河北省秦皇岛新世纪高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试 数学试卷

2023-2024学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高二（上）开学数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．32．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，b＝4，B＝60°（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°3．（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，方差为s2，则（）A．，s2＞2 B．，s2＜2 C．，s2＜2 D．，s2＞24．（5分）如图在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝，＝，则＝（）A． B． C． D．5．（5分）若sinα＝，α∈（，π），则tan（3π﹣2α）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．6．（5分）已知＝，＝，＝，则（）A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线7．（5分）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S＝；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦﹣秦九韶公式．现在有周长为10+2，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．128．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣（x）的零点，x＝（x）图象的对称轴，且f（x）在（，），则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A． B．z的共轭复数为 C．z的实部与虚部之和为2 D．z在复平面内的对应点位于第一象限（多选）10．（5分）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝sin|x| C． D．（多选）11．（5分）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为2π B．函数y＝f（x）在单调递减 C．函数y＝f（x）的图象关于直线对称 D．该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象（多选）12．（5分）三角形ABC的三边a，b，c所对的角为A，B，C，1﹣（sinA﹣sinB）2＝sinAsinB+cos2C，则下列说法正确的是（）A． B．若△ABC面积为，则△ABC周长的最小值为12 C．当b＝5，c＝7时，a＝9 D．若b＝4，，则△ABC面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.ovD13．（5分）某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，已知从女学生中抽取的人数为80，那么n＝．14．（5分）sin21°cos9°+sin69°sin9°＝．15．（5分）在边长为6的正△ABC中，若点D满足＝2，则⋅＝．16．（5分）在△ABC中，，AC＝2，M为AB边上的中点，则AB＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设向量满足•＝3，，．（1）求向量，的夹角及；（2）若，则实数k的值．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若C＝60°，b＝2，求a19．（12分）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在预定区域成功着陆，航天员费俊龙，张陆顺利出舱，神舟十五号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业所取得的成就，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，60），[60，[70，80），90），[90，并绘制成如图所示的频率分布直方图．​（1）请补全频率分布直方图；（2）估计这1000名学生成绩的众数、平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表，80%分位数小数点后面保留两位有效数字）．20．（12分）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，D两地相距100m，∠BCD＝60°秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为30°．（已知声音的传播速度为340m/s）求：（1）B，C两地间的距离；（2）这种仪器的垂直弹射高度AB．​21．（12分）已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．22．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．（1）求角B的大小和边长b的值；（2）求△ABC面积的取值范围．

2023-2024学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．（5分）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用复数相等的定义求解即可．【解答】解：因为（1+ai）i＝3+i，即﹣a+i＝5+i，由复数相等的定义可得，﹣a＝3．故选：C．【点评】本题考查了复数相等定义的理解和应用，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，b＝4，B＝60°（）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°【分析】由正弦定理可得sinA＝，再结合大边对大角即可求得．【解答】解：因为a＝4，b＝4，所以由正弦定理有：，所以＝，因为b＞a，所以60°＝B＞A＞0°，所以A＝30°．故选：A．【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．3．（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，方差为s2，则（）A．，s2＞2 B．，s2＜2 C．，s2＜2 D．，s2＞2【分析】利用平均数、方差的定义直接求解．