空间距离的计算备作业高二数学系列（苏教版2019选择性必修第二册）

空间距离的计算

一、单选题

1.平面a的一个法向量”=（2,0,1）,点A（—1,2,1）在a内，则点P（1,2,3）到平面a的距

离为（）

3V10

A.272B.—6石

2—10

【答案】C

【分析】

由点到平面距离的向量法计算.

【详解】

娱(-2,0,-2),

…哈普一迎

卜/d也x瓜io

所以点P（l,2,3）到平面a的距离为d=|PA||COS<n,PA>卜20x嚓=竽.

故选：C.

2.长方体ABS-AdGA中，AB=A\=2,AD=I,E为ca的中点，则异面直线BG

与AE之间的距离是（）

2721

21

【答案】D

【分析】

建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出BG与AE的公垂线的一个方向

向量，由空间向量的数量积求得结论.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，则41,0,0）,8（l,2,0）,C（0,2,0）,G（0,2,2）,E（0,2,l）,

AE=(-l,2,1),BC}=(-1,0,2),

设BC[±jAE的公垂线的一个方向向量为”=（x,y,z）,

n-AE=-x+2y+z=0取z=l,得x=2,》=；，即〃=(2,；,1),

则

n,BC、=-x+2z=0

又A8=(0,2,0),

1

2

\AB-n\2X2

=

所以异面宜线86与AE之间的距离为〃=12

222

2+(z\

x2-7+1

3.已知正方体A3CO-44CQ的棱长为a,则平面相。与平面8DC的距离为（）

A.QaB.怎C.显aD.旦

33

【答案】D

【分析】

建立空间直角坐标系，用空间向量求解

【详解】

由正方体的性质，AB、〃DC、，D黑〃DB,Aq=B.,DC,DB=D,

易得平面A8Q//平面8DG，

则两平面间的距离可转化为点8到平面AMR的距离.

以〃为坐标原点，DA,DC,0A所在的直线分别为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系,

则A（a,O,O）,B（a,a,O）,A（a,O,a）,C（O,a,O）,B《a,a,a）,那（0,0,a）

所以=（a,-a,a）,BA=（0,-a,0）,AB,=（0,a,«）,BtDt=（-a,-a,0）.

连接AC,由CArM=（a，—a，a＞（0，“，a）=0，C4,•BQ=（a,—a,a＞（-a,—a,0）=0,且

AB,IB,Dt=B,，可知AC1平面ABtDt,

得平面ABQ的一个法向量为«=（1,-1,1）,

则两平面间的距离d==嗅=坐a-

故选：D

4.已知直线/的方向向量为〃=（1,0,2）,点A（0,l,l）在直线/上，则点P（l,2,2）到直线/

的距离为（）

A.2同B.同C.—D.叵

105

【答案】1）

【分析】

利用数量积的几何意义结合勾股定理求解即可

【详解】

由已知得尸4=（-1,-1,-1）,

因为直线1的方向向量为"=（1,0⑵，

所以点P（l,2,2）到直线1的距离为

(PA.nY_C(-1-2)

故选：D

5.在三棱柱ABC-ABC中，AB=(0,2,-3),AC=(-273,0,-3),A4,=1迅,0,|),

则该三棱柱的高为()

93

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】B

【分析】

设平面ABC的法向量为〃=(x,y,z),根据向量的坐标运算求;II”，利用空间向量法求

出点A到平面ABC的距离.

【详解】

n-AB-0..[2y-3z=0

设平面ABC的法向量为〃=(x,y,z),则，八所以《6c八，

n-AC=0[―2,3x-3z=0

令z=2,则x=-G，产3,所以以〃=(-6,3,2)是平面43c的一个法向量.

点A到平面ABC的距离d=,故该三棱柱的高为1.

1〃122

故选：B

6.如图，若正四棱柱A8CO-AMCA的底边长为1，3AB=g£1是的中点，

则AG到平面口。的距离为()

A.6B.26C.季D.亨

【答案】D

【分析】

TT

建立空间直角坐标系，根据正四棱柱ABCO-A4GA的底边长为1,且z4AB=q,求

得正四棱柱的高，再求得平面胡「的一个法向量〃=(x,y,z),将AC到平面口。的距

离转化为点A到平面的距离，由"

【详解】

建立如图所示空间直角坐标系:

因为正四棱柱A88-A与GR的底边长为1,且=

所以阴=A/tan?=G,

则A(0,0,0),C(1,1,0),E[0,1,

所以AE=0,1,A£=|o.i.

