数列-历届高考真题试题

数列--历届高考真题

一、解答题

1.（2019•浙江高考真题）设等差数列｛%｝的前〃项和为S.，4=4,4=$3,数列也」

满足：对每“eN*，S,+〃,S.M+d，S“+2+2成等比数列.

（1）求数列｛4｝,｛〃,｝的通项公式;

录,〃eN*,证明：C,+C++G<26,〃GN*.

(2)记C.=।2

2.（2019・北京高考真题（文））设｛斯｝是等差数列,ai=-10,且改+10,的+8,四+6成

等比数列.

（1）求｛斯｝的通项公式：

（II）记｛6｝的前”项和为S,,求S”的最小值.

3.（2019•天津高考真题（文））设｛4｝是等差数列，｛%｝是等比数列，公比大于0,

已知q=4=3,b?=%,4=4%+3.

（I）求｛4｝和也｝的通项公式；

1,〃为奇数，

（II）设数列｛&｝满足c〃〃为偶数，求“£+a2c2++4/2“（〃eN）

.2

4.（2019•全国高考真题（理））

已知数列｛诙｝和｛仇｝满足q=1,*1=0,4a“+]=3a“一切+4,4bn+]=3bn-a„-4.

（1）证明：｛斯+小｝是等比数列，｛斯-儿｝是等差数列；

（2）求｛〃“｝和｛瓦｝的通项公式.

5.（2019•全国高考真题（文））记S,为等差数列｛斯｝的前"项和，已知29=-%.

（1）若。3=4,求｛%｝的通项公式；

⑵若0>0,求使得SN”"的〃的取值范围.

6.（2010・山东高考真题（文））（本小题满分12分）已知等差数列｛a,,｝满足：4=7,

%+%=26,{a“}的前〃项和为S”.

(1)求。“及s”；

1..

⑵令以=-^―j-\nJV*)，求数列出｝的前n项和7；.

7.(2017.全国高考真题(文))已知等差数列｛aj的前n项和为立,等比数列｛%｝的前"项

和为且%=1,瓦=1,a2+b2=4.

(1)若(13+63=7,求｛为｝的通项公式；

(2)若0=13,求S5.

8.(2018•天津高考真题(理))(2018年天津卷理)设｛a“｝是等比数列，公比大于0,

其前n项和为Sn(n€N*),｛%｝是等差数列.已知为=1,a3=a2+2,a4=b3+

°5，=°4+2b6.

(I)求｛即｝和｛b｝的通项公式；

(II)设数列｛S4｝的前n项和为7(neN*),

(i)求

(ii)证明》'1"—2(n€N").

/(k+l)(k+2)n+2

9.(2018•天津高考真题(文))设｛%｝是等差数列，其前〃项和为5.(〃CN")；｛b,,｝

是等比数列，公比大于0,其前〃项和为7；(〃CN*).已知

b\~\,%=62+2,%=。3+45，4>5=«4+2«6-

(I)求S,和Tn；

(II)若S,+(/+K+…+〃)=an+4b„,求正整数〃的值.

10.(2018•全国高考真题(文))已知数列｛an｝满足四=l,nan+1=2(n+1河，设匕=譬.

(1)求瓦，b2>b3-,

(2)判断数列｛九｝是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛a”｝的通项公式.

11.(2018•全国高考真题(理))记立为等差数列｛册｝的前ri项和，已知%=-7,S3=-15.

(1)求｛6｝的通项公式：

(2)求与，并求治的最小值.

12.(2017•上海高考真题)根据预测，某地第ri(neN*)个月共享单车的投放量和损失

量分别为乙和匕(单位:辆)，

其中刈="+5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个

\XUZTIi-/U,TlN1"

月的

试卷第2页，总20页

累计投放量与累计损失量的差.

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量方=-4（n-46产+8800（单

位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点

的单车容纳量？

13.（2017•天津高考真题（理））已知｛即｝为等差数列，前〃项和为，（neN*）,｛匕｝是

首项为2的等比数列，且公比大于0,

Z?2+力3=12,Z?3=—2。],5]]=11匕4.

