数学分析二册答案幂级数

§幂级数的收敛半径与收敛域1．求下列各幂级数的收敛域：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0；（14）SKIPIF1<0；（15）SKIPIF1<0；（16）SKIPIF1<0．解（1）由SKIPIF1<0，故收敛半径SKIPIF1<0,收敛域为SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0，故收敛半径SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，级数为SKIPIF1<0，发散；在SKIPIF1<0，级数为SKIPIF1<0，由交错级数的Leibniz判别法，知其收敛，因而收敛域为SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0，所以收敛半径SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0级数发散，因此收敛域为SKIPIF1<0．（4）由SKIPIF1<0，知收敛半径SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，级数为SKIPIF1<0绝对收敛，故收敛域为SKIPIF1<0.（5）由SKIPIF1<0，故收敛半径SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，级数SKIPIF1<0，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，前一项级数发散，后一项级数收敛，因此级数SKIPIF1<0发散；同样，SKIPIF1<0时，级数为SKIPIF1<0，也可拆成两部分，前一部分为SKIPIF1<0，另一部分SKIPIF1<0，前者发散，后者绝对收敛，因此级数SKIPIF1<0发散，所以收敛区域是SKIPIF1<0．（6）SKIPIF1<0，所以级数的收敛半径是SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，级数为SKIPIF1<0发散；当SKIPIF1<0时，级数为SKIPIF1<0收敛．因此，收敛域为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.（7）SKIPIF1<0，所以收敛半径SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，级数为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故由Raabe判别法，知级数发散；当SKIPIF1<0时，级数为SKIPIF1<0（实际上，由其绝对收敛立知其收敛），这是交错级数，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0单调下降，且由SKIPIF1<0（用数学归纳法证之）及夹迫性知SKIPIF1<0，由Leibniz判别法，知SKIPIF1<0收敛，所以收敛域为SKIPIF1<0．（8）SKIPIF1<0，所以收敛半径SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故级数在SKIPIF1<0发散，因而收敛域为SKIPIF1<0．（9）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，级数为SKIPIF1<0，由Leibniz判别法，知其收敛；在SKIPIF1<0，级数为SKIPIF1<0发散，故收敛域SKIPIF1<0．（10）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，即级数SKIPIF1<0一般项SKIPIF1<0当nSKIPIF1<0时不趋于0，因此级数发散，故收敛域SKIPIF1<0．（11）SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，级数为SKIPIF1<0，因为级数一般项的绝对值为SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，即级数SKIPIF1<0发散，因此收敛域为SKIPIF1<0．（12）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．而在SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故级数在SKIPIF1<0均发散，因而收敛区间为SKIPIF1<0．（13）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又在SKIPIF1<0，显然级数SKIPIF1<0均发散，故收敛域为SKIPIF1<0．（14）由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均绝对收敛，因而收敛半径SKIPIF1<0，收敛域SKIPIF1<0．（15）因为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，收敛域为SKIPIF1<0．（16）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，级数变为SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时都收敛；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0收敛，而SKIPIF1<0发散，SKIPIF1<0时一般项不趋于0，均发散．因此，当SKIPIF1<0时，收敛域SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，收敛域为SKIPIF1<0；而当SKIPIF1<0时,收敛域为SKIPIF1<0．2．设幂级数SKIPIF1<0的收敛半径为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的收敛半径为SKIPIF1<0，讨论下列级数的收敛半径：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．解（1）由题设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时，级数SKIPIF1<0绝对收敛，而当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，级数SKIPIF1<0发散，因此级数SKIPIF1<0的收敛半径为SKIPIF1<0．（2）收敛半径必SKIPIF1<0，而不定，需给出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的具体表达式才可确定，可以举出例子．（3）SKIPIF1<0，所以收敛半径为SKIPIF1<0，只有当SKIPIF1<0中一个为0，另一个为SKIPIF1<0时，不能确定，需看具体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0来确定，可以是SKIPIF1<0中任一数．3．设SKIPIF1<0，求证：当SKIPIF1<0时，有（1）SKIPIF1<0收敛；（2）SKIPIF1<0．证明（1）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，而由于SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0单调递减趋于0，级数SKIPIF1<0的部分和数列SKIPIF1<0有界，由Dirichlet判别法，级数SKIPIF1<0收敛．(2)设SKIPIF1<0的部分和为SKIPIF1<0，则由Abel变换，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．§13.2幂级数的性质1．设SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时收敛，那么当SKIPIF1<0收敛时有SKIPIF1<0，不论SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时是否收敛．证明由于幂级数SKIPIF1<0的收敛半径至少不小于SKIPIF1<0，且该幂级数在SKIPIF1<0收敛，因而该幂级数在SKIPIF1<0一致收敛（Abel第二定理），因此该幂级数的和函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0连续，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时收敛，故可逐项积分，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0取极限即有SKIPIF1<0．2．利用上题证明SKIPIF1<0．证明SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而级数SKIPIF1<0是收敛的，利用上题结论，就有SKIPIF1<0．3.用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0．解（1）因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，级数SKIPIF1<0收敛，由Abel第二定理，有SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，逐项积分，有SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（4）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（5）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（6）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（在SKIPIF1<0理解为极限值）．（7）令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0（在SKIPIF1<0理解为极限值）．（8）SKIPIF1<0，收敛半径SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故级数发散．可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（9）设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（10）设SKIPIF1<0，则有（逐项积分），SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．4.求下列级数的和：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．解（1）考虑级数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，逐项积分，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故有SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，则级数在SKIPIF1<0绝对收敛，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．5．证明：(1)SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0．解（1）对级数SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故收敛半径SKIPIF1<0，收敛域为SKIPIF1<0，而采取用逐项求导得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0．（2）级数SKIPIF1<0收敛域为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，通过逐项求导得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0．6．设SKIPIF1<0是幂级数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的和函数，若SKIPIF1<0为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若SKIPIF1<0为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项．证明由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是奇函数，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0为偶数时SKIPIF1<0，即级数中偶次幂系数均为0，因此级数中仅出现奇次幂的项．同样，若SKIPIF1<0为偶函数，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，有SKIPIF1<0，即级数中奇次幂的系数均为0，因此级数中仅出现偶次幂的项．7．设SKIPIF1<0．求证：（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0连续，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内连续；（2）SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0可导；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0不可导；证明（1）由于SKIPIF1<0，而级数SKIPIF1<0收敛，由M判别法，知级数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0一致收敛，而级数的每一项为幂函数在SKIPIF1<0连续，故和函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0连续．又级数SKIPIF1<0的收敛半径为SKIPIF1<0，因此在SKIPIF1<0内，其和函数SKIPIF1<0连续．（2）幂级数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0成为SKIPIF1<0，由Leibniz判别法，知级数收敛，由Abel第二定理，幂级数在SKIPIF1<0一致收敛，因而其和函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0右连续，因此SKIPIF1<0存在，且SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0．（4）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0不可导．§1．利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为Maclaurin级数，并说明收敛区间．（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0；（14）SKIPIF1<0．解（1）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（5）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（6）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（7）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（8）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（10）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，用Raabe判别法知右端级数收敛，因而收敛区间为SKIPIF1<0．（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（12）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（13）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（14）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin展开式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．解（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0SKIP