自考00022高等数学（工专）历年真题（01年-12年）

全国2001年10月高等教育自学考试

高等数学（工专）试题

课程代码：00022

第一部分选择题

一、单项选择题（本大题共30小题，1一20每小题1分，21—30每小题2分，共40分）在

每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在

题后的括号内。

(-)(每小题1分，共20分）

.1、

1.sin—()

X

A.在x->0时为无穷小量B.在xf0时为无穷大量

C.在区间（0』）内为无界变量D.在区间（0,1）内为有界变量

2.f(x)=Inlxl-secx是()

A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.有界函数

sin2x

3lim°一()

x->0NX

1

A.OB.lC.2D.-

2

4.下列函数中，非奇非偶的函数为（）

A.y=1x1+1B.y=arctgx

C.y=sinx+cosxD.y=ex

5.曲线y=F_1在点（1,0）处的法线斜率为（)

11

A.2B.-C-2D.——

22

6.设y=log?x,则旷=;()

11

A.-B.—D.—In2

X2xxln2X

/7y-

7.设y=/+x,则竺

=()

dyy=2

1

A.2B.4C.一D-

24

8.j(3+sinx)t/x=

A.3+cosx+cB.3x+cosx+cC.3x-cosx+cD.3—cos九+c

9.£e2xdx=()

121,

AA.-e-B.e2-1C.e~~cD.—(e--1)

22

10.j(1+2，)dx=

A.x+21+cB.x+2-i+c

C.x+—!—2i+1+e2X

D.XH--------FC

x+\In2

1152」的一个原函数是（)

00022高等数学（工专）第I页共5页

A.1+1B.x"+2C.3.lx'1+2D.—x''+5

3.1

12.通过点必(2,2,3)与%(1,1,2)的直线方程为()

x-1y-1z-2x-2y-2z-3

A.----=-----=-----B.-----=-----=-----

112123

x-1y-1z-2x-2y-2z-3

C.----=-——=-----D.-----=-——=-----

13.函数z=/y3在点（1]）处，当△x=o.oi，A，=o.Ol时的全微分为（）

A.0.3B.0.06C.0.6D.0.012

14.设积分域（V）是由平面》=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的四面体，那么

川W=（）

（V）

1

A.1B.一

2

15.下列方程中，为二阶微分方程的是（

A生+3^=0

B.y"+3y'+2y3=sinx

dx71-x2

c.强…/D.y,2+2xy-x=0

dx

16.下列方程中，不是线性微分方程的是（)

A.y'+xy-exB.y"+2y'+y=sinx

C.y'+盯'exD.yn+xyr=ex

17.虫+y=0的通解是y=（）

dx

A.ceB.ce~xC.e'+cD.e'+c

（c为任意常数）

8

18.正项级数Z%的部分和数列£=%+…+a”有上界是该级数收敛的（）

/»=1

A.充分非必要的条件B.必要非充分的条件

C.充分且必要的条件D.既非充分又非必要的条件

O000

19.设有级数⑴:和级数（II）:1+2+…+1000+X。”，则下列结论正确的是（)

〃=1”=1

人.若（I）收敛，则（n）发散！3.若（I）发散，则（n）收敛

C.若（II）收敛，则（I）发散D.若（H）发散，则（I）发散

00CO

20.对级数4=4+%+…+。“，则lim4存在是级数X。"收敛的（）

w=ln=l

A.充分非必要的条件B.必要非充分的条件

C.充分且必要的条件D.既非必要又非充分的条件

（二）海小题2分洪20分）

2L/（x）在/的左、右极限存在且相等是/（x）在该点连续的（）

A.充分且必要的条件B.充分非必要的条件

C.必要非充分的条件D.既非充分也非必要的条件

22.设/（x）=x2,g（尤）=",则/[g（切=（）

A.e?B.e2xC.ND.ex

00022高等数学（工专）第2页共5页

23.函数/(x)=/—6x+8单调减少的区间是()

A.(-co,+co)B.(-oo,3]