【解答】解：∵某8个数据的平均数为5，方差为7，此时这9个数的平均数为，方差为s2，∴＝＝5，＝．故选：B．【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．4．（5分）如图在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝，＝，则＝（）A． B． C． D．【分析】取BC中点F，由BC＝2AD可知AD＝FC，从而可得四边形AFCD为平行四边形，结合向量的基本运算即可求解【解答】解：取BC中点F，由BC＝2AD可知AD＝FC，∴四边形AFCD为平行四边形，则＝＝＝＝＝．故选：D．【点评】本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础基础试题．5．（5分）若sinα＝，α∈（，π），则tan（3π﹣2α）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：因为sinα＝，α∈（，所以cosα＝﹣＝﹣＝﹣，所以tan（3π﹣7α）＝﹣tan2α＝﹣＝﹣．故选：B．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．（5分）已知＝，＝，＝，则（）A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线【分析】利用三角形法则可求得，由向量共线条件可得与共线，从而可得结论．【解答】解：＝（）＝，又＝，所以，则与，又与有公共点B，所以A、B、D三点共线．故选：A．【点评】本题考查向量共线的条件，属基础题，熟记向量共线的充要条件是解决问题的关键．7．（5分）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S＝；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦﹣秦九韶公式．现在有周长为10+2，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．12【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．【解答】解：∵sinA：sinB：sinC＝2：3：，∴a：b：c＝2：3：，∵△ABC周长为10+2，即a+b+c＝10+3，∴a＝4，b＝6，∴p＝，∴△ABC的面积S＝＝6．故选：C．【点评】本题考查了数学文化，考查了正弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝﹣（x）的零点，x＝（x）图象的对称轴，且f（x）在（，），则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x＝﹣为f（x）的零点，x＝为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x＝﹣为f（x）的零点为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即（n∈N）即ω＝3n+1（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣＝≤，即T＝≥，解得：ω≤12，当ω＝11时，﹣+φ＝kπ，∵|φ|≤，∴φ＝﹣，此时f（x）在（，）不单调；当ω＝9时，﹣+φ＝kπ，∵|φ|≤，∴φ＝，此时f（x）在（，）单调；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A． B．z的共轭复数为 C．z的实部与虚部之和为2 D．z在复平面内的对应点位于第一象限【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合复数模公式，共轭复数的定义，实部和虚部的定义，复数的几何意义，即可求解．【解答】解：＝＝，对于A，，故A错误，对于B，z的共轭复数为，对于C，z的实部与虚部之和为，对于D，z在复平面内的对应点（，故D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查复数模公式，共轭复数的定义，实部和虚部的定义，复数的几何意义，属于基础题．（多选）10．（5分）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝sin|x| C． D．【分析】直接利用函数的奇偶性和周期性判断结果．【解答】解：对于A，函数y＝sin2x既是奇函数，故A正确；对于B：函数y＝sin|x|不是周期函数，故B错误；对于C：既是奇函数，故C正确；对于D：函数为偶函数．故选：AC．【点评】本题考查的知识要点：函数的奇偶性和周期性，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．（多选）11．（5分）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为2π B．函数y＝f（x）在单调递减 C．函数y＝f（x）的图象关于直线对称 D．该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象【分析】先根据图象求出y＝f（x）的解析式，再分别验证A、B、C、D是否正确，根据图象得到的周期进行判定A；求得的取值范围，然后利用正弦函数的单调性结合复合函数单调性法则判定B；计算，看是否经过顶点从而判定是否为对称轴从而判定C；利用“左加右减”求得平移后的函数解析式即可判断D．【解答】解：由图象可知：A＝2，周期，∴；由，解得：，故函数．对于A：T＝π，故A错误；对于B：当时，因为[﹣π，不单调上不单调；对于C：当时，即直线，故C正确；对于D：y＝f（x）的图像向右平移个单位得到，故D正确．故选：CD．【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．（多选）12．（5分）三角形ABC的三边a，b，c所对的角为A，B，C，1﹣（sinA﹣sinB）2＝sinAsinB+cos2C，则下列说法正确的是（）A． B．若△ABC面积为，则△ABC周长的最小值为12 C．当b＝5，c＝7时，a＝9 D．若b＝4，，则△ABC面积为【分析】由正弦定理可得b2+a2﹣c2＝ab，再由余弦定理可得cosC，可求C可判断A；由面积可得ab，进而由余弦定理可得c＝，进而可得周长的最小值可判断B；由余弦定理可得a2﹣5a﹣24＝0，可求a判断C；由正弦定理可求c，进而可求面积判断D．【解答】解：对于A：∵1﹣（sinA﹣sinB）2＝sinAsinB+cos3C，∴1﹣sin2A+5sinAsinB﹣sin2B＝sinAsinB+1﹣sin7C，sin2A+sin2B﹣sin6C＝sinAsinB，由正弦定理可得b2+a2﹣c7＝ab，由余弦定理得cosC＝＝，∵0＜C＜π，∴C＝；对于B：absinC＝，∴ab＝16，由余弦定理可得c2＝a6+b2﹣2abcosC＝a8+b2﹣ab，∴c＝＝，a+b+c＝a+b+≥6+＝12，等号成立，故△ABC周长的最小值为12，故B正确．