，由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，A正确.故选：A3.（2022山东省）如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.(1)在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；(2)假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.【答案】(1)存在，(2)7【解析】（1）存在，；理由如下：连接并延长，交于，连接.因为正方形中，，所以;又因为，所以；平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，所以；中，，所以；因为，所以所以.4．（2022山东省）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.【答案】答案表述不唯一)【解析】连接交于O，连接OE，平面平面，平面平面，.又底面为平行四边形，为对角线与的交点，故为的中点,为的中点，故当满足条件:时，面.故答案为:答案表述不唯一)考点四面面平行【例4-1】（2022陕西省）如图，在三棱柱中，分别为的中点，．求证：(1)平面；(2)平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）在三棱柱中，分别为的中点，，平面平面，平面．（2）平面，平面，平面．分别为的中点，，，且．四边形是平行四边形．．又平面平面，平面．又平面，平面平面．【例4-2】．（2022海南）（多选）在正方体中，下列四组面中彼此平行的有（

）A．平面与平面 B．平面与平面C．平面与平面 D．平面与平面【答案】ABC【解析】对于A选项，，平面，平面，则平面，同理可证，平面，因为，平面，平面，所以平面平面，故A正确；对于B选项，，平面，平面，则平面，同理可证，平面，因为，平面，平面，所以平面平面，故B正确；对于C选项，，平面，平面，则平面，同理可证，平面，因为，平面，平面，所以平面平面，故C正确；对于D选项，设，则平面且平面，设，则平面且平面，所以平面平面，故两个平面相交，故D错误.故选：ABC.【一隅三反】1．（2022北京）如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面：（1）与平面平行的平面为______；（2）与平面平行的平面为______；（3）与平面平行的平面为______．【答案】（1）平面

（2）平面

（3）平面【解析】因为为长方体，所以平面∥平面，平面∥平面，同时∥，∥，又因为平面，平面，所以∥面，∥平面，因为，所以平面∥平面.故答案为：①平面；②平面；③平面.2．（2022山东省）如图：在正方体中，为的中点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求证：平面平面.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】（1）证明：设，接，在正方体中，四边形是正方形，是中点，是的中点，，平面平面平面；（2）证明：为的中点，为的中点，，四边形为平行四边形，，又平面平面平面，由（1）知平面平面平面，平面平面.3（2022山东省）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．(1)求证：∥平面；(2)求证：平面∥平面；(3)设平面与底面的交线为l，求证：．【答案】证明见解析【解析】（1）取的中点，连接，∵是四棱柱，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又平面平面，∴平面．（2）∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面平面，∴平面，由（1）得平面且，平面，∴平面平面．（3）由（2）得：平面，又平面，平面平面，∴．考点五判断定理与性质定理辨析【例5-1】（2022广东）已知为不同的平面，a，b为不同的直线，那么下列条件中能推出与平行的是（

）A．内有无数条直线与平行 B．C．直线，且 D．内任何直线都与平行【答案】D【解析】对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或平行，故A错误；对于B，若，则与相交或平行，故B错误；对于C，若直线，且，则与相交或平行，故C错误；对于D，若内任何直线都与平行，则与平行，故D正确.故选：D.【例5-2】（2022山东省）已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确的是（

）A．①④ B．①② C．②④ D．③④【答案】C【解析】对①，，则，可以平行、相交或异面，故①不正确；对②，根据平行线的传递性，可知②正确；对③，，则或，故③不正确；对④，根据线面平行的判定定理，可知④正确．故选：C【一隅三反】1．（2022陕西省）下列条件中能推出平面平面的是（

）A．存在一条直线，，B．存在一条直线，，C．存在两条平行直线，，，，，D．存在两条异面直线，，，，，【答案】D【解析】A.如图所示：，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；B.如图所示：，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；C.如图所示：，存在两条平行直线，，，，，，但平面与平面相交，故错误；D.如图所示：，在平面内过b上一点作，则，又，且，所以，故正确；故选：D2．（2022湖北省）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【解析】①，，由平行公理4得，正确；②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；③，则或，故错误；④，；则或，故错误；⑤，，，由线面平行的判定定理可得．故选：A.3．（2022天津）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个