设平面分。的一个法向量为〃=(x,y,z),

2=0

y+

n-AE=02

则即.

〃CE=0'

6n

—X+——z=0

2

令z=2g,则«=(3-3,25/3),

因为AC//A|C,,且ACu平面4£0平面劭，,

所以AG//平面加4

所以AG到平面£4。的距离即为点A到平面£4。的距离,

6回

即公开=荷=可

故选：I)

7.如图，正方体ABCD-AB|GR的棱长为2,点N在AC上，点M在4。上，且

AM=丘,MN//面AA'B'B,则MN的长为().

A.夜B.V3C.2I).75

【答案】A

【分析】

根据几何体为正方体，先以。为坐标原点建立空间直角坐标系，再根据MN〃平面

得丽与平面例与B的法向量垂直，利用垂直关系的坐标表示，求出N点的

坐标，进而求得MN的长.

【详解】

因为该几何体A8CO-AMGR为正方体，所以以。为坐标原点，

D4为x轴，OC为丁轴，。。为z轴，建立空间直角坐标系.

因为正方体A8CQ-44G。的棱长为2,所以0(0,0,0),A(2,0,0),

平面44,8田的一个法向量为D4=(2,0,0).

因为点M在A。上，且A〃=0，所以点M(1,0,1).

因为点N在AC上，所以设N(m,2-m,0)(0<〃?<2),则=,

因为MN〃平面,所以D4_LMN,

有2(m-l)+0+0=0,机=1,故MN=(O,l,-l),

MN=卜^02+12+(-1)2=x/2,

故选：A.

二、填空题

8.QC的顶点分别为A(l,-1,2),8(3,0,—5),C(l,3,-1),则“1边上的高劭等于

【答案】岳

【分析】

推导出A8=（2,l,—7）,AC=（0,4,-3）,AC边上的高：8£>=卜冏.Jl-[cos（AB,AC）『,

由此能求出结果.

【详解】

43c的顶点分别为4（1,T2）,8（3,0,-5）,C（l,3,-1）,

AAB=（2,l-7）,AC=（0,4,-3）,

AC边上的身：

BD=|A斗J1一[cos（A8,AC）]

=>/29.

故答案为：>/29.

【点睛】

本题考查三角形的高的求法,考查点到直线的距离公式等基础知识,考查运算求解能力,

是基础题.

9.在空间直角坐标系中，定义：平面a的一般方程为

Ax+By+Cz+L>-O（A,B,C,De^,A2+B2+C2^0），点「（不,为*。）到平面a的距离

d_+By。+Cz0+q

则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心。到侧面

7A2+B2+C2

的距离等于—

【答案】当

【分析】

以底面中心。为原点建立空间直角坐标系O-型，求出点。,4,民P的坐标，求出侧面

的方程，最后利用所给公式计算即可.

【详解】

如图，以底面中心。为原点建立空间宜角坐标系。一个z,

则0(0,0,0),A(l,1,0),S(-l,1,0),P(0,o,2),

设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=O,

将A,8,P坐标代入计算得

A+B+D=0

•=—A+B+Z)=0

2C+D=0

解得A=0,B=—D,C=—D,

2

:.-Dy-^Dz+D=0,

即2y+z-2=0,

..|2x0+0-2|2y[5

d=---/--=---.

x/4+l5

故答案为：¥

【点睛】

本题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用、空间直角坐标系中点

到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属

于中档题.

10.如图，已知正方体ABC。-A4G。的棱长为4,尸是AA的中点，点M在侧面AA4B

内，若RMLCP,则,3CM面积的最小值为一

【答案】更

5

【分析】

以A8，AO，为坐标轴建立空间坐标系，设M（a,O,b）,根据RM_LCP,得到

b=2a-4,取A8的中点N,连结与N,则M点轨迹为线段gN,过8作户,

进而可求出三角形面积的最值.