（I）求｛Qn｝和｛“｝的通项公式；

（II）求数列｛做九九｝的前一项和（neN*>

14.（2015♦重庆高考真题（文））已知等差数列｛an｝满足=2,前3项和S3=*

（1）求｛a"的通项公式

（2）设等比数列｛b｝满足瓦=%,b4=a15,求｛匕｝的通项公式屏及｛%｝的前n项和

15.（2017•山东高考真题（文））已知｛a〃｝是各项均为正数的等比数列，且

4+4=6,4a2=%•

（I）求数列｛a｝通项公式；

'b

（II）｛&,）为各项非零的等差数列,其前n项和S,已知S，M=bnbn+｝,求数列1的前〃

项和T„.

16.（2017•全国高考真题（文））设数列｛aj满足为+3a2+・“+（2n-l）an=2n.

（1）求｛a"的通项公式；

（2）求数列｛奈?｝的前n项和.

17.（2017•全国高考真题（文））记S为等比数列｛。”｝的前〃项和，已知S=2,£=-6.

（1）求｛《,｝的通项公式；

（2）求S,并判断以“S“,是否成等差数列.

18.（2015・湖北高考真题（文））设等差数列｛为｝的公差为4前〃项和为5.，等比数

列也｝的公比为已知〃=4，4=2,q=d,S|0=100.

（1）求数列｛q｝,｛〃,｝的通项公式；

（II）当"〉1时，记c“斗,求数列｛5｝的前鹿项和北.

19.（2011•辽宁高考真题（理））已知等差数列｛斯｝满足“2=0,恁+的=-10.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

⑵求数列｛含，的前"项和.

20.（2015,湖南高考真题（文））（本小题满分13分）设数列｛每｝的前n项和为%,已知

—

%=La2=2,目.即+13Sn

—Sn+i+3,（neN*）,

（I）证明：Cln+2=3dn;

（II）求S*

21.（2015・四川高考真题（理））设数列｛册｝的前葭项和又=2即一。1，且%,。2+1，。3成

等差数列.

（1）求数列｛aj的通项公式；

（2）记数列｛2｝前n项和〃，求使-1|<就成立的n的最小值。

22.（2015•四川高考真题（文））（本小题满分12分）设数列｛an｝（n=l,2,3...）的前

n项和Sn满足Sn=2an—a?,且a1，az+l,a?成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（II）设数歹羽三｝的前n项和为Tn，求Tn.

an

23.（2015・湖北高考真题（理））设等差数列｛4｝的公差为d,前〃项和为5.，等比数

列也｝的公比为已知乙=。［,£>2=2,q-d,S10=100.

（D求数列｛%｝,也,｝的通项公式；

（2）当d>l时，记q=今，求数列｛c；J的前几项和

24.（2015•安徽高考真题（文））已知数列｛%｝是递增的等比数列，且

%+%=9,。2。3=8.

（I）求数列｛%｝的通项公式；

（II）设S„为数歹|J｛《,｝的前n项和，b"=册一，求数列｛2｝的前n项和T„.

25.（2015・广东高考真题（文））（本小题满分14分）设数列｛an｝的前n项和为S叱ziEN*.已

知出=1,a2=|,a3=I，且当nN2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+i+5几-1.

试卷第4页，总20页

（1）求。4的值；

（2）证明：｛an+i-ga"为等比数列；

（3）求数列｛%｝的通项公式.

26.（2015•山东高考真题（理））12015高考山东，理18］设数列｛%｝的前n项和为S”.

已知2s,=3"+3.

（I）求｛%｝的通项公式；

（II）若数列也｝满足ajbn=log3a„,求低｝的前n项和7；.

27.（2015•重庆高考真题（理））（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）

2

在数列｛4｝中，4=3,an+lan+AaII+l+//a„=O（/IGA^+）

（1）若;I=O,〃=一2,求数列｛凡｝的通项公式；

⑵若丸=；（%eN+£N2）,〃=—1,证明：2+-l-<^+1<2+—

ACQIJLK>o十1

28.（2015•上海高考真题（文））（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2

小题6分，第3小题6分.

