概率论与数理统计教学14-第一章第四节(概率统计)

第一章随机事件与概率

1.4古典概型(等可能概型)

内容简介:

通过分析古代较早时候的博弈对决思想,提出了古典概型数学模型,证明了等可能概型的概率计算公式.重点解决了随机抽样概型、随机取数概型、分房概型等常见的概率计算问题，对有放回抽样和无放回抽样给出了对比分析.本节的理论和解题方法对于学习概率论知识具有重要的指导意义.

第一章随机事件与概率

1.4古典概型(等可能概型)1.4.1提出问题

1.随机事件出现的机会均等，如何计算它们的发生可能性——概率——的大小？

2.产品抽样、抓阄是否有先后顺序、分配任务等现实问题的概率怎样分析？1.4.2预备知识

1.排列组合计算公式，乘法原理，加法原理.

2.样本空间，样本点计数，基本事件计数.

在古代较早的时候,人们利用研究对象的物理或几何性质所具有的对称性确定了计算概率的一种方法.

例如,在例1.2.1抛掷硬币试验中,令ω1表示“出现正面”,ω2表示“出现反面”,则样本空间Ω={ω1,ω2}中有两个样本点,ω1和ω2发生的可能性是相等的,因而可以规定P({ω1})=P({ω2})=0.5,即“出现正面”和“出现反面”的概率各占一半.1.4.3问题分析

定义1

(2)

每个基本事件

的发生是等可能的.,

如果随机试验E满足下述条件：

(1)试验结果的个数是有限的.则称这个试验为等可能概型.它在概率论发展初期是主要的研究对象,所以也称为古典概型.

在古典概型中,任一随机事件A包含的基本事件数k与样本空间Ω中包含基本事件总数n的比值,等于随机事件A的概率P(A),即

(1.4.1)式就是事件A的古典概率公式.定理1.4.4建立理论证不妨设事件A所包含的k个基本事件为{ω1}，{ω2}，…，{ωk}，由等可能性知,P({ω1})=P({ω2})=…=P({ωk})=1/n，又由于基本事件{ω1}，{ω2}，…，{ωk}两两互不相容,由有限加法公式得到:.

讲评对于古典概型应注意以下几点：

(1)古典概型是学习概率统计的基础,因此它是非常重要的概率模型..

(2)判断是否古典概型的关键是等可能性,而有限性较容易看出；就是事件A包含的基本事件个数不要重复计算或者漏掉；事件间的关系及运算亦要熟悉。.

(3)计算古典概型概率时,首先要判断有限性和等可能性是否满足；其次要弄清楚样本空间是怎样构成的.对于复杂问题只要求基本事件的总数n,同时求出所讨论事件A包含的基本事件数k,再利用公式(1.4.1)计算出P(A).

例1.4.1

有100件产品,其中有10件是次品,其余为合格品.任取5件.计算:

(1)5件都是合格品的概率；(2)至少有一件是次品的概率.解

设A表示事件{5件产品都是合格品},则表示{5件产品中至少有一件是次品}.

1.4.5方法应用

可以分为两种情形：(1)第一次取出产品后考察“是否合格”,然后放回,搅拌后再抽取第二件产品,继续考察“是否合格”,依此进行下去，这种抽取方式称为放回抽样.放回抽样通常采取“一次性抽取”5件产品的方式；(2)第一次取出产品后考察“是否合格”,不作放回处理,接着再抽取第二件产品,继续考察“是否合格”,依此进行下去，这种抽取方式称为不放回抽样.

(1)放回抽样的情况：从100件产品中一件一件地任取

5件的所有可能取法有1005种,即基

本事件总数n=1005.取5个都是合格品的所有可能取法有905种,即A包含的基本事件数为k=905,

所以P(A)=

若认为从100件产品中一次性地任取5件，则所有可能取法有种,即基本事件总数n=.

5件都是合格品的所有可能取法有种,即A包含的基本事件数为k=,

P(A)=

所以由对立事件概率公式(1.3.8)得到，事件{至少有一件是次品}的概率为P(

)=1－P(A)=1－

(2)不放回抽样的情况：

在100件产品中顺次取出5件产品的所有可能取法有种,故基本事件总数n=.同理,A包含的基本事件数k=.所以,抽取到5件合格品的概率为

P(A)=

事件{至少有一件是次品}的概率=1－P(A)=1－可见，放回抽样与不放回抽样的事件概率不相同.