【详解】

以A8，A。，A4为坐标轴建立空间坐标系如图所示,

则P（0,0,2）,C（4,4,0）,A（0,4,4）,

设M®0,6）,则RM=（a,T,。—4）,CP=（Y,T,2）,

•/D,MJ.CP,：.D}MCP=-4a+i6+2b-8=0,即b=2«-4.

取AB的中点N,连结qN,则M点轨迹为线段&N,过B作BQL8N，

则BQ=.=述.

2石5

又8C，平面例43,故5CL8Q,

的最小值为SflC,w=-x4x^=^.

255

故答案为：唯.

5

【点睛】

本题主要考查空间几何中的三角形面积的最值问题，涉及异面直线间的距离，利用建系

的方法求解即可，属于常考题型.

三、解答题

11.如图所示在棱长为1的正方形ABC。-AMGR中，£1为线段。。的中点,

(2)求点A到平面的距离.

【答案】

(1)好

3

2

(2)

3

【分析】

(1)利用等面积法即可求HI点4到直线B、E的距离;

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出点A到平面ME的距离.

(1)

解：连接AE,BR,过点A作AG_LAE于G,如图所示

在直角三角形AER中,

AE=JAQ；+RE。=卜+（；）=-y-

在直角三角形A4E中，

4…"可+出=1

直线A4,平面例。。，4后匚平面442。

.,.44±\E

s^=^A£AS,=^,£AG

.-.4足44=旦七”

.-.—x^-AjG

22、

:.\G=—

73

故点4到直线瓦E的距离为正.

3

(2)

解：在正方体中，以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

.-.4A=(O,O,-l),AB,=(0,1,1),AE=(-l,0,g

设平面A81E的一个法向量为：n=(a,b,c)

n♦AE=0—ad—c=0/、

则，即｛2,令c=2得〃=(1,一2,2)

"ABE|b+c=0

2

■••点A到平面ABtE的距离为d=-=/,,

HV1+(-2)+2

12.如图，在棱长为1的正方体/8O45G〃中，求:

(1)4G的中点£到直线4c的距离；

(2)点G到平面/身。的距离.

【答案】

(1)—

4

⑵B

3

【分析】

(D先求出AC方向的单位向量，继而求出AE在4c上的投影，再利用勾股定理即可求

解.

UUIW

⑵求出B©在平面4BC法向量上的投影，即可求解.

(1)

如图，以O为坐标原点，D4,oc,。。所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为

正方体的棱长为1,

所以A（l,0,0）,C（O,1,0）,4（1,1,1）,G（0,1,1）,A（0,0,1）,

因为AE=tq,I）,AC=（-l,l,0）,

AC（◎皈八

所以AC方向的单位向量为“=Kd=「E，E，°J，

21

所以点E到直线AC的距离为d=y]AE-(AE-u)=

(2)

由⑴得，设平面A8,C的法向量为a=(x,y,z),因为A4=(0,1,1),AC=(T/,O),

由l/lljx=l,z=-l,,

所以“=(1,1,—1)为平面ABC的一个法向量，又MC=(—1,0,0),

所以点G到平面A4c的距离为d==I、［''"--------1=芋.

k/V33

13.如图，底面为矩形的直棱柱ABCQ-4BCR满足：例=4,AD=AB=2.

(1)设〃为棱8月上的动点，求M到AC的最短距离

(2)设V、N分别为棱84、CD上的动点，判断：三棱锥N-A,AM的体积V是否为

定值，若是，则求出定值；若不是，请举例说明.

【答案】

⑴逅

3

Q

(2)是，］

【分析】

(1)建立空间直角坐标系，利用向量法求解：

(2)根据点、到平面4A的距离为戊；S44M求解.

(1)

解：距离如图所示空间直角坐标系:

设M(2,0,a)(04aV4),则A(0,0,4),C(2,2,0),

所以AC=(2,2,-4)，AM=(2,0,a-4),

所以M到AC的短距离为d=写£士当,

L4jCVoJ

当a=4时，〃到AC的最短距离是Y5；

3

(2)

因为点A'到平面AABB1的距离为BC,^\AAB,

所以《.“="sAMBC="AA•A氏BC=m为定值.

14.如图，在棱长为4的正方体1比》4笈G"中，设/是CG的中点.

(1)求证：BIXLAC-,

(2)求证：47〃平面微反

(3)求三棱锥斤及口的体积.

【答案】

(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】

(1)由小，如，ACYDD