C.[-3,+oo)1D.[3,+oo)

24.设y=(x—l)(x-2)(x-3),则)，'(1)=()

A.OB.2C.3D.6

25.Jcos(x+5)dx=()

A.sin(x+5)+cB.5sin(x+5)+c

D.|cos(x+5)+c

C.5cos(x+5)+c

/•I.5

26.Jtanxe/x=()

A.Incos1+Ineos15B.Incos1.5-Incos1

C.lncosl-lncosl5D.Incosl5-lnsinl

27.设积分域⑹是：V+VW/,那么JJe"+四曲=（）

（。）

A.Vd^e-a2dre~ardr

JoJo0

C.D.

JoJoJoJo

28.圆柱面》?+y2=8与平面z=12的交线在X。），平面上的投影的方程是（）

A.x2+y2=8,z=12B.x2+y2=8,z=10

C.x2+y2=8,z=0D.x2+>,2=8,z=4

29用待定系数法求方程y〃+V=cosx的特解时，应设特解y=（）

A.(Ax+B)exB.(Ax+B)e‘x

C\Ax+B)e('+i)xD.x(Ax+8)e…

30.设九为正常数,则级数£（-1）"T-

w=I

A.绝对收敛B.条件收敛

C.发散D.收敛性与大有关

第二部分非选择题

二、计算题（本大题共7小题,每小题6分洪42分）

x+sinx

31•求lim/2।

yjX+1

cosx,x<0

32.设〃x)=1,X=0,试讨论/（x）在X=0处的连续性。

ln(x+e),x>0

x=arctgt求力d2y

33.设

y=ln(l+t2)'dx'dx2

Jo"ln(l+/)力

34.求ijm

x->00

-（3

35.设z=e，\'，求dz

00022高等数学（工专）第3页共5页

36.求微分方程ydx-（3x+y4）dy=0的通解。

37.写出级数（、历一JT）+（J5-拒）+（"-J5）+（6-4）+…的一般项并判别该级数

的收敛性。

三、应用和证明题（本大题共3小题,每小题6分，共18分）

38.在曲线〉=cosx（|x快/上求一点，使该点的切线平行于过点（1,0）和（一1,-1）的直线。

39.求曲面Z=正+/和Z=/+y2所围成的立体的体积

•百sinx,,n

40.证明:--：----dxW----

iev(x2+l)12e

全国2001年10月高等教育自学考试

高等数学（工专）试题参考答案

课程代码：00022

一、,单项选择题（本大题共30小题，1一20每小题1分，21—30每小题2分，共40分）

（一）（每小题1分洪20分）

1.D2.B3.A4.C5.D

6.C7.D8.C9.D10.D

H.D12.D13.B14.D15.B

16.C17.B18.C19.D20.C

（二）（每小题2分，共20分）

21.C22.B23.B24.B25.A

26.C27.D28.C29.C30.A

二、计算题（本大题共7小题,每小题6分，共42分）

<sinx

1+-----

x

31.解:原式二lim^5

vlsinx\W1,/.lim为竺=0

Jf—>+<OX

.店—1+0,

・.原式=]=1

Vi+o

32.解f(-0)=limcosx=1

AT-0

f(+0)=limln(x+e)=Ine=1

.v->+0

/(0)=i

.••/(-0)=/(+0)=/(0)

故/(x)在x=0连续。

dy2t

虫=4=

33.解

dx0

dt1+产

d

d2y_dt⑵)

=2(1+/)

dx2dx

dt1+/2

00022高等数学（工专）第4页共5页

2

£'/ln(l+r)J/exln(l+x2)

34.解lim=lim

XT8XT8(l+2x2)e'2

ln(l+x2)

=rhm---------z-

X->81+2x

2x

=lim=lim

-----------52~=0

A->004xXT82(l+x)

35.解

-(-+-)1X

aze咚)

xy

y1x1

dz=e'v2」)dx+(W-)dy]