已知数列｛*｝与｛/｝满足=2（6曰一以）

（1）若％=3”+5,且q=1,求数列｛4｝的通项公式；

（2）设｛4｝的第％项是最大项，即a、>an（neN,）,求证：数列｛4｝的第％项是最

大项；

（3）设4=32<0,求幺的取值范围，使得对任意加，neS",

。0,且--,6^.

4<6）

29.（2015•全国高考真题（理AS.为数列｛斯｝的前几项和.已知际>0,W+2即=45"+3.

（I）求｛an｝的通项公式；

（II）设&=」一,求数列｛%｝的前n项和.

anan+i

30.（2015•浙江高考真题（文））已知数列｛an｝和｛与｝满足，%=2也=l,an+1=2ali（nG

N*）,

111

bl+5b2+…+7871=bn+!-eN*.

（1）求0n与bn；

（2）记数列｛a"n｝的前n项和为〃，求

31.（206福建高考真题（文））等差数列｛4｝中,4=4，a4+aj=l5.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设勿=2"产+〃，求乙+2+。+…+40的值.

32.（2014.四川高考真题（理））设等差数列｛%｝的公差为d,点（an,%）在函数f（x）=2》的

图象上（n€N*）.

（1）若%=-2,点（。8,4b7）在函数/（%）的图象上,求数列｛an｝的前几项和Sn；

（2）若为=1,函数/（X）的图象在点9232）处的切线在X轴上的截距为2-七,

求数列｛詈｝的前n项和7n.

33.（2014•全国高考真题（理））已知数列｛册｝的前n项和为%,叼=1,册夕0,anan+i=

ASn-l,其中;I为常数.

（1）证明：an+2—an=A；

（2）是否存在;I,使得｛an｝为等差数列？并说明理由.

34.（2014.广东高考真题（理））设数列｛%｝的前〃项和为S,，满足

Sn=2次z〃+i—3?—4,nGN",且邑=15.

（1）求q、%、%的值；

（2）求数列｛%｝的通项公式.

35.（2014.山东高考真题（理））已知等差数列｛%｝的公差为2,前〃项和为S,,,且

-应,S4成等比数列.

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）令％=（-1广'±-,求数列出｝的前〃项和

anan+\

36.（2014•全国高考真题（文））已知｛an｝是递增的等差数列,a2",是方程X'-5X+6=0

的根。

（I）求｛5｝的通项公式；

（II）求数列馈｝的前九项和.

试卷第6页，总20页

37.(2014.江西高考真题(文))

已知数列｛4｝的前〃项和5„=即万二，〃wN*•

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)证明：对任意”〉1,都有mGN*，使得4，4，%成等比数列.

38.(2014.北京高考真题(理))对于数对序列P：(q,4),(外也)，，(%也)，记

£(2)=4+4，Tk(P)=bk+Max｛T1.^(P),+a,++ak](2<k<n),其中

Max伍_i(P)，4+%++4｝表示(_](P)和a,+/++4两个数中最大的数.

(1)对于数对序列P：(2,5),(4,1),求7](尸),7；(尸)的值；

(2)记冽为a,b，c,d四个数中最小的数，对于由两个数对3,»,(c,4)组成的数

对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和阳=d两种情况比较

7；(P)和心(P)的大小；

(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一

个数对序列尸使4(P)最小，并写出[(P)的值.(只需写出结论).

39.(2014.湖南高考真题(文))已知数列上｝的前〃项和5,=三土二，"w'T

(1)求数列的通项公式；

(2)设a=24+(—1)”4,求数列0J的前2”项和.

40.(2014•天津高考真题(理))已知函数/(x)=cosx-sin%+y-^cos2%+^,

xwR.

(I)求/(x)的最小正周期；

jrjr

(II)求/(x)在一1,1上的最小值和最大值.

41.(2014•天津高考真题(理))已知9和〃均为给定的大于1的自然数.设集合

n

M=｛0,1,2,集合A=｛x|x=X|+工20++xnq~',xieM,z=l,2,,〃｝.

