湖南省郴州市宜章县第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试 数学试题（含解析）

数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.2.已知i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.设，且，则（）A. B. C. D.5.已知函数则（）A. B. C. D.6.设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小顺序为（）A. B. C. D.7.在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.8.已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）.在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（）图1 图2A.B当时，C.若，，则D.平行六面体的体积二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.在一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷这个骰子两次，并记录每次骰子向上一面的点数，记事件A为“第一次记录的数字为偶数”，事件B为“第二次记录的数字为偶数”，事件C为“两次记录的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是（）A.事件A与事件B是相互独立事件B.事件A与事件C是互斥事件C.D.10.已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意都有成立，当，，且时，都有，则下列说法正确的有（）A.B.直线是函数的一条对称轴C.函数在区间上为增函数D.函数在区间上有4个零点11.已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（）A.已知，，则B.已知，，则C.已知，，，则三棱锥的体积D.已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的零点个数为______.13.二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则n的最小值为______.14.正多面体也称为柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点P为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）某校为了解高二年级学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成，，，，，六组，绘制如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级有800名学生，估计该年级日平均数学学习时长不低于80分钟的学生有多少名？（2）估计该100名学生的日平均数学学习时长的平均数和第75百分位数.16.（本小题满分15分）一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数表示为k个正整数的和，叫做正整数n的k拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数n的无序k拆分.例如，4的所有无序2拆分记作：，.（1）写出9的所有无序2拆分；（2）从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率.17.（本小题满分15分）如图，在中，，，.（1）求的值；（2）设D，E分别是边AB，AC上的点，记，，，若的面积总保持是面积的一半，求z的最小值.18.（本小题满分17分）如图，在四棱柱中，已知底面ABCD，，，，，E是线段BD上的点.（1）求点到平面的距离；（2）若E为的中点，求异面直线与AE所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在点E，使得二面角的余弦值为，若存在，请确定点E的位置；若不存在，试说明理由.19.（本小题满分17分）对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值.（1）已知，.①写出，写出（用含x的式子表示）；②当时，写出的最小值及此时x的值；（2）设，，求证：；（3）在空间直角坐标系中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标.数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BDBACDBCADABDBC1.B【解析】∵集合，，，故选B.2.D【解析】因为，所以复数z对应的点为，所以复数所对应的点落在第四象限.故选D3.B【解析】由得，由得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B4.A【解析】，，，即，且，无法取得等号，则，故A正确；当，时，，，，，故B错误；，，故C错误；，，而，则，故D错误.故选A5.C【解析】由题意，，故.故选C6.D【解析】，，.，，，.，，.综上可知：.故选D.7.B【解析】如图，记AC的中点为，易知二面角的平面角为，记的外接圆圆心为，又的外接圆圆心为，分别过，作平面ABC，平面SAC的垂线，两垂线交于点O，则O为四面体的外接球球心.由有，因为为等边三角形，所以，，又由二面角的余弦值为有，故，因此四面体的外接球的半径，所以外接球的表面积为.故选B8.C【解析】对于A，，而.故，正确；对于B，，当时，有意义，则，正确；对于C，因为，，所以，，所以，错误；对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底而OACB的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确.故选C9.AD【解析】连续抛掷质地均匀的骰子两次，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种等可能的不同结果，所以，，，，则，故事件A，B相互独立，A正确；事件A与事件C可能同时发生，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选AD.10.ABD【解析】对于A，在中，令可得，即，又由函数是定义在R上的偶函数，则，故A正确；对于B，由A可得，则由，有，即是以6为周期的周期函数，又由函数是定义在R上的偶函数，即的一条对称轴为y轴，即，因此直线也是函数的一条对称轴，故B正确；对于C，当，且时，都有，可得在区间上为增函数，又由函数是定义在R上的偶函数，则在上为减函数，又由是以6为周期的周期函数，则函数在区间上为减函数，故C错误；对于D，由A可得，又由是以6为周期的周期函数，则，，即函数在区间上有4个零点，D正确.故选ABD.11.BC【解析】对于A，，，，，，故A错；对于B，，，故B对；对于C，由题意，三棱锥是校长为1的正四面体，，故C对；对于D，，，，当时，与的夹角不一定取得最小值，故D错.故选BC.三、填空题12.4【解析】画出与的图象如图所示，因为，所以结合图象可知与的图象有4个交点，所以函数的零点个数为4.13.7【解析】由题意可知的二维码共有个，由可得，故，由于，所以，故n的最小值为7.14.【解析】由题意得O为正方形ABCD的中心，取CD中点H，连接EH，AC，因为ABCDEF为正八面体，所以平面ABCD，，，，，设正八面体的内切球半径为R，则，所以，解得，，由图可知，当点P在正八面体的顶点时，最大，为，当点P在切点时，最小，为，所以，即.故答案为：.四、解答题15.【解析】易知不低于80分钟的频率为，所以该年级日平均数学学习时长不低于80分钟的学生估计有人.（2）因为，所以该100名学生的日平均数学学习时长的平均数约为72.又，，所以第75百分位数在内，设第75百分位数为a，则有，解得，所以该100名学生的日平均数学学习时长的平均数估计为72，第75百分位数估计为82.16.【解析】（1）9的所有无序2拆分为，，，，共4个.（2）9的所有无序3拆分为：，，，，，，，共7个.把每个“9的无序3拆分”看作一个样本点，用M表示“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”，则M中含有，和，共3个样本点.由于每个样本点被选中的机会相等，所以这些样本点是等可能发生的，所以“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率.17.【解析】（1）由余弦定理得：，则，由正弦定理得：，即，解得.（2）由题可得，解得，而，即，所以，由余弦定理得；，则，，当，即时，.18.【解析】（1）以点A为坐标原点，，的方向分别为z，y轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意知，，所以，，，，，，则，，.设平面的一个法向量为，则令，则，，所以，所以点到平面的距离.（2）因为E为的中点，所以，所以，，所以，所以异面直线与AE所成角的余弦值为.（3）设，其中，则，，，设平面ACE的一个法向量为，则令，则，，所以平面ACE的一个法向量为，设平面ADE的一个法向量为，则令，则，，所以平面ADE的一个法向量为，所以，若存在点E，使得二面角的余弦值为，则，所以，解得（会去）或，故存在满足题意，即存在点E在靠近点的三等分点处.19.【解析】1）①，.②，.在同一个平面直角坐标系中作出，，的图象如下图所示：因为，所以函数的图象是图中实线部分折线，直线与交于点，线与直线交于点，由图可知，当时，有最小值4.（2），因为，，所以，，所以.（3）因为P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，所以球