线性代数习题答案

练习1.1答案详解

一、选择题.

下面哪个行列式的值为1().

123001

(C)012(。)010

031100

解：因为

413

=一1=一1.故选B.

314

2—1

2.与行列式］3相等的是()•

Lr2-10

“2-1„21

(A)；(5)130/)

13-13

L」010

2-1

21…

解：因为(A)和(C)为矩阵，(B)130=0；(£>)=7.故选D.

-13

010

00-1

3.行列式010等于().

101

(A)1；(B)—1；(C)0；(。)2.

00-1一

3x2

解：因为010=(-1)亍・(一1"1乂1=1.故选人.

101

cosa-sina

4,二阶行列式.的值为().

sinacostz

(A)-1；(B)0；(C)1；(D)cos2a.

.cosa-sina))

解：因为=cos~a+sirra=L故选A.

sinacosa

a..x,+Z>,=0_

122

5.已知二元线性方程组《'的系数行列式丰0，则为=().

4内+«22^2+b2=0

4a

414

12

打Q22

a2\瓦

(A)(B)(C)0)

解：根据克莱姆法则知％=称，D

.故选C.

x34

6.方程-1x0=0的根是().

0x1

(4)玉(8)X]=2,々=3；

(C)X]=0,Xj=1;

x34

解：因为-1x0=0,即炉-4》+3=0,所以(x-l)(x-3)=0,%]=l,x2=3.

0x1

故选A.

二、填空题.

7.二阶行列式的代数和共一项，每一项是一个元素乘积.三阶行列式的代数和共

项，每一项是一个元素乘积.

答案：2,2,6,3.

123100

12-2312

012310

0210=——；

001231

003

010

200

答案：24,-12,1,1,-6.

孙玉+ax="41412

9.已知二元线性方程组i22，称是方程组的行列式.

为玉+a22x2=b2a2\a22

答案：系数.

a21

10.已知行列式230=0,则数4=

1-11

a21

解：因为230=0>即3«-9=0,所以。=3.

11

答案：＜7=3.

三、计算题.

11.计算下列三阶行列式.

20

00

3

123111

0-3

⑴312⑵00⑶ab

18

231a2b2

22

00

13

解:⑴

123666111111

312312=6312=60-2-1

23123123101

111

3

60-2-1=6xlx(-2)x(-1)=18.

3

00

2

⑵

00

30=2x3x4=24.

04

(3)利用范德蒙行列式得g-«)(c-a)(c-b).

111

12.求解方程23x=0.

49%2

解：原行列式方程等价于x2-5x+6=0,可解得x=2或x=3.

练习1.2答案详解

一、选择题.

I.下列排列是偶排列的是().

(4)53214；(3)654321；(C)12345；(0)32145.

解：因为(A)T(53244;(5)「(654321)=15;

(C)7(12345)=0;(D)r(32145)=3.

故选C.

2.已知由1,2,3,4,5组成一个偶排列326y,则分别为().

(4)1、4；(3)4、1；(C)l、2；(0)3、4.

解：7(32154)=4为偶排列.故选A.

3.排列”(〃—1)(〃一2)…321的逆序数为().

(A)——；(8)〃；(0/7-1；(。)不确定.

2

解：因为〃(〃—1)(〃一2)...321的逆序数为(〃一1)+(〃-2)+…+2+1=随二»,

故选A.

4.判断4阶行列式det（ap中的项33a44a”和024%43a42的符号分别为（）.

（A）正、正；（6）正、负；（C）负、正；（D）负、负.

解：q33444a22=41422a3344带正号•424a31al3a42=q3424a31。42列标排为3412为偶排

列，带正号.故选A.

二、填空题.

5.排列213是由1、2、3三个自然数组成的一个一级排列，25314是由1、2、3、4、

5五个自然数组成的一个一级排列.

答案：3,5.

6.排列31524的逆序数为一,该排列为一排列.

答案：4,偶排列.

7.在1、2、3三个数的排列中，共有一个排列，其中奇排列一个，偶排列一个.

答案:6,3,3.

8.在六阶行列式中，。15%生2a44a51a66应取什么符号.

答案：正号.

9.四阶行列式中含有因子a,,a23的项是和.

答木：a[]3a,,44]，1^^23^34^421

三、计算题.

205

10.利用n阶行列式定义计算行列式D=419.

304

解：由定义知道0=(—1)"⑵)2xlx4+(—l)"23i)0x9x3+(—l)'⑶2)5X4X0

+(—1)"""5x1x3+(-l)r(213)0x4x4+(-l)r(132,2x9x0

=8+0+0—15—0—0=—7；

11.计算下列行列式:

1001234

0123

(2)

0012

00•••n0001

100

s020

解：(1)=1X2X3X…x〃=〃!；

00•••n

1234

0123

⑵=Ixlxlxl=1.