(1)当4=2,〃=3时，用列举法表示集合A；

nn

(2)设sjeA,5=o1+a2q++anq~'-t=by+b2q++bnq~',其中

a^bf,i=1,2,，机证明：若a“<b”,则s<r.

42.（2014・重庆高考真题（文））（已知1J是首项为1,公差为2的等差数列，&表示

U的前力项和.

（1）求a”及5”；

（2）设仇｝是首项为2的等比数列，公比9满足/-（q+l）q+S4=0,求阮｝的通

项公式及其前〃项和晨.

43.（2014•浙江高考真题（文））已知等差数列｛q｝的公差d>0,设｛%｝的前”项和

为S“，4=1,S2-S3=36

（1）求I及S.；

（2）求人左（％左eN*）的值，使得4,,+am+i+。“,+2++4”+&=65.

44.（2011•福建高考真题（文））已知等差数列｛a]中，ai=l,a3=-3.

（I）求数列｛an｝的通项公式；

（II）若数列｛an｝的前k项和Sk=-35,求k的值.

n

45.（2011•天津高考真题（文））已知数列｛a“｝与｛bn｝满足bn+ian+bnan+产（-2）+l,bn=

以'；-L）"1n《N*,且ai=2.

2

（1）求a2,a3的值

（2）设Cn=a2n+1-a2n.”n^N*,证明｛.｝是等比数列

S]SnS2n-1S2l1*

（3）设Sn为｛an｝的前n项和，证明+…r与n-°（nGN）

ala2a2n-la2n3

46.（201（重庆高考真题（文））（13分）（2011•重庆）设｛aj是公比为正数的等比数列

a1=2,a3=az+4.

（1）求｛an｝的通项公式；

（H）设｛1｝是首项为1,公差为2的等差数列，求数列｛an+b.｝的前n项和S»

47.（2011•浙江高考真题（理））已知公差不为0的等差数列｛a。｝的首项如为a（a《R）

设数列的前n项和为Sn，且工，—,一L成等比数列.

&2a4

（1）求数列｛an｝的通项公式及S"

试卷第8页，总20页

（2）记人产-^-+春+春+...+-^-,Bn=-—，当nN2时，试比较An与Bn

ba

lb3sna1a22»-i

的大小.

48.（2013・重庆高考真题（文））设数列｛aj满足：ai=l,a„+,=3an,n£N+.

（1）求｛aj的通项公式及前n项和Sn；

（2）已知｛bn｝是等差数列，Tn为前n项和，且b|=a2,b3-ai+a2+a3,求T?。.

49.（2013・湖北高考真题（理））已知等比数列｛aj满足:|a2-a3|=10,aia2a3=125.

（1）求数列｛aj的通项公式；

（2）是否存在正整数m,使得‘-二+…若存在，求m的最小值；若不存

ala2am

在，说明理由.

2

50.（2013•江西高考真题（文））正项数列｛小｝满足：a,,-（2n-1）an-2n=0.

（1）求数列｛斯｝的通项公式许；

1

（2）令与=;~八一，求数列仍“｝的前”项和T.

（〃+1）即n

51.（2013•全国高考真题（文））已知等差数列｛4｝的前〃项和S,满足S3=0,S5=-5。

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）求数列*—-----的前〃项和。

52.（2013•上海高考真题（文））已知函数f（x）=2-|x|,无穷数列｛丽｝满足an+i=f（an）,

n£N*

（1）若ai=0,求a2,a3，沏；

（2）若ai>0,且a"a2,a3成等比数列，求如的值

（3）是否存在a”使得a"a2,…，即，…成等差数列？若存在，求出所有这样的小，

若不存在，说明理由.

53.（2013•福建高考真题（文））已知等差数列｛q｝的公差d=l,前〃项和为S”.

（I）若1，4，生成等比数列，求q；

（II）若S5>4%求q的取值范围。

54.（2013•安徽高考真题（理））设函数

4（x）=-l+x+:+二+...+L（x己出,〃2?/*），证明：

2*3*

2..