尤yy%

36.解方程变为竺—‘x=y3

dyy

其通解为X=eyd）[\y3e^d'dy+c]

=y-y+c）

37.解级数的一般项为（、亿彳-M）

级数的前n项和s“=Jn+1-1

因lims“=oo

/»—>00

所以级数发散。

三、应用和证明题（本大题共3小题,每小题6分，共18分）

38.解过两点的直线的斜率吗

1/071

y'--sinx令5,得"=市

故切点坐标为（—--,y（-即（一二,二丁）

6*662

x2+y2=1

39.解两曲面的交线:，所求体积为

z1

V=JJQ/+y2-(x2+y2)]dxdy

x2+y2^l

=『护工("3冏

尸」/)卜巴

406

•V31

40.证--------z-------dx

16'(X2+1)

1Jx=—arctanxlf

11+x2e

=-[arctanV3-arctan11=—(---)=

ee3412e

00022高等数学（工专）第5页共5页

浙江省2002年1月高等教育自学考试

高等数学（工专）试题

课程代码：00022

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题后的括号

内。每小题2分，共20分）

1

1.设—，则：f（x）=（）

l+2x

——C.--------D.---------

14-x1+2x1-2x

_..sin3x/、

2.hm-----=()

x->otg2x

3

A.3B.-C.-D.l

22

3.过原点作曲线丫=已*的切线，贝IJ：切线的方程为()

A.y=exB.y=exC.y=xD.y=^x

4设f(x)=x(x・l)(x・2)(x-3),则:方程f'(x)=0,在(0,3)内的根的个数为()

A.lB.2C.3D.4

5.设f(x)的一个原函数为x\贝lj：fxf(l-x2)dx=()

A.(1-X2)3+CB.--(1-X2)3+C

2

C.--(l-x2)3+CD.X3+C

6

6.设［［。2)出二2乂3,则：J'f(x)dx()

A.lB.2C.3D.4

7.如果广义积分「x2-Pdx收敛，贝女)

A.P>1B.P<1C,P>3D.P<3.

8.函数Z=f(x,y)在点(x°,yo)处连续是z=f(x,y),在点(x(),yo)处存在一阶偏导数的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既非充分，又非必要条件

9.方程包=-上的通解为（）

dxy

A.x2-y2=CB.xy=CC.x2+y2=CD.x+y=C

io.下列级数中绝对收敛的级数是（）.

00

A.£(-Dn1

BEt8F

n=lJn+1n=l

8n+101

CZ(-D"2n2+3D.〉ln(l+-)

n=lMn

二、填空题(每格2分,共20分)

11.lim(7n24-2n-n)=.

nT8

(XNO)

，在点x=0处连续,贝jl：a=.

(x=0)

00022高等数学（工专）第6页共5页

13.设丫=出\,则:f'(x)三

X

14.设x=<

1—X+X~

15.-------^dx=

x(l+x-)

d田

16.一f(t)dt=.（f（l）为连续函数）

dxJo

17.

J-'V1-X2

18.设z=xy(x>0),则：dz=_____.

19.设D：x?+y2Wa2,则：j|(x2+y2)dxdy

D

20.幕级数f—xn的收敛半径是___.

n=12n

三、计算题（每题6分，共42分）

21.设y=2xarctg2x-lnJl+4x2，求：—,.

dxdx2

22.求lim（------:---）.

x

XTOsinxe-1

23.设y是由方程6>'+*丫=6所确定的x的函数，求：曲、一也

dxdxx=0

24.fxsin2xdx

25.faox3y/a2-x2dx（a>0）

26.求过直线—=y+2=金-且平行于直线=^±=七且的平面方程。

2-2023

27.求微分方程y"-2y'-3y=4e”的通解.

四、应用和证明题（每小题6分，共18分）

28.求斜边长为1的直角三角形中，周长最大的直角三角形.

29.求平面z=0与曲面z=4-（x?+y2）所围立体的体积.