0012

0001

四、证明题.

00q

0&0

证明行列式

12.=(-1)2aia2---an.

00

0q

0Q心T)

证明：.=(_1尸"(,”"212生...%=(-1)丁％4・

00

练习1.3答案详解

一、选择题.

2x2y2z

xyz

4

1.设行列式403=1,则行列式-01=().

3

111111

28

(A)—；(3)1；(C)2；(。)—.

33

2x2y2z

xyzxy

4八.4八

解：因为403=1则一01二2一0

33

111

11111

故选A.

2.如果行列式的所有元素变号，则().

(A)行列式一定变号;(B)行列式一定不变号;

(C)偶阶行列式变号;(D)奇阶行列式变号.

解：因为每一行都可以提出一个负号，一共提"个，得所以〃为奇数时变号，故

选。.

q%“3a2-2a3

3.设0瓦k,贝ijA%-2b3-by=().

(A)-2k；(B)-k；(C)k；(D)2k.

a\"2-a、

解:

b、h2-A=-k,故选B.

c\02—c、3

二、计算题.

4.用行列式性质计算.

103100204-abacae

(1)199200395；(2)bd-cdde

301300600bfcf—ef

31004314

解：原式,曹-1200-5=100-12-5=2000.

3000130

-ahacae-b-b

ri+r2,rt+r,

⑵bd-cdde-adfbe=====adf002e

bfcf~efb02c0

—b

W•(-1)3+2.2c=-2adfc-(-/?)-2e=4abedef.

0

5.计算下列行列式.

31-12311

-513-41311

(1)⑵

201-11131

3113

1111

xyz

1234

⑶(4)x2y2z2

13610

），zxzxy

141020

5-1

511

q+q-1113

解：⑴D(-1产-111-1

000

-5-50

30

511

—62

20=(-1)'+3=40；

-5

0

611I111r2-rl1111

r3-rl

CI+C2+C3+C46311310200

⑵D=6648；

613I11310020

611311130002

4

234023必02303

-nq=l

36-0360o30o3=1.

100

4o20o4oo4ooo

Xyz

4+(x+y+z)/j

(4)D=X2y2Z2

22

x+母+xz+yzy+Ay+yz+xzz2+xz+yz+盯

XyzXyz

r3-r2

X2y2z2=(xy+yz+xz)X2z2

xy+xz+yzxy+yz+xzxz+yz+xy111

111

=(盯+yz+xz)xyz=(xy+yz+xz)(y-x)(z-x)(z-y).

X2y2z2

6.计算下列〃阶行列式.

1

I

1

I

211•••11+111•••1

-1211-1+021...1

=

解：（I）Dn=-1-121-1+0-12•••1

.....................................................!

-1-1-1…2-1+0-1-1…2

按第一列展开成两个行列式得

=3,-+3+1+1=公+『号.

(2)

x-at4—a?a2一%

a

Xa}a2,■•n-\1。一年川

4x-a2a2-ay

xa•"an-\I

%2%一%向

c00x-a.i

D.+i=—

0%…X1

000x-a“1

4a2%…册I

00001

=n(x-《)

/=!

练习1.4答案详解

一、选择题.

1.某四阶行列式。的值为1,它的第一行元素为1,7,2,-1,而第一行元素对应的余子式

分别为—1,0,%,4,则&=().

(A)-2；(B)-l；(C)1；(D)2.

解：因为D=+%2A2+《343+444，Al=MI=—1,42=—"l2=°，

43=陷3=34=-陷4=-4，

所以。=1x(—l)+7x0+2xk+(—l)x(-4)=l.

即2k+3=1,左=—1.

故选B.

2.某四阶行列式。的值为1,它的第一行元素为,而第二行元素对应的余子式

分别为一1,0,1,2,则a=().

(A)-2；(B)-l；(C)1；(D)2.

解：因为34l+《242+“I3&3+4444=0，41=—〃21，人2="22，423=一加23，

A,4，所以lxl+3x0+kx(-l)+(-l)x2=0,Z=-l

故选B.

cii।0

a\7

3.若~=1,则一％]3a220=().

1

(A)1：(8)3；(C)-3；(0)6.

解：因为""%=],则

。21。22

0

0=(-1产xlf"j(-1)x3%出=-3.

1—“2】

故选C.

349

行列式

4.57-1的元素。23的代数余子式A3=).

214

(A)3；(8)—3；(C)5；(0)-5.

349

34

2+3

解：行列式57—1的元素生3的代数余子式=(-1)=5.

214

故选C.

