清单18 相似三角形的10大经典模型 （含答案解析）

清单18相似三角形的10大经典模型【知识导图】【知识清单】相似三角形的判定方法：判定定理一：平行于三角形一边的直线和其两边相交（或其两边的延长线相交），所构成的三角形和原三角形相似。判定定理二：三边成比例的两个三角形相似，即：若，则∽判定定理三：两边成比例并且夹角相等的两个三角形相似。即：若，且∠C＝则∽判定定理四：两个角分别相等的两个三角形相似。

即：若，,则∽判定定理五：斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似。即：在中，若或,则相似三角形的性质：1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。3）相似三角形周长的比等于相似比。4）相似三角形面积比等于相似比的平方。模型图形结论A字模型①∆ADE~∆ABC②AD共边反A字模型①∆ABC~∆ACD②AB③AC2=AB•AD剪刀反A字模型①∆ABC~∆ADE②AB8字模型正8字模型①∆AOB~∆COD②AO反8字模型①∆AOB~∆DOC②AO射影定理①∆ABC~∆ADB~∆BDC②AB2=AC•AD,BD2=AD•CDBC2=AC•CD（口诀：公共边的平方=共线边的乘积）③AB•BC=BD•AC（面积法）一线三垂直①∆ABC~∆CDE②AB③当点C为BD中点时，∆ABC~∆CDE~∆ACE一线三等角①∆ABC~∆CDE②AB③当点C为BD中点时，∆ABC~∆CDE~∆ACEA字形线簇模型①DFEF②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右图）8字形线簇模型①AEBE②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右图）三角形内接矩形①∆ABC~∆ADG②AD③若四边形DEFG为正方形即DGBC=AMAN则xBC=AN-xAN若已知B三平行模型①1②1手拉手相似模型①∆ABD~∆ACE【总结】三角形相似就意味着对应线段的比值相等，所以就能建立等式关系。因此，题目中只要看到线段比例已知，就要首先考虑构建三角形相似来利用这个已知条件，为进一步完成解题创下基础。口诀：线段比例若知道，三角相似解题巧。【A字模型】（含母子型）1．如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1

A．24 B．12 C．6 D．10【答案】B【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【详解】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，

∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=1∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S∴S△PBC故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．2．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AD=3，△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，则AC的长为．【答案】5【分析】由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△DAE：S△CAB=ADAC【详解】解：∵∠ADE=∠C，而∠DAE=∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴S△DAE：S△CAB=ADAC∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，∴△ABC的面积=9+16=25，∴ADAC∴AC=5．故答案为5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，【答案】2【分析】过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点，先利用解直角三角形求出CD的长，其次利用△CDG∽△CBD，求出CG的长，得出BG的长，最后利用△BDG∽△BAE，【详解】解：如图：过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于∵在Rt△ABC中，AC=BC=6，∴AB=A又∵BD=2AD，∴AD=22∴在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2，∴CH=6-2=4，在Rt△CHD中，CD=C∵DG∥AE∴∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°，∴∠CDG=∠B，

