湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试 数学试题(含解析)_第1页
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文档简介

湖南·2025届高三入学考试数学本试卷共4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量,且,则的取值范围为()A.B.C.D.2.已知集合,则()A.B.C.D.3.已知母线长为10的圆台的侧面积为,且其上底面的半径与下底面的半径满足,则()A.2B.4C.8D.124.已知,则()A.1B.C.2D.5.记的内角的对边分别为,若,则()A.B.C.D.16.记抛物线的焦点为,点在上,,则的最小值为()A.2B.3C.4D.57.记为随机事件,已知,则()A.B.C.D.8.已知函数的部分图象如图所示,是与坐标轴的交点.若是直角三角形,且,则()A.B.C.D.1二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9.北京时间2024年7月27日,我国射击健将黄雨婷、李豪战胜韩国选手,摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌,通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为,则()A.该组数据的极差为25B.该组数据的分位数为19C.该组数据的平均数为17D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据,则这两组数据的平均数可能相等10.已知首项为1的数列满足,记的前项和为,则()A.可能为等差数列B.C.若,则D.若,则11.已知函数是偶函数,点,点,点在函数的图象上,且,记的边上的高为,则()A.B.函数在定义域内单调递减C.点可能在以为直径的圆上D.的最大值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知,则__________.13.写出一个同时具有下列性质的函数的解析式:__________.①不是常函数②的最小正周期为2③不存在对称中心14.已知双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交的右支于点(点在点上方),.过点作直线,在第二象限交于点,若直线与直线的交点在直线上,则的离心率为__________.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知椭圆过点和.(1)求的离心率;(2)若直线与有且仅有一个交点,求的一般式方程.16.(15分)中国能源生产量和消费量持续攀升,目前已经成为全球第一大能源生产国和消费国,能源安全是关乎国家经济社会发展的全局性、战略性问题,为了助力新形势下中国能源高质量发展和能源安全水平提升,发展和开发新能源是当务之急.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展,新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义,而且还能够减少对不可再生资源的开发,是全球汽车发展的重要方向.“保护环境,人人有责”,在政府和有关企业的努力下,某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示:年份20192020202120222023新能源汽车购买数量(万辆)0.400.701.101.501.80(1)计算与的相关系数(保留三位小数);(2)求关于的线性回归方程,并预测该地区2025年新能源汽车购买数量.参考公式.参考数值:.17.(15分)如图,三棱柱中,侧面是边长为2的正方形,,.(1)证明:;(2)若二面角的余弦值为,求.18.(17分)已知函数.(1)求的极值;(2)讨论的单调性;(3)若存在两个极值点,讨论和的大小关系.19.(17分)对于一个非零整数和质数,我们称中含的幂次为定义为最大的非负整数,使得存在非零整数,有,例如等.定义一个非零有理数的,如,且规定.现在对于任意一个有理数,我们定义其“示数”为,其中,规定.记两个有理数的“示数距离”为.(1)直接写出的值;(2)证明对于一个正整数,存在一列非整数的正有理数使(3)给定质数,若一个无穷集合中任意一数列,对于任意,则我们称集合是“-紧致的”,是否存在质数,使得整数集是“-紧致的”?若存在,求出所有;若不存在,请说明理由.湖南·2025届高三入学考试·数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】A【解析】由解得,故答案选A.2.【答案】D【解析】.解得.故答案选D.3.【答案】C【解析】因为该圆台的侧面积为,母线长,所以,解得,故选C.4.【答案】A【解析】由有..故答案选A.5.【答案】D【解析】由正弦定理得,即或.若,结合有,故舍去,,故答案选D.6.【答案】B【解析】过点作的垂线,垂足为,则,故答案选B.7.【答案】D【解析】记,由全概率公式有,代入数据有,解得.故答案选D.8.【答案】C【解析】由正弦函数性质有,由是直角三角形可得,结合有,解得,,故答案选C.9.【答案】ACD【解析】对于A项,极差等于,故A正确;对于B项,,故分位数为20,故B错误;对于C项,平均数等于,故C正确,对于D项,去掉17后,这两组数据的平均数相等,故D正确,故答案选ACD.10.【答案】ACD【解析】由题意可得或.注意到若存在使得,则,则对于C项,只能满足,累乘得,当时也符合,此时,故数列此时为等差数列,故A正确;,故C正确;若,则,故,故B错误;此时,奇偶分类讨论有,此时,故D正确,故选ACD.11.【答案】ABD【解析】对于A选项,由是偶函数有,则,得,故A正确;对于B选项,,由复合函数单调性判断有为减函数.故B正确;对于C选项,由B知,即.由对称性,可设,则.若点在以为直径的圆上,则有,代入即,即.若,则,不满足题意;若.而,,故不可能在以为直径的圆上.故C错误;对于D选项,过点作轴的垂线交于点,则(当且仅当时取等),而,记,则,当且仅当的时候取等,即时取等,所以两个不等号能同时取等,故的最大值为,故D正确.故答案选ABD.12.【答案】【解析】因为,所以,所以,故答案为:13.【答案】(满足题意即可)14.【答案】【解析】记直线与直线的交点为,则,由对称性有过坐标原点且.由有.又,即.在中,.在中,,解得,故答案为.15.解:(1)由题意得,从而可得故的离心率.(2)联立,得,由,得,直线的一般式方程为:.16.解:(1),,,.(2)由(1)知,所以关于的线性回归方程是,当时,(万辆),该地区2025年新能源汽车购买数量约为2.54万辆.17.解:(1)侧面是边长为2的正方形,.侧面是平行四边形,.在中,由余弦定理有.解得是直角三角形,,平面平面,又平面.(2)取的中点,记为,连接.,平面平面为二面角的平面角.又平面平面,记二面角为,则平面.18.解:(1)时,时,在上单调递减,在上单调递增,在处取到极小值,没有极大值.(2).若,则时,单调递减,时,,单调递增;若,此时,当且仅当时取等号,单调递增;若,则时,单调递减;和时,单调递增.

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