人教版六年级数学下册第10讲数和数的运算（二）精讲练习试题及答案

【专题讲义】人教版四年级数学下册

第10讲数和数的运算（二）专题精讲（学生版）

知识要点梳理

模块一、

1、掌握四则运算混合运算的运算顺序。

课程目标2、掌握基本运算律，灵活运用运算律进行简便运算。

3、掌握质数合数的概念，掌握最大公因数、最小公倍数的求法及应用。

课程重点观察算式特点，灵活运用运算律。

课程难点最大公因数、最小公倍数的实际应用；

1.让学生理解简便运算的基础上，简便运算与加减乘除混合运算的区

别与联系。

教学方法建议

2.通过练习归纳出常见的方法。

（一）数的整除

1.数的整除

整数a除以整数b（b声0）,除得的商是（）而没有（）数，我们就说a能被b整

除，或者说b能整除a。

如果数a能被数b（b*0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。

倍数和约数是相互依存的。

例如：35+7=5,因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。

【练习】判断：1.因为42+7=6,所以42能整除70（）

2、一个数的倍数一定比这个数的约数大。（）

3、因为6+1.2=5,所以6能被1.2整除。（）

4.因为16+0.8=20,所以16能被0.8整除。（）

2.卜个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。

例如：10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是（）,最大的约数是（）。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是（），（）最大的倍数。

3.被2.3.5整除的数的特征：

个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除，例如：202、480、304,都能被2整除…

个位上是0或5的数,都能被5整除，例如:5、30、405都能被5整除…

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被

3整除。

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

【练习】下面各数能同时被2、3、5整除的数是（）

A.215B.30C.75D.94

4.偶数和奇数：

能被2整除的数叫做（）。不能被2整除的数叫做（）0

0也是偶觥自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。

5.质数和合数：

一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做（）（）。

100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、

53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做（），例如4、6、8、9、12

都是合数。

1不是质数也不是合数J自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数

的不同分类，可分为质数、合数和1。

【练习】在所有的质数中，偶数的个数有（）。

A、一个也没有B、有一个C、有两个D、有无数个

6.质因数和分解质因数:

每个合数都可以写成几个（）相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的（素因数）数,

叫做这个合数的质因数。

例如15=3x5,3和5叫做15的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如把28分解质因数

28=

7.最大公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、

3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数。

8.互质数:

公约数只有1的两个数，叫做（互质数）。

成互质关系的两个数，有下列几种情况：

（1）1和任何自然数互质。如：1和2,1和1。等；

（2）相邻的两个自然数互质。如：8和9,9和10等

（3）两个不同的质数互质。如；3和7,（）和（）

（4）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。如：（）和（）

（5）两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这

几个数两两互质。如；（）和（），（）和（）

如果较小数是较大数的约数，那么较（）数就是这两个数的最大公约数。

如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是（T7

【练习】判断：任意两个相邻的自然数（0除外）都是互质数；（)

9.最小公倍数:

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数,

如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……

3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的

最小公倍数。。

如果较大数是较小数的倍数，那么较（）数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。一

几个数的公约数的个数是（）的，而几个数的公倍数的个数是（只有一个）的。

10.数的整除

1.把一个合数分解质因数，通常用（）法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到

商是（）数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

如：如6=

2.求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只

有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。

3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直

除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小

公倍数。

11.奇偶性:

偶数士偶数=偶数奇数士奇数=偶数奇数士偶数=奇数

偶数个偶数相加是偶数，奇数个奇数相加是奇数。

偶数X偶数=偶数奇数X奇数=奇数奇数X偶数=偶数

（二）数的运算

1、四则运算的意义

\数的分类

小数分数

运算名薪\

加法把两个数合并成一个数的运算。

减法已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。

乘法求几个相同加小数乘整数与整数乘分数乘整数与整数乘

数的和的简便法意义相同。法意义相同。

必算。

一个数乘小数，就是求一个数乘分数，就是求

这个数的十分之几，百这个数的几分之几是

分之几…是多少。多少。

除法已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、四则运算的法则

整数小数分数

相同数位对齐，从低位小数点对齐，从低位1、同分母分数相加减，分母不变，

算起算起，按整数加减法分子相加减。

进行计算，结果中的

加法：满十就向前一位2、异分母分数相加减，先通分，

加减小数点和加减的数的

进一然后再按同分母分数相加减的方法

小数点对齐。

计算。

减法：不够减就从前一

位退，退一当十3、结果能约分的要约分。

1、从个位乘起，依次用1、按整数乘法法则1、分数乘分数，用分子相乘的积

第二个因数每一位上的算出积。作分子，分母相乘的积作分母。

数去乘第一个因数。

2、看因数中一共有2、有整数的把整数看作分母是1

2、用第二个因数哪T立几位小数，就从积的的假分数。

乘法上的数去乘，得数的未右边起数出几位点上

3、有带分数的，通常先把带分数

位就和第二个因数的哪小数点。

化成假分数。

一位对齐。

3、再把几次乘得的数加

起来。

除数是整数：从被除数除数是小数：先移动甲数除以乙数（0除外），等于甲

的高位除起，除数是几除数的小数点，使它数乘以乙数的倒数。

位就先看被除数的前几变成整数，除数的小

位，如果不够除，就要数点向右移动几位，

除法多看一位，除到哪一位被除数的小数点也向

就要把商写在哪一位的右移动相同的位数

上面。商的小数点和被（位数不够的补0）,

除数的小数点对齐。然后按照除数是整数

的除法进行计算。

3、四则运算各部分的关系：

「加数+加数=和做减数一减数=差

加法j

'一个加数二和一另一个加数《减法被减数=减数+差

<减数=被减数一差

「因数X因数=积广被除数+除数=商

乘法<

「个因数=积一另一个因数4除法被除数=商、除数

除数=被除数一商

4、运算定律和运算性质

力口法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：axb=bxa

乘法结合律：(axb)xc=ax(bxc)

乘法分配律：(a+b)xc=axc+bxc

减法的运算性质:a-b-c=a-(b+c)

除法的运算性质:a+(bxc)=a+b+c

5、四则运算的顺序：

在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有

两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。

有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。

模块二方法归纳

1.一个数被整除的判断方法：

被2整除：个位是0、2、4、6、8的，则这个数能被2整除。

被3（或9）整除：数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。

被4（或25）整除：末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。

被5整除：若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。

2.判断互质数的技巧：

①和其它的自然数。例：1和99、1和46

②两个连续的或相邻的自然数一定是互质数。例：3和4、9和10

③两个连续的奇数或相邻的奇数是互质数。例：7和9、13和15

④两个质数是互质数。例：5和7、11和17

3.判断最大公因数的技巧：

①如果两个数是互质数关系，那么最大公因数是1。例：7和11

②如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是较小数。例：7和21

4.判断最小公倍数的技巧：

①如果两个数是互质数关系，那么最小公倍数是它们的乘积。例：5和7

②如果两个数是倍数关系，那么最小公倍数是较大数。例：7和14

模块课堂精讲

(-)最大公因数和最小公倍数

例1(1)甲数=2x3x5x7,乙数=2x3x11,甲乙两数的最大公约数是()，最小公倍

数是()。

(2)把自然数a与b分解质因数，得到a=2x5x7xm,b=3x5xm，如果a与b的最小公

倍数是2730，那么m=()。

【规律方法】掌握两数的最大公因数和最小公倍数的求法。两数的最大公因数是这两数中的相

同质因数的积，最小公倍数是两数中相同的质因数和不同质因数的乘积。

【变式训练1]

1、A=2x3x5,B=2x3x7,A和B的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

2、A=2x3x7,B=2x5x7,A和B的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

3、如果A=60,B=42,那么A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）；

4、A=2x3xaB=2xax7,已知A、B的最大公约数是6,则a=（）;A、B的最小公倍

数是（）。

（二）数的整除

例2（1）有9、7、2、1、0五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5整除的

最小的四位数是（）。

（2）一个三位数既能被2整除，又能被3整除，而且个位、十位上相同，这个三位数最大是

（）。

（3）在6、3、5、0、8、7这六个数中选中五个数组成一个能同时被2、3、5整除的最小五

位数（）.

