数学分析试题与答案

《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)在连续，则在上的不定积分可表为（）.为连续函数，则（）.3.若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（）.4.若收敛，则必有级数收敛（）5.若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（）.6.若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）.7.任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.单项选择题（每小题3分，共15分）在上可积，则下限函数在上（）B.2.若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（）A.在上一定不可积；B.在上一定可积,但是；C.在上一定可积，并且；D.在上的可积性不能确定.A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确定为任一项级数，则下列说法正确的是（）A.若，则级数一定收敛；B.若，则级数一定收敛；C.若，则级数一定收敛；D.若，则级数一定发散；5.关于幂级数的说法正确的是（）A.在收敛区间上各点是绝对收敛的；B.在收敛域上各点是绝对收敛的；C.的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D.在收敛域上是绝对并且一致收敛的；（每小题5分，共10分）1.2.四.判断敛散性（每小题5分，共15分）1.2.3.五.判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.2.六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分）七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分)八.证明：函数在上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）2014---2015学年度第二学期《数学分析2》B卷答案学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.✘2.✔3.✘4.✔5.✔6.✔7.✔二.单项选择题（每小题3分，共15分）三.求值与计算题（每小题5分，共10分）1.解：由于-------------------------3分而---------------------------------4分故由数列极限的迫敛性得：-------------------------------------5分2.设，求解：令得=----------------2分==-----------------------------------4分==---------------5分（每小题5分，共10分）1.解：-------3分且，由柯西判别法知，瑕积分收敛-------------------------5分2.解：有-----------------------------2分从而当-------------------------------4分由比较判别法收敛----------------------------5分五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）1.解：极限函数为-----------------------2分又--------3分从而故知该函数列在D上一致收敛.-------------------------5分2.解：因当时，--------------2分而正项级数收敛，-----------------------------4分3.解：易知，级数的部分和序列一致有界，---2分而对是单调的，又由于，------------------4分所以在D上一致收敛于0，从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。------5分六.设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）解：解方程组得圆与抛物线在第一象限的交点坐标为：，---------------------------------------3分则所求旋转体得体积为：-------------------------------7分=------------------=------------------------------------------------------10分七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为：--------------------------------5分故所求为：-------------------------------------8分=1250=12250（千焦）-----------------------------------10分八．设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛.（本题满分9分）证明：是上的单调函数，所以有------------------------------4分又由与都绝对收敛，所以收敛，--------------------------------------7分由优级数判别法知：在2013---2014学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七总分核分人得分判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)在[a,b]上可导，则在[a,b]上可积.()在[a,b]上有无穷多个间断点，则在[a,b]上必不可积。（）均收敛，则一定条件收敛。（）在区间I上内闭一致收敛，则在区间I处处收敛（）为正项级数（），且当时有：，则级数必发散。（）以为周期，且在上可积，则的傅里叶系数为：（），则（）8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（）单项选择题（每小题3分，共18分）1.下列广义积分中，收敛的积分是（）ABCD收敛是部分和有界的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件收敛的充要条件是（）A.单调有界C.部分和数列有上界D.则幂级数的收敛半径R=（）A.B.C.D.5.下列命题正确的是（）A在绝对收敛必一致收敛B在一致收敛必绝对收敛C若，则在必绝对收敛D在条件收敛必收敛6..若幂级数的收敛域为,则幂级数在上三.求值或计算（每题4分，共16分）；2.3．.在[0,1]上连续，求四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性.1.；2.3.；4.五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）1.2.；六.应用题型（14分）1.一容器的内表面为由绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（），若再加水7（），问水位升高了多少米？2.把由，x轴，y轴和直线所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积，并求满足条件的.七．证明题型（10分）已知与均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有，但不恒等于，证明：2013---2014学年度第二学期《数学分析2》B试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七总分核分人得分判断题（每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）而言，成立。（）在上连续，则必为在上的原函数。（）收敛，必有。（），则级数发散.在处收敛，则其在[-2,2]上一致收敛.（）在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有.（）在上有定义，则与级数同敛散.（）在任子区间可积，b为的暇点，则与同敛散.（）在上一致收敛，且存在，则.二.单项选择题（每小题3分，共15分）1.函数在上可积的必要条件是（）A连续B有界C无间断点D有原函数2.下列说法正确的是（）A.和收敛，也收敛B.和发散，发散C.收敛和发散，发散D.收敛和发散，发散3.在收敛于，且可导，则（）A.B.可导C.D.一致收敛，则必连续A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确定的收敛域为：A.（-0.5,0.5）B.[-0.5,0.5]C.D.三.求值与计算题（每小题4分，共16分）1.2.3.4.（每小题4分，共16分）1.；2.3..4.五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1.2.六.应用题型（16分）及曲线所平面图形的面积.表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一.（9分）证明：若函数项级数满足：（ⅰ）；（ⅱ）在D上一致收敛.014---2015学年度第二学期《数学分析2》A卷答案判断题（每小题3分，共21分）1.✔2.✘3.✔4.✘5.✔6.✔7.✘二.单项选择题（每小题3分，共15分）B,C,C,D,A（每小题5分，共10分）1.解：原式==---------------------------2分=-------------------------3分==---------------------------5分2.原式=-------------------------------2分=--------------------4分=---------------------------5分四.判断敛散性（每小题5分，共15分）1.----------------------------2分且---------------------------------3分由柯西判别法知，收敛。---------5分-----4分故该级数收敛.-------------------------------5分3.解：由莱布尼兹判别法知，交错级数收敛-----------2分又知其单调且有界，---------4分故由阿贝尔判别法知，级数收敛.--------------------------------5分五.1.解：极限函数为---------------------2分又---------------------------------4分故知该函数列在D上一致收敛.-----------5分2.解：因当时，----------------------3分而正项级数收敛，-----------------------------4分由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.---------------5分六．已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分10分）解:在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系，过x处用垂直x轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：--------------------------------5分故所求立体的体积为：------------7分=-------10分七.解：建立图示坐标系(竖直方向为x轴)则第一象限等腰边的方程为------------------------------------3分压力微元为：故所求为----------------------------------------7分------10分八.证明：每一项在上连续，又而收敛所以在上一致收敛，-------------------------------3分故由定理结论知在上连续，------------------------------5分再者而收敛所以在上一致收敛，结合在上的连续性可知在上有连续的导函数.----------------9分2014---2015学年度第二学期《数学分析2》B试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）为偶函数，则必为奇函数（）.2.为符号函数，则上限函数y=在上连续（）.收敛，必有（）.在区间I上内闭一致收敛，则在区间I上处处收敛（）.在上内闭一致收敛，则在上一致收敛（）.绝对收