30.设z=f（^,-）f具有一阶偏导数.

xy

、4丁及SZ„

试证：X—+V—=0

dxdy

浙江省2002年1月高等教育自学考试

高等数学（工专）试题参考答案

课程代码：00022

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

l.A2.B3.B4.C5.B

6.C7.D8.D9.C10.B

二、填空题（每题2分，共20分）

11.1

12.4

2xsin2x+cos2x

13.-----------------

x

00022高等数学（工专）第7页共5页

14.-el

2

15.Inlxl-arctgx+C

16.2xf(x2)

17.2n

18.yxyldx+xylnxdy

20.2

三、计算题（每小题6分，共42分）

8x

21.y'=2arctg2x+2x•------；-----

1+4x221+4x2

=2arctg2x

2

y〃二2

1+4x2

2

1+4x2

ex-1-sinx

22.原式二lim

x->0sinx(ex-1)

lim

XTO

e-cosx

=limi------------

x->0)2x

ex+sinx

=lim

x->02

~2

e-cosx

或者：原式=lim

XTOcosx(ex-l)+sinxex

ex+sinx

=lim

xfO-sinx(ex-1)+2cosx•ex+sinx•ex

2

2

23.方程两边同时对x求导

ey•yz+y+xy'=0

则：y'--J!—(a)

当x=0时,y=l

将之代入(a)可得：y'(0)=--

e

24.原式=/—x(l-cos2x)dx

2

X21「4.c

=--------Jxdsmzx

44

x21i

=--------xsin2x+—fsin2xdx

444

=--------xsin2x--cos2x+C

448

00022高等数学（工专）第8页共5页

25.设x=asint,则：dx=acostdt

原式=["a?sin3ta2cos2tdt

(,n/

=a5r2(sin31-sin5t)dt

(0

26.设平面法线的方向数为｛m,n,D,则

j2m+n-21=0

[2n+3l=0

7,

m=—1

解此方程可得：[4

n=--l

2

则：平面法线的一组方向数为{7,-6,4}

由于平面过点(1,-2,3),因此平面方程为:

7(x-l)-6(y+2)+4(z-3)=0

BP：7x-6y+4z-31=0

27.y"-2y'-3y=0的通解为：Cie^+Cze311

由于-1是特征根，因此可设特解为：y=axe”

y'=a(1-x)e'x,y"=a(-2+x)e-x

代入原方程可得：a=-l

x3xx

则方程的通解为：y=cie-+c2e-xe-

四、应用和证明题(每小题6分，共18分)

28.设直角三角形的两条直角边为x、y,贝小

y=712-x2_______

直角三角形的周长：Z=x+y+l=x+Vl2-X2+1

人dz〔x八

令：一=1-..==0

dx712-x2

1

则:

由于所求的驻点唯一，又根据实际问题，必有周长最大的直角三角形，因此,

%11

当FF时，直角三角形的周长最大。最大周长为(正+1)1.

29.平面z=0与曲面z=4-(x?+y2)的交线为:

X，2+y，2=4A

z=0

则:V=jj[4-(x2+y2)]dxdy

2，一,

x-+y~<4

=fdef2(4-r2)rdr

=8n

00022高等数学(工专)第9页共5页

30.£=f(a)+f21

Sxxy

.=fJ+f2(奇)

5yxyZ

rn.ldzdz

贝(J：x—+y—=0n

5x5y

全国2002年4月高等教育自学考试

数学（工、专）试题

课程代码：00022

一、单项选择题（本大题共20小题，170每小题1分，11-20每小题2分,共30分）在每小

题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在题后的括

号内。

（-）每小题1分，共10分。

1.指出下列哪一个是基本初等函数（)

2x-1x<0

Ay=xB.y=xC.y=［x］（取整数）D.y=

x+1x>0

2函数f（x）在闭区间上连续是取得最大值，最小值的(）

A必要非充分条件B.充分非必要条件

c充分且必要条件D.既不充分也非必要条件

3f（X）在Xo处连续是f（X）在Xo处可导的（)

A必要非充分条件B.充分非必要条件

C充分且必要条件D.既不充分也非必要条件

4在［-1,1］上满足罗尔定理条件的函数是（)

1

AeB.InxC.1-x2D.