【规律方法】掌握同时被2,3,5整除的数的特征。

【变式训练2】

1、四个数字0、2、5、8组成的四位数中，能同时被3和5整除的最大的数是（），

最小的数是（）。

2、一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是

质数也不是合数，它十位上的数是最小的质数，个位上的数是（）。

3、一个三位数，百位上既不是质数也不是合数，十位上是最大的奇数，这个数又是2和3的

倍数，这个三位数是（）或（）o

例3（1）a与b是互质数，它们的最小公倍数是最大公约数的m倍，则m是（）.

①ab②a③b④1

（2）如果自然数a除以自然数b商是17,那么a与b的最大公约数是（），最小公

倍数是（）O

【变式训练3】

1、自然数a是自然数b的3倍，那么a与b的最小公倍数是（）

A、abB、3C、aD、b

2、自然数m和n,n=m+1,m和n的最大公约数是（）,最小公倍数是（）。

3、m、n是非零自然数，m+n=l……1,那么m和n的最大公因数是（）。

A、1B、mnC、mD、n

4、a与b是相邻的两个非零自然数，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

（三）数的整除的实际应用

例4把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力

剩3块。你知道这个组最多有几位同学吗？

【规律方法】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数

的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数.根据题意可知：如果糖有46-1=45块，巧

克力有38-3=35块，正好平均分完，求这个组最多有几名同学，即求45和35的最大公因数,

把45和35进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；由

此解答即可.

【变式训练4]

1、被2、3、5除，结果都余1的最小整数是()，最小三位整数是()。

2、一筐苹果4个4个拿，6个6个拿，或者8个8个拿都正好拿完，这筐苹果最少有()

个。

3、一个两位数除以5余3,除以7余5,这个两位数最大是()

(A)72(B)37(C)33(D)68

4、五1班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行

多5人。问上体育课的同学最少多少名？

例5一个大厅里共有200盏彩灯。每两盏灯与一个拉线开关相连（同时亮或同时熄）。现在,

所有开关按序号1~100安装在同一个控制箱内，所有的灯都处于"熄"的状态。李明先将序

号是3的倍数的开关拉一遍，接着刘强又将序号是5的倍数的开关拉了一遍。这时，大厅里

共有（）盏灯亮着。

【规律方法】本题主要考查数的整除特征考点.解答此题应结合题意，根据数的整除特征，依

次进行分析，进而得出结论.李明将序号是3的倍数的开关拉一遍后，有33个开关开着（100

+3取整得33）,接着刘强又将序号是5的倍数的开关拉一遍后，有100+5=20个开关动过，

其中有6个是由开变关，（100+（3x5）取整得6），实质上是有20-6=14个开关被打开了,

两轮以后，一共有33-6+14=41个开关开着，有41x2=82盏灯亮着.

【变式训练5]

下图是A/B/C三个互相咬合的齿轮，若A齿轮转3圈，B齿轮转7圈，C齿轮转2圈，那么

这三个齿轮最少是A齿轮（）齿，8轮（）齿，＜：轮（）齿。

【变式训练6]

1、甲、乙、丙三根长绳分别长8米、10米和16米，把它们分别剪成长度相等的短绳（以米

为单位），问一共最少能剪成多少条短绳？

2、某公共汽车始发站，1路车每5分钟发车一次，2路车每10分钟发车一次，3路车每12

分钟发车一次。这三路汽车同时发车后，至少再经过（）分钟又同时发车？

3、小红在操场周围种树，开始时每隔3米种一棵，种至I」9棵后，发现树苗不够，于是决定

重种，改为每隔4米一棵，这时重种时，不必再拔掉的树有多少棵？

例7一次数学竞赛，结果学生中1/7获得一等奖，1/3获得二等奖，1/2获得三等奖，其余获

纪念奖。已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？

【规律方法】解答本题的关键是明确：学生中J获得一等奖，获得二等奖;,获得三等奖:，

I。乙

也就是说学生总人数应该是7,3,2的公倍数且小于50人.