对于C：由余弦定理可得c4＝a2+b2﹣6abcosC，∴49＝a2+25﹣5a，a6﹣5a﹣24＝0，解得a＝6或a＝﹣3（舍去）；对于D：由正弦定理得＝，∴c＝＝，∴△ABC面积S＝×3×2＝4×＝5+2；故选：ABD．【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积，考查运算求解能力，属中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.ovD13．（5分）某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，已知从女学生中抽取的人数为80，那么n＝192．【分析】先求三层的比例，然后求得女学生中抽取总人数的比例，从而求出抽取样本容量．【解答】解：由题意，因为200：1200：1000＝1：6：4，所以女学生中抽取总人数的，故N＝80÷＝192．故答案为：192．【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．14．（5分）sin21°cos9°+sin69°sin9°＝．【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及正弦的两角和公式，即可求解．【解答】解：sin21°cos9°+sin69°sin9°＝sin21°cos2°+cos21sin9°＝．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦的两角和公式，属于基础题．15．（5分）在边长为6的正△ABC中，若点D满足＝2，则⋅＝6．【分析】根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，即可求解．【解答】解：＝2，则⋅＝＝＝．故答案为：8．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，属于基础题．16．（5分）在△ABC中，，AC＝2，M为AB边上的中点，则AB＝．【分析】根据cos∠AMC＝﹣cos∠BMC，结合余弦定理，列方程组可求得AB．【解答】解：在△AMC中，；在△BCM中，；∵∠AMC+∠BMC＝π，∴cos∠AMC＝﹣cos∠BMC，∴，整理，可得AC2+BC5＝2（CM2+AM3），即4+BC2＝4（7+AM2），∴，∴6BC2﹣20＝AB2，在△ABC中，AB2＝AC2+BC2﹣7AC⋅BCcosC＝4+BC2﹣5BC＝AB2，∴4+BC5﹣2BC＝2BC5﹣20，解得BC＝﹣6（舍）或BC＝4，∴．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和方程思想，属中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设向量满足•＝3，，．（1）求向量，的夹角及；（2）若，则实数k的值．【分析】（1）由夹角公式及模长计算公式计算即可；（2）由向量垂直的性质，利用数量积为0建立方程，求得k值．【解答】解：（1）由＝（）|＝2，又，||＝3，则cos＜＞＝＝＝，又＜＞∈[0，所以＜，||＝＝＝；（2）由，可得（﹣）＝2，即k+（2k﹣5）＝0，由（1）可得：3k+6k﹣3﹣2＝0，解得k＝．【点评】本题考查平面向量数量积的运算和性质，考查向量垂直的性质，属基础题．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若C＝60°，b＝2，求a【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosB＝，进而可求B的值；（Ⅱ）由已知利用三角形内角和定理可求A的值，进而利用正弦定理即可求解a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得cosB（sinAcosC+sinCcosA）＝sinB，所以cosBsin（A+C）＝，因为B为三角形内角，sinB≠0，所以cosB＝，所以B＝45°；（Ⅱ）因为B＝45°，C＝60°，所以A＝180°﹣B﹣C＝75°，由正弦定理，可得＝＝＝，所以a＝2sin75°＝7（×+×）＝，c＝7sin60°＝2＝．【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在预定区域成功着陆，航天员费俊龙，张陆顺利出舱，神舟十五号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业所取得的成就，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，60），[60，[70，80），90），[90，并绘制成如图所示的频率分布直方图．​（1）请补全频率分布直方图；（2）估计这1000名学生成绩的众数、平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表，80%分位数小数点后面保留两位有效数字）．【分析】（1）由频率和为1，求出成绩落在[60，70）的频率；（2）由频率分布直方图计算样本的众数、平均数和百分位数．【解答】解：（1）成绩落在[60，70）的频率为1﹣（0.030+5.015+0.010+0.005）×10＝2.40，补全的频率分布直方图，如图所示：（2）估计这1000名学生成绩的众数是×（60+70）＝65，平均数是＝55×3.30+65×0.40+75×0.15+85×5.10+95×0.05＝67（分），设80%分位数为x，则0.03×10+8.04×10+（x﹣70）×0.015＝0.3，解得x＝≈67.67（分）．【点评】本题考查百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（12分）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，D两地相距100m，∠BCD＝60°秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为30°．（已知声音的传播速度为340m/s）求：（1）B，C两地间的距离；（2）这种仪器的垂直弹射高度AB．​【分析】（1）设BC＝x，利用在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，表示出BD，再由余弦定理，即可得解；（2）在△ABC中，由正切函数的定义，即可得解．【解答】解：（1）设BC＝x，∵在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，∴BD＝x﹣×340＝x﹣40，在△BCD中，由余弦定理8＝BC2+CD2﹣4BC•CD•cos∠BCD，∴（x﹣40）2＝x2+10000﹣100x，解得x＝420，故B，C两地间的距离为420米．（2）在△ABC中，BC＝420，∴AB＝BC•tan∠ACB＝420×＝140米．故该仪器的垂直弹射高度AB为140米．【点评】本题