1-x2

5下列等式中正确的是()

A—Jf(x)dx=f(x)dxB.—Jf(x)dx=f(x)+C

dxdx

CdJf(x)dx=f(x)dxD.dff(x)dx=f(x)

6定积分定义J［f（x）dx=］imXf©i）Axi说明（)

X―>0i=1

A［a,b］必须n等分，却是［xfxj端点

B［a,b］可任意分法，却是［Xi,xj端点

C［a,b］可任意分法，X=max{Axi}f0,却可在［xl,xj任取

D［a,b］必须等分，X=max{Axi}一＞0,当可在［xi,xj任取

X2y2

7方程丁+5=11在空间解析几何中表示（

y=2

A椭圆柱面B.椭圆曲线C.两个平行平面D.两条平行直线

8函数f(x,y)=x~3x+y2,则它在点(1,0)处（)

A取得极大值B.无极值

C取得极小值D.无法判断是否有极值

9函数e”展开为x的基级数是（)

00022高等数学（工专）第10页共5页

A.在(-1,1)成立B.00)成立

n=l11,

a在

C.在(一00，8)成立D.(_oo,oo)成立

，

n=0nn=l

10.方程(x+1)(y，l)dx+x2y2<坟=0是()

A.一阶齐次方程B.可分离变量方程

C.贝努里方程D.线性非齐次方程

(二)每小题2分，共20分

x>0/、Ix-1x>1

11.f(x)=g(x)=，则g(f(x))=()

x<0[1-Xx<1

A.l+f(x)B.l-f(x)C.f(x)-lD.f(x)

12.若数列x“有极限a,则在a的邻域之外数列中的点()

A.必不存在B.至多只有有限多个

C.必定有无穷多个D.可以有有限多个，也可以无限多个

13.若f(x)为可微函数，则dy()

A.与Ax无关

B.为Ax的线性函数

C.当Ax->0时，dy为Ax的高阶无穷小

D.当Axf0时，dy为Ax为等阶无穷小

14.若在(a,b)内函数f(x)的一阶导数f(x)>0,二阶导数f"(x)<0,则函数在此区间内是

()

A.单调减少，曲线上凹B.单调增加，曲线上凹

C.单调减少，曲线下凹D.单调增加，曲线下凹

15.若Jf(x)dx=F(x)+c,则Je-xf(e-x)dx=()

A.F(e-x)+cB.F(ex)+cC.F(eX)+cD.-F(e-x)+c

X

16.f(x)在［a,b］上连续,(p(x)=Jf(t)dt)则()

A.<p(x)是f(x)在［a,b］上的唯一的原函数

B.<p(x)是f(x)在［a,b］上的一个原函数

C.f(x)是中(x)在［a,b］上的一个原函数

D.f(x)是<p(x)的在［a,b］上的唯一的原函数

17.母线平行于z轴的柱面方程的特征是方程中()

A.可含变量x,z,不含变量y

B.可含变量y,z,不含变量x

B.可含变量x,y,不含变量z

D.只含变量z

18.二元函数z=f(x,y)在(x°,y。)可导处(指偏导数存在)与可微的关系为()

A.可导必可微B.可导一定不可微

C.可微必可导D.可微不一定可导

19.微分方程2ydy-dx=0的通解是(

A.y2-x=cB.y-Vx=c

C.y=x+cD.y=-x+c

20.若级数为之外?(x=0),判定此级数是()

n=ln

A.发散级数B.绝对收敛级数

00022高等数学(工专)第11页共5页

C.条件收敛级数D.仅在(-1,0),(0,1)内级数收全敛，其它x值时级数发散

二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

21.函数y=|sinx|+|cox|是周期函数，它的最小正周期为。

22.若y=a-',则dy=_____。

23.若f(x)的二阶导数f"(x)连续，则Jxf"(x)dx。

24.z=,1的定义域_______o

"y2T

25.微分方程x曳=2y的通解____。

dx

三、计算题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)

26•求lim产

X->O0

27.设f(x)可导,求函数y=f(f(sinx))的导数.