【变式训练7]

1、一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这

种正方形的边长最大是多少？被剪成几块？

2、一种长方形的地砖，长24厘米，宽16厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？

3、已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人。将他们按每组12人分组，多3人；

按每组8人分，也多3人。这个学校六年级学生多少？

（四）找数的规律

例8在括号里填上合适的数

111

J\--

、

Z49、

16

11X±X

2'6'12'20'30'

111

）、（）、（）

3'6'9'12'

（4）△。□。△。□©△。口。

像上面这样排列下去，第20个图形是（）。

【规律方法】找到每一题中已给的几个数的之间的规律，或者是分母是某个数的平方，或者是

某个数的倍数，注意（4）题是△。口。4个一个周期，运用周期问题的方法解决即可。

模块四b讲练结合题

（一）填空

I、如果①用代表同一个非0自然数，下列算式中，得数最大的是（）

A①，B.O4--+①D.Ox-

6777

2、5米增加1米是（）米,（）米增加（是5米。

3、2007年5月，太湖蓝藻爆发影响自来水水质，无锡市实行“引江济太"工程，将长江水

引入太湖。调水时，流量由原来的每秒160立方米提高到每秒240立方米，流量提高了匕。

4、在股票交易中，买进必须按成交额的0.3%交纳印花税、0.15%交纳佣金，小李以每股10

元买进1000股科技股，需要交纳印花税（）元、佣金（）元。

5、今年植树节，花园路小学种植了185棵树苗，其中15棵未成活，后来又补种了15棵，

全部成活。今年花园路小学种植树苗的成活率是（）。

6、在3、5、12、49、108五个数中，质数有（），合数有（），12能被这五个数中的

（）整除。

7、把30分解质因数是：30=（）0如果数a=3x3x5,那么30和a的最大公约数是（），

最小公倍数是（）。

8、有一箱苹果，3个3个地数多1.个，4个4个地数也多1个，5个5个地数还多1个，这

箱苹果至少有（）个。

（二）、选择题

1、一个自然数有三个约数，这个自然数一定是（）。

A.奇数B.质数C偶数D.合数

2、1、3、5都是15的（）。

A、质因数B.公约数（公因数）C.约数（因数）D.奇数

3、用10以内的质数能组成互质数（）。

A.4组B.5组C.6组

5、当n表示1、2、3、4、5……时,2n表示（）。

A.奇数B.偶数C.质数D.合数

6、能同时被2、3、5整除的最大三位数是（）。

A.900B.995C.990D.999

7、用0、1、3、5这四个数字组成能被5整除的四位数共有（）个。

A.4个B.6个C.10个D.12个

8、把一道减法算式里的被减数、减数、差相加，结果是36,被减数是（）。

A.18B.26C.无法确定

模块五课后自测练习

（一）填空

1、1至9的九个数中，相邻两个数都是质数的是（）和（），相邻两个数都是合数的

是（）和（）o

2、两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是144则这两个数分别是（而I）。

3、从0,5,4,2这四张数字卡片中任意挑3张排成同时是2、3、5的倍数的三位数，这样的三

位数有（）个。

4、一个三角形3个内角度数比是5:3:1,这个三角形中最大的一个内角是（）度，这

是一个（）三角形。

（二）选择题

1、已知M+N=0.1（M、N为自然数），M和N的最大公因数是（）。

A.MB.NC.10D.以上答案都不对。

2、两个自然数a、b是互质数，已知axb=c,a和b的最小公倍数是（）

A.aB.bC.cD.以上答案都不对

3、下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（）

（1）0.2和0.24（2）35和5（3）5和25

4、下面各组数，一定不能成为互质数的一组是（）

（1）质数与合数（2）奇数与偶数

（3）质数与质数（4）偶数与偶数

5、如果a、b都是自然数,并且a+b=4,那么数a和数b的最大公约数是()0

(1)4(2)a(3)b

(四)文字题：

11

(1)5与］的和除以它们的差，商是多少？

3

(2)125减少它的12%^乘以五，积^^?

