非参数统计易丹辉课后参考答案

部分章节参考答案（只有2.3.4.5.6.8章答案）第二章7.假设连续型随机变量X的分布关于0对称，U=1,&X>00,&其他，求证：|X|证明：设Y=|X|，只要证对于∀y>0，有PP只证第一个式子，第二个类似。由于X的分布关于0对称，故P而PY≤y,U=1=PP8.设连续总体X的分布关于原点0对称，X1,X2,⋯,Xn是来自X的简单随机样本，令Ui=1,&X证明：只要证P其中d是随机变量i=1nU设{1,2,⋯,n}的所有全排列为{(rP由第7题的结论知，Ri与Ui独立，故i=1nriPr最终有P9.对于Wilcoxon符号秩检验的检验统计量T+E（提示：利用第8题结论）证明：不妨设总体的对称中心为原点，如果不是原点可以平移。此时T+=i=1nUiRi，E由于各Ui只与相应的Xi有关系，故各UiVar10.对于Wilcoxon符号秩检验的检验统计量T+，当零假设成立时，证明T+的渐近正态性。（提示：基于第8、9题的结论，利用李雅普诺夫引理（李雅普诺夫中心极限定理）：设随机变量X1,X2,⋯,Xn,⋯相互独立，且它们具有数学期望和方差，EXklim其中Φx为标准正态分布的分布函数证明：只要对T+验证李雅普诺夫中心极限定理的条件，由于T+与i=1niUi令Xk=kUk,k=1,2,⋯，则各Xk相互独立，EXk=k=1由李雅普诺夫中心极限定理，i=1niUi有渐近正态性第三章5.设X和Y是两个独立的连续对称总体，X1,X2,⋯,Xm与Y1,（1）PR1=r1,⋯,Rn=（2）设WY=i=1nR解：（1）可以考虑所有对象的排列情况：P也可以只关注n个对象的排列：P（2）从小到大看，混合样本排列有两种极端，一是Y的样本全在1到n的位置，此WY=i=1nRi=nn+12，还有一种极端是Y的样本全在6.在第5题的条件下，证明：E先证明一个引理：设简单随机样本X1,⋯,X（i）ER（ii）对于任意1≤i<j≤n，都有CovR（i）的证明：EEVar（ii）的证明：由数学期望的定义：E注意到r故有ECov利用上述结果容易完成本题证明，细节自己完成：EVar7.设有m个黑球与n个白球，除了颜色不同，其他无区别。将这m+n个球排成一排，证明：如果一排中出现2k个游程，则排列的方式有2m−1k−1n−1k−1种；如果一排中出现2k+1个游程，证明：当出现2k个游程时，必有k个黑球游程和k个白球游程（请学生思考为什么）。为得到k个黑球游程，可以将m个黑球排成一列，在m-1个空隙中插入k-1块隔板，将m个黑球隔成k个段，有m−1k−1种隔法。类似地，有n−1k−1种隔法得到k个白球游程。要将黑球游程和白球游程组合在一起，必须将不同颜色的游程插入彼此的空隙，有两种情况：黑球游程先出现或者白球游程先出现。每种情况都只有一种组合方法，例如白球游程先出现，则黑球游程只能插入白球游程的k-1个空隙和最后一个白球游程的后面。故总共排列方式为2×当出现2k+1个游程时，必然是k个黑球游程与k+1个白球，或者k个白球游程或者k+1个黑球游程（请学生思考为什么）。利用隔板法，有m−1k−1种方法得到k个黑球游程，有n−1k种方法得到k+1个白球游程，有m−1k种方法得到k+1个黑球游程，有n−1k−1种方法得到k个白球游程。这两种情形都只有一种方式组合起来，即k+1个游程的球插入k个游程形成的k+1个位置中注1：出现奇数个游程时，至少为3个游程，故采用2k+1的表述。注2：利用本题结论，可以得到游程检验原假设成立时的统计量分布：P8.验证Ansari-Bradley检验中的ABX=j=1mN+12−证明：将X，Y样本混合从小到大排列并且评秩：1,2,⋯,N。若N为偶数，则大于N+12和小于N+12的秩各占一半，其中小于N+12的秩不变，大于N+12变为N+1−RXj；若N为奇数，则排在中间的秩为N+12，取值与其对应的AB得分相同第四章5.设有k个处理和n个区组的完全区组设计，第i个处理的n个观测的秩为Ri1（1）写出这k个组之间的组间平方和表达式（用含Rij（2）给出Friedman检验统计量与（1）的组内平方和的关系。解：首先明确k个处理和n个区组的完全区组设计的数据结构：表1处理1处理2⋯处理k区组1xx⋯x区组2xx⋯x⋮⋮⋮⋯⋮区组nxx⋯x如果换成秩，数据结构如下：表2处理1处理2⋯处理k秩和区组1RR⋯Rk区组2RR⋯Rk⋮⋮⋮⋯⋮k区组nRR⋯Rk秩和RR⋯Rnk（1）对于表2，设第j列的平均秩为

Rj，则

Rj=RjSSB=n（2）Friedman检验统计量χr6.基于表4-9的数据结构，写出含秩的组间平方和表达式，推导该组间平方和与Kruskal-Wallis检验统计量的关系。解：将表4-9的数据换成秩，得到表3XX⋯XRR⋯RRR⋯R⋮⋮⋯⋮RR⋯RRR⋯R表4-9的总平均秩为1+2+⋯+NN=N+1SSB=Kruskal-Wallis检验统计量H=12第五章2.严格证明斯皮尔曼秩相关系数与皮尔逊相关系数的关系。证明：x1,⋯,xRU1,⋯,Uρ注意到i=1故有ρ注意到Rn6=6从而有n即R=ρ.4.设X和Y是两个独立的连续总体，X1,X2,⋯,Xn和Y1,Y2,⋯,Yn分别是来自X和Y的简单随机样本，Xi在证明：设i=1nRP对于左边，由全概率公式P其中，r1,r2,⋯,rn是P由X和Y独立知，Qi和Ri也独立，P=故有P5.在第4题的条件下，证明斯皮尔曼秩相关系数的数学期望为0，方差为1n−1证明：先求期望。R由第4题的结论可知E故E再求方差。VarVarCov故有Var最终有Var第八章2.对于样本X1证明：由Bootstrap抽样的要求可知，每次抽样，要满足有放回、等概率、等规模三个要求，故每个样本点Xi,i=1,2,⋯,n不能被抽到的概率是1−1注：由于li