（I）对每个〃e_V）存在唯一的-J.满足人人）=0；

（II）对任意pwS，由（I）中不构成的数列｛/｝满足叱工兀一工〜个工.

n

55.（2009・山东高考真题（文））

等比数列｛4｝的前〃项和为5,，已知对任意的〃eN+，点（〃,S.），均在函数

y=〃+rS>0且。工1功,厂均为常数）的图像上。

（1）求厂的值；

〃+1

（11）当斤2时，记2=n（〃wN+）,求数列也｝的前〃项和小

56.（2012•陕西高考真题（理））设｛q｝的公比不为1的等比数列，其前葭项和为S”，

且a5M3M4成等差数列。

（1）求数列｛q｝的公比；（2）证明：对任意AeM，Sk+2,Sk,5什]成等差数列

57.（2012・重庆高考真题（文））已知｛4｝为等差数列，且4+%=8,%+%=12,（I）

求数列｛%｝的通项公式；（H）记｛4｝的前〃项和为S“，若q,%,S"2成等比数列，

求正整数%的值。

58.（2012•山东高考真题（理））在等差数列｛a“｝中，a^+a4+a5—84,%=73.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）对任意〃?eN*,将数列｛q,｝中落入区间（9"',92”）内的项的个数记为粼，求数列

｛粼｝的前加项和5,“.

59.（2011•天津高考真题（理））

已知数列｛%｝与也｝满足：

b“a“+。,用+ba=0,b=@N*，且4=2,%=4.

ll+]II+2n。

(I)求生,。4，。5的值；

(H)设j=%,_]+4“+],〃eN*,证明：｛%｝是等比数列；

4〃S7

(III)设=々2+4---卜％MeN*,证明：＜—(neN).

试卷第io页，总20页

60.（2011•江西高考真题（理））已知两个等比数列｛k｝,｛4,｝,满足

%=a（a>0）,/>|一q=l,b2-a2=2也一%=3.

（1）若4=1,求数列｛qj的通项公式；

（2）若数列｛qj唯一，求"的值.

61.（2011•江苏高考真题）设整数九34,尸（a,b）是平面直角坐标系xOy中的点，其中

a,bE｛1,2,3,­­•,n）,a>b

（1）记/n为满足。-8=3的点P的个数，求/n；

（2）记8n为满足*a-b）是整数的点P的个数，求8n

62.（2007・北京高考真题（理））数列｛%｝中，4=2,an+t^an+cn（C是常数，

〃=1,2,3,）,且/，a2,%成公比不为1的等比数列.

（I）求c的值；

（II）求｛4｝的通项公式.

63.（2007•安徽高考真题（理））（本小题满分14分）某国采用养老储备金制度.公民在就

业的第一年就交纳养老储备金,数目为“”以后每年交纳的数目均比上一年增加成公0）,

因此，历年所交纳的储务金数目的，”2,…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国

家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利

率为r（，>0）,那么，在第〃年末，第一年所交纳的储备金就变为苗（1+r）"T,第二

年所交纳的储备金就变为“2（l+r）……，以7；表示到第八年末所累计的储备金

总额.

（I）写出着,与（论2）的递推关系式；

（II）求证：T„=An+B,„其中｛A,J是一个等比数列，｛B,J是一个等差数列.

64.（2010•山东高考真题（文））已知等差数列｛时｝满足:。3=7,。$+。7=26.｛斯｝的

前n项和为S九.

（I）求册及Sn；

（II）令“=-1-（neN+），求数列｛砥｝的前n项和加

un-1

65.（2008•江西高考真题（文））等差数列｛4｝的各项均为正数，q=3,前〃项和为S“，

何｝为等比数列,々=1,且62s2=64,b3s3=960.

,111

⑴求％与勿；（2）求和：—+—++—.

J〕o23〃

66.（2010•天津高考真题（理））（本小题满分14分）

在数列｛a,J与也,｝中，/=I,仇=4,数列｛a,,｝的前几项和5“满足

科+i-（〃+3）S“=0,2a,用为bn与bn+l的等比中项，〃eN*.