又∵∠DCG=∠BCD，∴△CDG∽△CBD，∴CDCB∴CD即20=6CG，∴CG=103∴BG=BC-CG=6-10又∵DG∥∴△BDG∽△BAE，又∵BD＝∴BDBA=BGBE∴BE=BG×3∴CE=6-4=2，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．4．雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG＝2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH＝1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB．【答案】13.6m．【分析】由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，根据题意可得△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，根据相似三角形的性质得到CDAB=DGBG，EFAB=FHBH，可得DGBG=FHBH，求得【详解】解：由题意知，CD＝EF＝1.6m，DG＝2.8m，DF＝1.5m，GH＝1.7m，∴FH＝2.8﹣1.5+1.7＝3m，∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴CDAB=DG∴DGBG=FH解得：BD＝21m，∴1.6AB解得：AB＝13.6m．即该校旗杆的高度AB为13.6m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中．5．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD【答案】(1)D为△ABC的理想点,理由见解析(2)125或【分析】（1）由已知可得ACAD=ABAC，从而ΔACD∽ΔABC，∠ACD=∠B，可证点D（2）由D是ΔABC的“理想点”，分三种情况：当D在AB上时，CD是AB边上的高，根据面积法可求CD长度；当D在AC上时，ΔBDC∽ΔABC，对应边成比例即可求CD长度；【详解】（1）解：点D是ΔABC的“理想点”∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，AD⋅AB=8，∵AC=22∴AC∴AC∴ACAD∵∠A=∠A，∴Δ∴∠ACD=∠B，∴点D是ΔABC的“理想点”（2）①D在AB上时，如图：∵D是ΔABC的“理想点”∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，当∠ACD=∠B时，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠CDB=90°，即CD是AB边上的高，当∠BCD=∠A时，同理可证∠CDB=90°，即CD是AB边上的高，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AB=5，∴BC=A∵S∴CD=12②∵AC=4，BC=3，∴AC>BC有∠B>∠A，∴“理想点”D不可能在BC边上，③D在AC边上时，如图：∵D是ΔABC的“理想点”∴∠DBC=∠A，又∠C=∠C，∴Δ∴CDBC=BC∴CD=94，综上所述，点D是ΔABC的“理想点”，CD的长为12【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AFFE（1）求证：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求证△ADE∽△AEB．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得ADBD=AE（2）由（1）及题意可知ADBD=AFEF=【详解】解：（1）∵DE∥BC，∴ADBD∵AFFE∴AFFE∴DF∥BE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，ADBD=AFEF∵AB＝63，∴AD=1∴AEAB∴AEAB∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．【8字模型】1．如图，AD与BC交于O点，∠A=∠C，BO=4，DO=2，AB=3，求CD的长．【答案】1.5【分析】由∠A=∠C，∠AOB=∠COD可得出△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质可得出ABCD=BODO，代入BO=4，DO=2，【详解】解：∵AD与BC交于O点，∴∠AOB=∠COD．∵∠A=∠C，∴△AOB∽△COD．∴ABCD∵BO=4，DO=2，AB=3，∴CD=1.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式．2．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．3．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．（1）求证：DH＝CE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当CEDE=43时，S1S2【答案】（1）见解析；（2）83；（3）【分析】（1）由题意可得∠CHD=∠BEC，根据AAS可证明△DHC≌△CEB，即可求解；（2）由△DHC≌△CEB以及DH//BC，可得CH=BE=8，△DHG∽△BCG，即DHBC=GH（3）设S△DGH=16a，则S△GBC=49a，S△GDC【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AD//BC，CD=BC，∠HDC=∠BCE=90°∴∠DHC+∠DCH=90°∵CH⊥BE∴∠EFC=90°∴∠ECF+∠BEC=90°∴∠CHD=∠BEC在△DHC和△CEB中∠CHD=∠BEC∠HDC=∠BCE=90°CD=BC∴△DHC≌△CEB(AAS)（2）∵△DHC≌△CEB(AAS)∴DH=CE，CH=BE=8∵点E是CD的中点∴CE=DE=又∵CD=BC∴DH=又∵AD//BC∴△DHG∽△BCG∴DH∴CG=2GH∴HG=即HG=（3）当CEDE=43∵DH=CE，CD=BC∴DH由正方形的性质可得DB平分∠ADC，∴G到AD、CD距离相等，∴S由（2）得△DHG∽△BCG∴DH∴S△DGHS设S△DGH=16a，则S∴S∴S∵S∴S∴S2=28a【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．【射影定理】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝95,BD=45，那么【答案】2【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴BDBC＝BCBA，即45∴BC∵BC>0∴BC＝213故答案为：213【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝AC（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出△ACD∼△ABC（2）由△ACD∼△ABC得∠ADC=∠ACB=90°，∠ACD=∠B，推出△ACD∼△CBD，由相似三角形的性质得CDAD=BD【详解】（1）∵ADAC=ACAB∴△ACD∼△ABC；（2）∵△ACD∼△ABC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∠ACD=∠B，∴∠CDB=180°-90°=90°=∠ACD，∴△ACD∼△CBD，∴CDAD=BD∴CD=6【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．