28.求Jarcctgxdx。

29.计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成图形的面积。

3。.设Ex,y)是由方程z-z4所确定的函数试求/看。

31.求微分方程y"-3y'=sin2x的通解。

32.求鼎级数(x+l)n的收敛区间(考虑端点)。

平行的直线方程。

33.求过点(-1,2,1)且与直线x+

x+2y-z+l=0

34.计算“小db,其中D是由y=x及y=x?所围成的区域。

四、证明与应用题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

35.若f(t)是连续函数，且为偶函数，证明Jj(t)dt是奇函数。

xksin-xrO

36.证明f(x)=<x在x=0处当k>l时f(x)可导,当k=l时f(x)不可导。

0x=0

yyx2

37.设f(x)在区间［0,1］上连续，证明fdyfef(x)dx=[(e-e)f(x)dxo

JoJoJo

全国2002年4月高等教育自学考试

高等数学(工、专)试题参考答案

00022高等数学(工专)第12页共5页

课程代码：00022

第一部分选择题

一、单项选择题(本大题共20小题,1—10小题•每小题1分，11一20小题,每小题2分，共

30分)

1.A2.B3.A4.C5.C6.C7.D8.C9.C10.B

11.B12.B13.B14.D15.D16.B17.A18.C19.A20.B

第二部分非选择题

二、填空题(本大题共5小题，每小题2分,共10分)

21.22.—a~x\nadjc23.工「(x)—/(z)+c

24.{(1，川+y>1}25.Cx2

三、计算题(本大题共9小题，每小题5分,共45分)

26.当彳f8时f0,|sinrr|V1

JC

故lim—•sinx=0

r-»ooJC

...1,m£+sin£=1.m(1+sin£)

=1

27.解y=/(〃)u==sinx

y1=P(.u)f(v)cosx

=f1(/(sin^-))f(sinx)cosx

28.令a=arcctgj-dv=dx

.1.

du=--~~--v=x

1+

原式=Jrarcctgx+

J1+N

—xarcctgx++x2)+c

29.画草图求交点

'="交点(2,—2),(8,4)

y=x—\

选取积分变鼠为y

00022高等数学（工专）第13页共5页

，=f(y+4—4Vxy

J-24

=18

30.令="一3.ZJ»JC—a3

a尸Q*、23FQ2.

—=-3yz—=-3-rz-=-3N-3xy

.生=尸

<irzz—xy

-dz-=，，“xz

cfyzz-jry

31.齐次方程为V'-3y'=0

31

其通解为歹=C+c2e

设_y=/Icos2J-+Bsin2x为其特解代入原方程

f—4A—6B=0

1-45+6-4=1

4=得

得，

B=-H

,3i

故通解y=G+Q/了+—cos2^—r^sin2x

601O

32.解lim|%*2|=21H+1|

18Un\JC)

当2|z+l[Vl即一?VhV一2级数收敛

当z=-"1"，原级数为X71[-]发散

了=一日,原级数为X•(一D”收敛

:，收敛区间为[-4*-T)

乙乙

33.解设所求直线的方向数为｛加5,。｝,则按意义

产+〃-2P=0①

+2〃—p=0②

②一①得〃=一。，将其代入①得加=3/>

取/>=1,得加=3,九=—1

所以所求直线方程为=匕二/=吓1

0-1I

34.解先对y后对z积分

00022高等数学（工专）第14页共5页

fl

=(sinjr-xsin.z)6/.2'

0

==1-sinl

四、证明与应用题(本大题共3小题，每小题5分,共15分)

35.证明F(z)=|f(t)dt

•・•/(一/)=/(/)

:・F<—1)=Jf(t)dt

令f=­u

*4

=­f(