（I）求W，%的值；

（II）求数列｛4｝与也,｝的通项公式；

（III）设7；=（一1）"屹+…+（T）"〃，〃GN*.证明凰＜2〃2,〃23.

67.（2009•山东高考真题（理））

等比数列｛4｝的前八项和为S“，已知对任意的〃GN+，点（〃,"），均在函数

丁=〃+«力＞0且6#1,仇广均为常数）的图像上。

（1）求厂的值；

+

（11）当6=2时，记bn=2（log2an+1）（/7GN*）,证明：对任意的neN.不等式

4+1匕2+1绰口〉病"成立。

bib22

68.（2009•全国高考真题（理））在数列｛叫中，q=1,。,用=（l+/）a.+竽

（I）设〃=%，求数列也｝的通项公式

（II）求数列｛4｝的前〃项和s.

69.（2008•宁夏高考真题（理））已知数列｛&｝是一个等差数列,且。2=1，%=—5.

（1）求｛勾｝的通项

⑵求｛%｝前〃项和S”的最大值.

70.（2009・湖北高考真题（文））己知｛aj是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6

=55,a2+a7=16.

（I）求数列｛an｝的通项公式:

（II）若数列｛a“｝和数列｛bn｝满足等式：a/g+*+2+…多（〃为正整数），求数

列｛bn｝的前n项和Sn

71.（2009•全国高考真题（理））

试卷第12页，总20页

设数歹U{a,,}的前〃项和为s„,已知q=1,S,!+l=4a„+2

(I)设包=an+l-2an,证明数列也』是等比数列.

(II)求数列｛a“｝的通项公式.

72.(2009•全国高考真题(文))

已知等差数列｛“”｝中，a：%=-16M$+%=0.求｛a”｝前n项和s”.

73.(2009•重庆高考真题(文))已知％=L4=4,a“+2=4。计］+2=色也,"eN*.

%

(I)求4也也的值;

(H)设c,=d%，S,为数列｛%｝的前〃项和，求证：5„>17n；

(III)求证：

74.(2019•江苏高考真题)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.

(1)已知等比数列｛%｝满足：=0,求证:数列｛〃“｝为"M—数

列”；

122

(2)已知数列回｝满足:4=1,丁=丁一「，其中S,为数列｛儿)的前〃项和.

S“b„%

①求数列｛儿｝的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M—数列”｛金｝。，对任意正整数晨当上〈,〃时，都有

。沸0%］成立，求，〃的最大值.

75.(2019•天津高考真题(理))设｛%｝是等差数列，也｝是等比数列.已知

4=4,4=6也=勿2一2也=2%+4.

(I)求｛%｝和也｝的通项公式；

,1fl,2k<n<2k+i,

(H)设数列｛q｝满足q=l,c,,=,其中AGN*.

bk.n=2,

(i)求数列｛4，卜2,-1)｝的通项公式；

2”

(ii)求£g£.(nGN).

i=l

76.(2018・上海高考真题)给定无穷数列｛册｝,若无穷数列协九｝满足：对任意nCN*,

都有|bn-an|<1,则称｛%｝与｛即｝“接近”.

(1)设｛an｝是首项为1,公比为押等比数列，为=%+1+1，?1€叱，判断数列｛4｝是

否

与｛%J接近，并说明理由；

(2)设数列｛aj的前四项为：%=1,a2=2,a3=4,a4=8,｛1｝是一个与｛a"接'

近的数列，记集合M=｛x|x=瓦，i=l,2,3,4｝,求M中元素的个数?n；

(3)已知｛厮｝是公差为d的等差数歹!若存在数列｛蜃｝满足:｛勾｝与接近，且在庆-瓦,

b3-b2,6201-Zoo中至少有100个为正数，求d的取值范围.

77.(2017•山东高考真题(理))已知｛七｝是各项均为正数的等比数列，且

%+毛=3,Xy—x2=2

(I)求数列｛玉｝的通项公式；

(II)如图，在平面直角坐标系X。中，依次连接点

P(3%.岑+(x“+〃+)得到折线片8…月出，求由该折线与直线y=0,

%=玉E=玉+1所围成的区域的面积看.