二、填空题.

3%20

1112

5,若=1,则。213。220

0

按第三列展开w,

解：若~=1,则43夕0-----------(-1)3+3-1

4力XX/

1

答案：3.

102

6.若x31的代数余子式A12=-1,则代数余子式A21=.

4x5

102

解：若x31的代数余子式A2=-1，即

4x5

,X1

A，=(―1严=-(5x-4)=-l,5x-4=l,x=l

45

02

.•・4=(-1产］5=(-1)X(-2)=2.

答案：2

000

-276-3

D=中(3,2)元8的余子式为其代数余子式为

-483-5

9-725

7.

100

6-3

%2的余子式为“32=一26-3=(-1)1+1%5=36,

解:

925

心的代数余子式A?=(-1)*知32=-36.

答案：36,-36.

8.四阶行列式。中第三列元素为1,2,3,4,对应的余子式为则。的值为

解：《MM=1，

3=1，%=2,43=3,43=4,MI3=1,M2i=-1,M33=2,

43=1，&=1，&=2,A>=T，

所以D=lxl+2xl+3x2+4x(-l)=5

答案：5

4321

9.已知行列式1432

则3A]4+4A24+A34+2A44=

2143

3214

解：因为3&+444+4+244正好是行列式第2列的元素与第4列元素的代数余子式乘积

之和等于零.

答案：0

三、计算题.

100

10.己知D=230，求(1)A]+2Al+4A,|；(2)4A?)++6A3；

456

(3)741+8A32+943,其中A,)表示。中阳的代数余子式.

解：⑴A”+2/+4&|=。=18；

⑵4/1,।+5A,T+6A,.,-0

100

⑶7g+8A32+9%=230=27.

789

3-521

110-5

11.设。的余子式和代数余子式分别为M..和A..,计算

-133

2-4-1-3

(1)4,+2/1,2+i4j3+(2)3M21+5M22+M23+2M24.

1211

110-5

解:⑴A1+2、+&+==-l

-1313

2-4-1-3

3-521

-35-12

(2)3A/|+5A/2+M”+2A/24=一3A+5劣？—A>3+2二=—10

??-1313

2-4-1-3

12.用降阶法计算下列行列式.

200011-1231-11

132-4-513-1-513-4

(1)；(2):(3)

2021201-12010

30101-53-31-53-3

a100abed

-1b10badc

(4)(5)

0-1c1cdab

00-1ddcba

3

21

解：⑴0=2x(—1)用021=2x3x(-1/141=2x3x(-l)=-6.

010)

31-1

q+(-2)c311

J+口—1113

;=(-r-n12

01

1-5-50

-5-530

3-21

c2+(-l)q-21

=-11122=(-5)x(—1产］2=80.

12

-5oo

51-1

2c3-1113

⑶D=

001

-53

11

i+2—16—5

0-5=(-1)1+2=-68.

八_202

20

1+aba

\+aba0

n+or

2b102+1

(4)D=1=(-1)(-1产-1c1

-1c

0-1d

0-1d

1+abaad

Q+dj3l+abad

1+cd=(-1)(-1产

—11+cd

00

=abed++cd+60+1・

abed1111

badc7j+/+为badc

(5)D==(a+/7+c+d)

cdabcdah

dcbadcba

31000

a-bd-ac-b

ha-bd-ac-b

(a+b+c+d)-(a+b+c+d'fd-ca-db-c

cd-ca-db-c

c-db-ca-d

dc-db-ca-d

a-bd-ac-b

(a+〃+c+d)a-b-c+d00

0a+b-c-da+b-c-d

———(a+/?+c+d)(a—b—c+d)(a+h—c—d)[(d—a)—(c—Z?)]

(ci+。+c+d)(a—b-c+d)(a+b-c—d)(a—b+c—d).

四、证明题.

abb2

13.证明a+b2b=(a-b)\

11

证明:

a2abb2c3-c2a2a(b-a)b(b-a)a2ab

C2f2

左=2aa+b2b2ab-ab-a二（人一。）2a11

111100100

按第三行展开ab

----------S—af.i.ji产（。一。）2（。一人）=（。一。）3=右边证毕

1

练习L5答案详解

一、选择题.

1.克莱姆法则适用于下面哪种类型的方程组（).

（A）方程的个数大于未知数的个数;(B)方程的个数小于未知数的个数;

（C）方程的个数等于未知数的个数;(D)任意.

解：选C.

2.以下不能用克莱姆法则求解的方程组是（).

-4X=103X1+2X=5

(A)<2(B)2

5x}+lx2=299%+6%=29

X|+%2—2%3=—3

3%j-2X=5

(C)(D)2

5x}-2X2+7X3=22；

7%1+6X2=1

2xj-5X2+4X3=4

3x,+2X=5一32

解：因为＜[9；+6”929的系数行列式=0,故选B.