3．△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF，过F点作FH⊥AC于点H．（1）求证：△ADE∽△CDB；（2）求证：AE=（3）若FH=3，求【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【分析】（1）先根据垂直的定义可得∠ADE=∠CDB=90°，再根据等腰三角形的性质可得∠DAE=∠DCB，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据相似三角形的性质可得ADCD=DEDB=（3）先根据相似三角形的判定与性质可得DEFH=AEAF，从而可得DE,BD的长，再根据相似三角形的判定可得△ABD∼△BCD，然后利用相似三角形的性质可求出【详解】证明：（1）∵BD⊥AC,FH⊥AC，∴∠ADE=∠CDB=90°,BD∥FH，∵AF=CF，∴∠DAE=∠DCB，在△ADE和△CDB中，∠ADE=∠CDB∠DAE=∠DCB∴△ADE∼△CDB；（2）∵点E为BD的中点，∴DE=BE=1由（1）已证：△ADE∼△CDB，∴AD设AD=a(a>0)，则CD=2a，AC=AD+CD=3a，∵FH⊥AC,AF=CF，∴AH=CH=1∴DH=AH-AD=1又∵BD∥FH，∴AE即AE=2EF；（3）由（2）已证：AE=2EF，∴AE=2∵BD∥FH，∴△ADE∼△AHF，∴DEFH=解得DE=2∴BD=2DE=4∵∠ABC=90°,BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，在△ABD和△BCD中，∠ADB=∠BDC=90°∠ABD=∠C∴△ABD∼△BCD，∴AD由（2）可知，设AD=b(b>0)，则CD=2b，∴b解得b=263∴CD=2b=4则在Rt△BCD中，BC=B【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【一线三垂直/一线三等角】1．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=．【答案】2.4【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2:3，可得到CFDF=BD【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，∴BDCF=DEDF∵等边△ABC的边长为6，∴CF6-CF=23故答案为：2.4【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为【答案】y=-【分析】根据题意证明△ABE∽△DEF，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式【详解】解：∵∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，∴∠AEB+∠DEF=∠DEF+∠DFE=60°∴∠AEB=∠DFE∴△ABE∽△DEF∴AEAB=DFDE∵AB=6、AD=4，AE=x∴x6=y4-x∴y=1【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3．（1）如图1，∠ABC=90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的长度为．（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，∠EMF=90°，AM=2，当（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，点E、F分别在边AB、BC上，∠CEF=α且tanα=34【答案】（1）32，（2）17；（3）BE=16-4【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．（1）根据一线三垂直模型容易证明△ABE∽△BCF，进而由相似三角形性质即可求解；（2）过点F作FH⊥AD垂足为H，根据（1）可知△AME∽△FHM，根据相似三角形性质结合已知求出BE=1，MH=6，AE=3，BF=8，再由四边形MEBF的面积=矩形ABFH的面积-S△AME-S△MHF即可求解；（3）延长BA到点P使CP=BC=20，连接CP，过点C作CH⊥AB【详解】解：（1）∵∠ABC=90°，AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠E=∠F=90°，∠A+∠ABE=90°，∠CBF+∠ABE=90°，∴∠A=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴AEBF∵AE=4，BE=2，BF=3，∴43∴CF=3故答案为32（2）如图，过点F作FH⊥AD垂足为H，同理（1）得：△AME∽△HFM，∴AEMH∵在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，∴四边形ABFH是矩形，∴HF=AB=4，BF=AH=AM+MH，∵AM=2，BE+BF=9，∴BE+2+MH=9，即：MH=7-BE，∴4-BE7-BE=2∴MH=6，AE=AB-BE=3，BF=8，∵四边形MEBF的面积=矩形ABFH的面积-S∴四边形MEBF的面积=4×8-1（3）延长BA到点P使CP=BC=20，连接CP，过点C作CH⊥AB∴BH=HP=12BP∵∠ACB=90°，AC=15，BC=20，∴AB=25，cos∠B=∴BH=BCcos∴BP=2BH=32，∵∠CEF=α且tanα=又∵tanB=∴∠B=∠CEF=α，∴∠B+∠ECF=∠CEF+∠ECF，∴∠AEC=∠EFB，∴△PEC∽△BFE，∴PCPE∴2032-BE=BE8，解得：∴BE=16-4【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似．4．（1）问题发现：如图1，∠ABC=α，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段CE，在射线BC上取点D，使得∠CDE=α．请求出线段BC与DE的数量关系；（2）类比探究：如图2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他条件不变，则线段BC与DE（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2，把线段CE逆时针旋转90°得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．