78.(2016♦天津高考真题(理))已知｛an｝是各项均为正数的等差数列，公差为d,对任

意的neN*,b”是即和即+i的等比中项.

(I)设7=居+i-波,neN*,求证:数列｛%｝是等差数列；

(II)设a1=d,7n=悦neN*,求证：〈点.

79.(2016•江苏高考真题)记0=｛1,2,,100｝.对数列｛4｝(〃€N*)和U的子集T,

若7=0,定义Sr=O；若丁;"由，，4｝，定义=3+4,++4.例如：

7二｛1,3,66｝时，57=囚+%+46,现设｛。〃｝(〃£%*)是公比为3的等比数列，且当

T=｛2,4｝时，Sr=30.

试卷第14页，总20页

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵对任意正整数%(1必4100),若Tq｛1,2,次｝,求证：sr<ak+i；

(3)设求证：Sc+SCryD>2SD.

80.(2016•浙江高考真题(理))设数列｛乐｝满足1即一巴产I式1，n€/V*.

71

(1)证明：|an|>2T(|%|-2),neN*：

n

(II)若|即|<(|),nGN*,证明：|an|<2,n€N*.

81.(2016•上海高考真题(文))对于无穷数列｛a同与具笃｝,记人二⑶衿厮，n&N*),

B=｛x|x=bn,n€N*｝,若同时满足条件：①｛a",｛%｝均单调递增；②4nB=0且

AUB=N*,则称｛册｝与｛5｝是无穷互补数列.

(1)若0n=2n-l,bn=4n-2,判断｛an｝与｛d｝是否为无穷互补数列,并说明理由；

(2)若0n=2"且｛册｝与｛%｝是无穷互补数列，求数列｛%｝的前16项的和；

(3)若｛%｝与｛%｝是无穷互补数列，｛aj为等差数列且的6=36,求｛时｝与｛砥｝的通项

公式.

82.(2016•四川高考真题(理))已知数列｛厮｝的首项为1,Sn为数列｛a"的前n项和,

Sn+1=qSn+1,其中q>0,n6N*.

(I)若2a243,。2+2成等差数列，求数列｛aj的通项公式；

(H)设双曲线/—白1的离心率为的，且02=|，证明：e1+©2+…+en>黑.

83.(2016•四川高考真题(文))已知数列｛a。｝的首项为1,S0为数列｛a"的前n项和,

Sn+i=qSn+L其中q>0,n£N*.

(I)若a2,a3,a?+a3成等差数列，求数列｛aj的通项公式；

2

(II)设双曲线--靠=1的离心率为en,且e2=2,求ej+e22+.••+e/

84.(206山东高考真题(文))已知数列｛4｝是首项为正数的等差数列，数列

1

--------\的前〃项和为-~YI.

〔。“,小2/7+1

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设々=(4+1>2%,求数列｛〃｝的前〃项和北.

85.(2015•江苏高考真题)(本小题满分16分)设a1,a2，a3，a4是各项为正数且公差为

d(d*0)的等差数列

(1)证明：2\2,2%，2々依次成等比数列；

(2)是否存在的,d,使得四,。22,。33,。44依次成等比数列，并说明理由；

(3)是否存在内,d及正整数均匕使得可#「：可2<二,依次成等比数列，并说明

理由.

86.(2015•陕西高考真题(理))(本小题满分12分)设加(%)是等比数列1,X,

x71的各项和，其中久>0,n&N,n>2.

(1)证明：函数Fn(x)=④(x)-2在G，l)内有且仅有一个零点(记为xn),且

3=；+济+】；

(II)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为

g“(x),比较⑥(x)

与外(乃的大小，并加以证明•

87.(2015・湖南高考真题(文))(本小题满分13分)函数/(x)=ae2cosx(xG[0,+oo),

记为/'(x)的从小到大的第n(neN*)个极值点。

(I)证明：数列｛/(孙)｝是等比数列；

(II)若对一切neN*,如W|/(Xn)l恒成立，求a的取值范围。

88.(2015•天津高考真题(理))已知数列｛即｝满足即+2=qa&l为实数,且q力1),ne

N*,为=1,=2,且a2+a3,a3+a4,a4+成等差数列.