96

3.以下不能用克莱姆法则求解的方程组是（).

x,-x2+2X4=-5

6x(-4X2=103%4-2X--2X=6

(A)<(B)24

5xj+7尤2=294xj+3X2-x3-x4=0

2x}0

%+X2—2xj=—3X-,+2X4—5

(D)(3X]+6.

(C)■5X]-2X2+7X3=22：2X2-X3-2X4-

4玉+X一/一£=0

2xt-5X2+4X3=432

解：因为方程个数与未知元个数不相等.，故选D.

4.下列说法正确的是（）.

（A）若线性方程组的系数行列式不等于零，则它只有零解；

（B）若线性方程组存在非零解，则必有系数行列式等于零；

（C）若齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则它只有零解；

（D）只有当线性方程组无解时才有它的系数行列式为零.

解：选C.

二、填空题.

5.克莱姆法则只能应用于的方程组.

答案：方程的个数等于未知数的个数.

6.若齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则它的解的情况是,若齐次线

性方程组存在非零解，则必有.

答案：只有零解，系数行列式等于零.

7.若线性方程组的系数行列式不等于零，则它的解的情况是.

答案：有唯一解.

4x,—2%,=10

8.当九满足时，线性方程组41-有唯一解.

----------邛-=29

4九一—104—/L

12一有唯一解，系数行列式即;12—36工0,

Ax,-9X=292-9

12

Aw6且/Iw—6.

三、计算题.

9.用克莱姆法则解下列方程组.

玉+9+&+/=5

%+%22xj—3

6%1-4X2=10X]+2x>—刍+4%———2

(1)^；(2)

5x,-2X2+7&=22;⑶〈

55+7X2=292%-3X2-X3-5X4=-2

2x,-5X+4&=4

23%+/+2毛+11%=0

解：⑴

6-410-4610

因为。==64,D,==186,D=124.

572972529

D*.V*-1-8-6i_____D7124

・%一万——=3.x,=---..=...2..

62D62

(2)

11-2-3I-21-3-2

因为。=5-27=63,22-27=63,5227126,

5=D2

2-544-54244

11-3

D5-222=189.2,

3々一D

2-54

(3)

11115111

12-14-22-14

因为。=-142^0,D,=-142,

2-3-1-5-2-3-1-5

3121101211

151111-51111-5

1-2-1412-2412-1-2

D=-284,7=-426,D-142.

22-2-1-5-2-3-2-542-3-1-2

30211310113120

寸J.

x.=—=1,43,

DD4D

10.问左取何值时，齐次线性方程组

kx+y+z-Q

'x+ky-z=0

2x-y+z=0

有非零解？

解：因为齐次线性方程组有非零解，系数行列式为零，即

k11k11

4+Gk+1Z+l,

1k-1k+1k+10=(-l)l+3-1=k2-3k-4=0

—/;+今2-k-2

2-112-k-20

:Xk-4)U+1)=0,Z=4或攵=—1

几玉+x2+x3=0

问九〃取何值时，齐次线性方程组《只有零解？

11.X]+jux2+毛=0

玉+2/JX2+七=0

解：因为齐次线性方程组只有零解，系数行列式不等于0,即

11

1-A/j-1

1+3

〃-10(-1)=//(1-Z)丰0.

1-22/7-1

2〃一10

*0且Xrl.

第1章综合练习答案详解

一、基本题.

1.确定下列排列的逆序数，并指出它们是奇排列还是偶排列？

⑴53214；⑵654321.

解：(1)7(53214)=7,它是奇排列；

(2)~654321)=5+4+3+2+1=15,它是奇排列；.

2.在六阶行列式中，下列各元素乘积应取什么符号？

⑴q5a23%2。44。51。66；⑵%生2《3。44。65。26'

解:(1)正，(2)正.

3.计算下列各行列式.

21411-203444

3-12103-2-14344

⑴(2)；(3)

12324-1064434

506212-634443

20-1321-51

-13301-30-6

⑷。=；(5)D=

1-12102-12

3-10114-76

aaxax2ax3

Xyx+y1+a112

-1aaxQJT

(6)yx+yx⑺11+/?1；(8)(QWO).

0-1aax

x+yxy111+c

00-1a

2141

3-162

解：⑴=o

12-50

5062

1-2101-210

2-1-1

03-2-12产02-10-1

⑵lx(-l)l+34-16

4-1066/j+q4-106

7103

12-6371003

00-1

q+2s16-7

16-76=(T)x(—1产=117.

C2一C313-13