(3)某数的：加上2.5与它的：相等，求某数。

31

(4)0.21除以m的商加上2.4乘)的积，和是多少？

(5)甲数比乙数多25%，甲数是乙数的百分之几？乙数比甲数少百分之几？乙数是甲数的百

分之几？

（四）解答题：

1、有一堆糖果，2颗2颗地分少1颗，3颗3颗地分多2颗，7颗7颗地分多6颗，这堆糖

果至少有多少颗？

2、有两根铁丝，一根长48厘米，另一根长60厘米，要截成同样长的小段，不许有剩余，每

段最长为多少厘米？一共可以截成几段？

3、一行小树共36棵。原来每隔2米栽一棵树,现在由于小树长大了，必须改为每隔5米栽

一棵树，一共有几棵树不必移动？

【专题讲义】人教版四年级数学下册

第10讲数和数的运算（二）专题精讲（解析版）

知识要点梳理

模块一、

1、掌握四则运算混合运算的运算顺序。

课程目标2、掌握基本运算律，灵活运用运算律进行简便运算。

3、掌握质数合数的概念，掌握最大公因数、最小公倍数的求法及应用。

课程重点观察算式特点，灵活运用运算律。

课程难点最大公因数、最小公倍数的实际应用；

1.让学生理解简便运算的基础上，简便运算与加减乘除混合运算的区

别与联系。

教学方法建议

2.通过练习归纳出常见的方法。

（一）数的整除

1.数的整除

整数a除以整数b（b/0）,除得的商是（整数）而没有（余数）数，我们就说a

能被b整除,或者说b能整除a。

如果数a能被数b（b*0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。

倍数和约数是相互依存的。

例如：35+7=5,因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。

【练习】判断：1.因为42+7=6,所以42能整除70（x）

2、一个数的倍数一定比这个数的约数大。（x）

3、因为6+1.2=5,所以6能被1.2整除。（x）

4.因为16+0.8=20,所以16能被0.8整除。（x）

2.卜个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1,最大的约数是它本身。

例如：10的约数有1、2、5、10,其中最小的约数是（1）,最大的约数是（10）。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是（3）,（12）最大的倍数。

3.被2.3.5整除的数的特征：

个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除，例如：202、480、304,都能被2整除…

个位上是0或5的数,都能被5整除，例如:5、30、405都能被5整除…

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被

3整除。

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

【练习】下面各数能同时被2、3、5整除的数是（B）

A.215B.30C.75D.94

4.偶数和奇数：

能被2整除的数叫做（偶数）。不能被2整除的数叫做（奇数）。

0也是偶觥自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。

5.质数和合数：

一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做（质数）（或素数）。

100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、

53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做（合数），例如4、6、8、9、

12都是合数。

1不是质数也不是合数J自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数

的不同分类，可分为质数、合数和1。

【练习】在所有的质数中，偶数的个数有（B）。

A、一个也没有B、有一个C、有两个D、有无数个

6.质因数和分解质因数:

每个合数都可以写成几个（素数）相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的（素因数）

数，叫做这个合数的质因数。

例如15=3x5,3和5叫做15的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如把28分解质因数

28=2x2x7

7.最大公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、

3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数。

8.互质数:

公约数只有1的两个数，叫做（互质数）。

成互质关系的两个数，有下列几种情况：

（1）1和任何自然数互质。如：1和2,1和1。等；

（2）相邻的两个自然数互质。如：8和9,9和10等

（3）两个不同的质数互质。如；3和7,（4）和（8）

（4）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。如：（7）和（8）

（5）两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这

几个数两两互质。如；（4）和（9）,（3）和（7）

如果较小数是较大数的约数，那么较（小）数就是这两个数的最大公约数。

如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是（16T7

)

【练习】判断：任意两个相邻的自然数（0除外）都是互质数；（X

9.最小公倍数:

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数,

如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……

3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的

最小公倍数。。

如果较大数是较小数的倍数，那么较（大）数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。一

几个数的公约数的个数是（无限）的，而几个数的公倍数的个数是（只有一个）的。

10.数的整除

1.把一个合数分解质因数，通常用（短除）法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到

商是（质）数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

如：如6=

2.求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只

有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。

3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直

除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小

公倍数。

11.奇偶性:

偶数士偶数=偶数奇数士奇数=偶数奇数士偶数=奇数

偶数个偶数相加是偶数，奇数个奇数相加是奇数。

偶数X偶数=偶数奇数X奇数=奇数奇数X偶数=偶数

（二）数的运算

1、四则运算的意义

\数的分类

小数分数

运算名薪\

加法把两个数合并成一个数的运算。

减法已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。

乘法求几个相同加小数乘整数与整数乘分数乘整数与整数乘

数的和的简便法意义相同。法意义相同。

必算。

一个数乘小数，就是求一个数乘分数，就是求

这个数的十分之几，百这个数的几分之几是

分之几…是多少。多少。

除法已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、四则运算的法则

整数小数分数

相同数位对齐，从低位小数点对齐，从低位1、同分母分数相加减，分母不变，

算起算起，按整数加减法分子相加减。

进行计算，结果中的

加法：满十就向前一位2、异分母分数相加减，先通分，

加减小数点和加减的数的

进一然后再按同分母分数相加减的方法

小数点对齐。

计算。

减法：不够减就从前一

位退，退一当十3、结果能约分的要约分。

1、从个位乘起，依次用1、按整数乘法法则1、分数乘分数，用分子相乘的积

第二个因数每一位上的算出积。作分子，分母相乘的积作分母。

数去乘第一个因数。

2、看因数中一共有2、有整数的把整数看作分母是1

2、用第二个因数哪T立几位小数，就从积的的假分数。

乘法上的数去乘，得数的未右边起数出几位点上

3、有带分数的，通常先把带分数

位就和第二个因数的哪小数点。

化成假分数。

一位对齐。

3、再把几次乘得的数加

起来。

除数是整数：从被除数除数是小数：先移动甲数除以乙数（0除外），等于甲

的高位除起，除数是几除数的小数点，使它数乘以乙数的倒数。

位就先看被除数的前几变成整数，除数的小

位，如果不够除，就要数点向右移动几位，

除法多看一位，除到哪一位被除数的小数点也向

就要把商写在哪一位的右移动相同的位数

上面。商的小数点和被（位数不够的补0）,

除数的小数点对齐。然后按照除数是整数

的除法进行计算。

3、四则运算各部分的关系：

「加数+加数=和做减数一减数=差

加法j

'一个加数二和一另一个加数《减法被减数=减数+差

<减数=被减数一差

「因数X因数=积广被除数+除数=商

乘法<

「个因数=积一另一个因数4除法被除数=商、除数

除数=被除数一商

4、运算定律和运算性质

力口法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：axb=bxa

乘法结合律：(axb)xc=ax(bxc)

乘法分配律：(a+b)xc=axc+bxc

减法的运算性质:a-b-c=a-(b+c)