讲评分析例1.4.1：

①我们应该理解抽样的两种方式——“放回抽样”和“不放回抽样”；②理解“第一件合格品,第二件又是合格品”和“抽到两件合格品”的“有序”和“无序”的排列与组合问题；③样本空间Ω和事件A的“有序”取法与“无序”取法必须保持一致.

例1.4.2

一袋中装有N个小球,其中m个是红球,剩下的为白球.从袋中任取出n(n≤N)个小球,问其中恰有k(k≤m)个红球的概率是多少？

分析袋中装有2种颜色球,其中m个红球,剩下N-m个为白球.从袋中任取出n(n≤N)个小球,求恰有k(k≤m)个红球的概率,没有顺序,用组合知识.

设X表示“取得的n个球中红球的数量”,则{恰有k个红球}的事件可表示为{X=k},因此所求概率

为

解

这个模型不要求摸球的顺序,应用组合式计算.所有可能的取法共有种.（1.4.2）

像这样X取值的概率情况称为超几何分布.上式常称为超几何分布的概率公式.显然,X可能的取值为0,1,…,m.

讲评

例1.4.1和例1.4.2通常称为古典概型中的摸球问题.特点是:样本空间由两部分或两部分以上的成份组成,考虑基本事件发生的先后顺序，用乘法原理.

由以上举出的例题可知,古典概型大体可以概括为三大类问题：(1)摸球问题(产品的随机抽样问题)；(2)分房问题;(3)随机取数问题.

1.4.4建立理论2——几何概率

在概率论的发展初期,人们就认识到,仅假定样本空间为有限集是不够的,有时需要处理有无穷多个样本点的情形.我们先看下面一个例子

引例

用计算机在[0,2]区间上任意打出一个随机数X,求X小于1.2的概率.我们认为“随机数x在区间[0,2]上任何一处出现的机会均等”,

其概率应只与区间[0,1.2]的长度有关,概率应该为区间[0,1.2]长度与区间[0,2]长度之比，即概率应该等于.

描述这些随机试验的样本空间Ω,都是欧氏空间的一个区间或者区域,其样本点具有“等可能分布”的性质.设区域AΩ,如果样本点落入A中,我们就说事件A发生了.这样可作以下定义.

定义2

设Ω为欧氏空间的一个区域,以m(Ω)表示Ω的度量(一维为长度,二维为面积,三维为体积等).

AΩ是Ω中一个可以度量的子集,定义P(A)=

（1.4.3）为事件A发生的概率,称其为几何概率.有些书也称为几何型概率.

例1.4.3

某货运码头仅能容一船卸货,

而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小

时和2小时.设甲、乙两船在24小时内随时可能到达,求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率.解设x,y分别为甲、乙两船的到达时刻(单位:小时).则(x,y)为一个样本点,从而样本空间

Ω={(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}.

又设A为所求事件,则由题意易知

A={(x,y)∈Ω|x-y＞2或y-x＞1}.1.4.5方法应用2——几何概率如图中阴影部分所示.于是所求概率为

例1.4.4

从区间[0,1]中任取三个随机数,求三数之和不大于1的概率.

解设x,y,z分别表示此三个数,则易知样本空间

Ω

={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}.这是三维空间中一个棱长为1的正方体.设A表示{三数之和不大于1},则有A={(x,y,z)∈Ω

|x+y+z≤1,x≥0,y≥0,z≥0}.

讲评

例1.4.3是二维空间,度量用面积计算;例1.4.4是三维空间,度量用体积计算.A中样本点组成如图中锥体O-BCD于是有

1.4.6内容小结与思考

本次课学习了概率的定义及其性质,

重点研究了古典概型及其概率计算问题.为了利用古典概型的定义来计算概率.首先应确定试验的基本事件的总数n,再确定随机事件A所包含的基本事件数k,则后者与前者之比,即为所求的概率P(A)=.

在基本理论方面,对概率加法公式、概率减法公式和对立事件概率公式要学会综合应用.

在基本方法方面,分析事件A的对立事件用计算A发生的概率,

在处理有关“至少”或“至多”问题时常常用到.

在古典概型的概率计算中,对摸球问题,也叫随机取样问题必须熟练掌握,特别是超几何分布公式更是常用.1.4.7习题布置

习题1.44、5、6.参考文献与联系方式

[1]郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.