(I)求q的值和｛斯｝的通项公式；

(II)设以=皿出,neN*,求数列｛3｝的前n项和.

a2n-l

89.(2014•江苏高考真题)(满分16分)

设数列｛a,,｝的前n项和为5“.若对任意的正整数n，总存在正整数m,使得5„=am,

则称｛a,,｝是“万数列”.

(1)若数列｛4｝的前〃项和为Sn=2"(〃eN*),证明：｛4｝是“H数列

⑵设｛4｝是等差数列，其首项4=1，公差d<0,若｛a,,｝是““数列”，求d的值；

(3)证明：对任意的等差数列｛%｝,总存在两个“〃数列”｛〃｝和｛c“｝,使得

4=勿+%(〃eN*)成立.

90.(2014.上海高考真题(理))(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题满分3

分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

试卷第16页，总20页

已知数列｛an｝满足，斯<an+i<3an,neN*,即=1.

（1）若&2=2,。3=X,=9,求X的取值范围；

（2）若｛。„｝是公比为q等比数列，Sn=ar+a2A---Fan,|sn<Sn+1<3Sn,nGN*，求

q的取值范围；

（3）若的,。2,…，0成等差数列，且的+。2+…+/=1000,求正整数k的最大值,

以及k取最大值时相应数列内,a2，…，心的公差.

91.（2014.上海高考真题（文））（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3

分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

已知数歹U｛4｝满足<4<4用=1.

（1）若％=2,%=x,q=9，求x的取值范围；

（2）若｛4｝是等比数列，且勺正整数机的最小值，以及加取最小值时相

应｛%｝的仅比；

（3）若4,%,,q0G成等差数列，求数列4,4,，“⑼的公差的取值范围.

92.（2014.全国高考真题（理））已知数列｛4｝满足卬=1,。,用=3q+l.

⑴证明｛4“+；｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式；

1113

（2）证明：-+—+

4a2an2

93.（2014.全国高考真题（理））等差数列｛4｝的前n项和为S"，己知q=10,生为

整数，且S.WS「

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）设d=」一,求数列也｝的前n项和北.

94.（2014.浙江高考真题（理））已知数列以｝和'｝满足&化…a,=（砌〃3）.

若为等比数列，且%=2/3=6+&.

（1）求4与6”；

(2)设记数列除｝的前〃项和为“

(i)求工；

(ii)求正整数底使得对任意〃j\”,均有S：2S「

95.(2014•安徽高考真题(文))数列｛4｝满足％=1,〃4+]=5+1)q+〃。2+1),

neN*.

(1)证明：数列｛%｝是等差数列；

n

(2)设勿=3"?，求数列也,｝的前〃项和sn.

96.(2014.重庆高考真题(理))设q=l,a“+I="a；_2q,+2+.(〃eN*)

(1)若b=l,求4，%及数列｛%｝的通项公式；

(2)若/?=-1,问：是否存在实数c使得生“<。<生,用对所有〃eN*成立？证明你

的结论.

n

97.(2014•湖南高考真题(理))已知数列｛an｝满足%=1,\an+1-an\=p,neN*.

(1)若｛an｝为递增数列，且的,2a2,3a3成等差数列，求P的值；

(2)若p=a且an_J是递增数列,Qn｝是递减数列,求数列｛断｝的通项公式.

98.(2011•湖北高考真题(文))成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分

别加上2、5、13后成为等比数列｛b等中的b3、b4、b5.

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(II)数列｛bn｝的前n项和为Sn，求证：数列｛Sn+5｝是等比数列.

4

99.(2011.重庆高考真题(理))设实数数列｛aj的前n项和S”满足Sn+1=an+lSn(neN*).

(1)若a)S2,-2a2成等比数列，求S2和a3.

(II)求证:对k>3有0<a<-.

k3

100.(2011・湖北高考真题(理)