除法的运算性质:a+(bxc)=a+b+c

5、四则运算的顺序：

在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有

两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算。

有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。

模块二方法归纳

1.一个数被整除的判断方法：

被2整除：个位是0、2、4、6、8的，则这个数能被2整除。

被3（或9）整除：数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。

被4（或25）整除：末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。

被5整除：若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。

2.判断互质数的技巧：

①和其它的自然数。例：1和99、1和46

②两个连续的或相邻的自然数一定是互质数。例：3和4、9和10

③两个连续的奇数或相邻的奇数是互质数。例：7和9、13和15

④两个质数是互质数。例：5和7、11和17

3.判断最大公因数的技巧：

①如果两个数是互质数关系，那么最大公因数是1。例：7和11

②如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是较小数。例：7和21

4.判断最小公倍数的技巧：

①如果两个数是互质数关系，那么最小公倍数是它们的乘积。例：5和7

②如果两个数是倍数关系，那么最小公倍数是较大数。例：7和14

模块课堂精讲

（一）最大公因数和最小公倍数

例1（1）甲数=2x3x5x7,乙数=2x3x11,甲乙两数的最大公约数是（），最小公倍

数是（）。

解答

甲、乙两数的最大公约数是：2x3=6,最小公倍数是：2x3x5x7x11=2310。

故答案为：6;2310

(2)把自然数a与b分解质因数，得至！］a=2x5x7xm,b=3x5xm，如果a与b的最小公

倍数是2730，那么m=()。

【规律方法】掌握两数的最大公因数和最小公倍数的求法。两数的最大公因数是这两数中的相

同质因数的积，最小公倍数是两数中相同的质因数和不同质因数的乘积。

解答

a=2x5x7xmb=3x5xm，贝!Ja和b的最小公倍数是2x3x5x7xm=210m,

210m=2730,m=13;

故答案为：13.

分析：

根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；可得a

和b的最小公倍数是2x3x5x7xm=210m,由题意得：210m=2730,解答即可.

【变式训练1]

1、A=2x3x5,B=2x3x7,A和B的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

解答

A=2X3X5,B=2X3X7所以A和B的最大公约数是2x3=6最小公倍数是2x3x5x7=210;

故答案为：6,210.

分析：

求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数

的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数

与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可.

2、A=2x3x7,B=2x5x7,A和B的最大公约数是（）,最小公倍数是（）。

解答

A=2x3x7,B=2x5x7,A和B公有的质因数是：2和7,A独有的质因数是3,B独有的质

因数是5,那么A和B的最大公因数是:2x7=144和8的最小公倍数是:2x7x3x5=210;

故答案为：14,210.

分析：

这两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有

质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可.

3、如果A=60,B=42,那么A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）；

解答

6=2x3,通过观察B可以得出A=3;A和B的最小公倍数是2x3x3x7=126;

故答案为：3,126.

分析：

要使A和B最大公因数是6,6=2x3,B中只有2,那么A只有等于3,才符合题意；要求A

和B的最小公倍数，首先找出共有质因数2、3,再找出A的独有质因数3,B的独有质因数

7,这4个数的连成积，即可得解。

4、A=2x3xaB=2xax7,已知A、B的最大公约数是6,则a=();A、B的最小公倍

数是().

解答

A=2x2x3x5,B=2x3x7,A.B的最大公因数是:2x3=6，最小公倍数是2x2x3x5x7=420;

故答案为：6,420.

分析：

先把60和42进行分解质因数，这两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘

积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可.

（二）数的整除

例2（1）有9、7、2、1、。五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5整除的

最小的四位数是（）。

解答

根据能被2、3、5整除的数的特征，可知：

这个四位数的个位上的数一定是0,要保证这个四位数最小，干位上只要是1,再想

1+0+2+9=12,是3的倍数，所以要最小百位上应是2,十位上就是9,所以这个四位数是

1290;

故答案为：129。

分析：

能同时被2、3、5整除的数必须具备：个位上的数是0,各个数位上的数的和能够被3整除;

根据此特征，可知要组成的这个四位数的个位上的数一定是0,要保证使这个四位数最小，最

高位千位上最小是1,再1+0=1,1再加上那两个数字的和是3的倍数，

1+0+2+9=12,