【答案】（1）BC=DE；（2）发生变化，BC=2DE，证明见解析；（3）2【分析】（1）结合“一线三等角”推出△ABC≌△CDE，（2）利用条件证明△ABC∽（3）作FH⊥BA延长线于H点，过E点作GT⊥FH，交BC于G点，交FH于T点，结合“一线三垂直”证明△FTE≌△EGC，从而利用全等三角形的性质求出BH和【详解】（1）解：∵∠ABC=∠CDE=∠ACE=α，∴∠A＝在△ABC和△CDE中，∠ABC=∠CDE∠A=∠DCEAC=CE∴∴BC=DE．（2）发生变化，BC=2DE．证明：由（1）得，∠A=∠ECD，∠ABC=∠CDE，∴△ABC∽∴BCDE∴BC=2DE．（3）如图所示，作FH⊥BA延长线于H点，过E点作GT⊥FH，交BC于G点，交FH于T点，则TH=BG=AE=2，EG=AB=6，AH=TE，由（1）同理可证，△FTE≌∴FT=EG=6，AH=TE=GC=6-2=4，∴FH=FT+TH=6+2=8，BH=BA+AH=6+4=10，∴BF=FH2【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键．5．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD⋅BC=AP⋅BP．（2）探究若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=5【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC=∠A=∠B=α可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）证明△ABD∽△DFE,求出DF=4，再证△EFC∽△DEC,可求FC=1,进而解答即可．【详解】解：（1）证明：如图1，∵∠DPC=90°∴∠BPC+∠APD=90°，∵∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°∴∠APD=∠BPC，又∵∠A=∠B=90°∴△ADP∽△BPC，∴AD:BP=AP:BC∴AD⋅BC=AP⋅BP；（2）结论AD⋅BC=AP⋅BP仍成立；理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=α，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=α，∴△ADP∽△BPC，∴AD:BP=AP:BC∴AD⋅BC=AP⋅BP；（3）∵∠EFD=45°,∴∠B=∠ADE=45°,∴∠BAD=∠EDF,∴△ABD∽△DFE∴AB:DF=AD:DE∵Rt∴AD:DE=1:2∴AB:DF=1:2∵AB=22∴∠AED=45°∵∠EFD=45°∴∠DEC=∠EFC=180°-45°=135°又∵∠C=∠C∴△DEC∽△EFC∴DC:EC=EC:CF即E∵EC=5∴5=FC(4+FC)∴FC=1解得CD=5【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．6．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；(3)当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、【答案】(1)证明见解析(2)CD=(3)线段AD、AB、【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型．（1）先根据同角的余角相等可得∠DEC=∠BAE，利用两角相等证明三角形相似即可；（2）先根据勾股定理得出BE=3，再根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论；（3）先根据△AED∽△ECD，证明∠EAD=∠DEC，可得∠ADE=∠EDC，证明Rt△DFE≌Rt△DCEHL，则【详解】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90∘，∵AE⊥DE，∴∠AED=90∴∠AEB+∠DEC=90∴∠DEC=∠BAE，∴△ABE∽△ECD．（2）解：Rt△ABE∵AB=4，AE=5，∴BE=3，∵BC=5，∴EC=5-3=2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴AB∴4∴CD=3（3）解：线段AD、AB、理由是：如图，过E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD=∠DEC，∵∠AED=∠C，∴∠ADE=∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF=EC，∵DE=DE，∴Rt∴DF=DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF=AB，∴AD=AF+DF=AB+CD．【A字形线簇模型】1．（1）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：DPBQ（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连结AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图，求证：MN【答案】(1)见解析;(2)①29；②见解析【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出DPBQ（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高AQ=22，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长DE=23，根据②由ME∥GC，得MNGF=ANAF=NEFC．又DGFE为正方形，得出MNEN=FEFC【详解】（1）证明：如图1在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ同理在△ACQ和△AEP中，APAQ∴DPBQ（2）①如图2,作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∴AD=13, DE=∴MN:23=②证明：如图3∵ME∥GC，∴MNGF又∵DGFE为正方形，∴GF=EF，∴MNEF∴MNEN同理，在△ABF中有MNGF∴MNGD∴MNMD又因为△DBG∽△CEF，∴BGDG∴MNEN∴MN【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题．【8字形线簇模型】1．已知如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连结EO并延长交AB于点M，交CD于点N．那么线段AM与BM是否相等？请说明理由．【答案】见解析【分析】由CD∥AB可得到△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB．以及△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB．再由相似三角形的性质得到比例式，变形整理可得出结论．【详解】相等．理由如下：∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB．∴DNAM=DEAE，∴DNAM∴BMAM∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB．∴DNBM=ODOB，∴DNBM∴AMBM∴BMAM∴AM∴AM=BM．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质定理的应用，利用比例式进行变形推理是本题的一个关键．【三角形内接矩形】1．如图，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=hcm，要剪出一个正方形铁片DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=【答案】aha+h【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：如图，设高AM交GF于H点，∵四边形DEFG为正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴GFBC设正方形的边长为x，∴xa解得：x=ah故答案为：aha+h【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．2．如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．

【答案】20【分析】由相似三角形的性质和正方形的性质列出比例式AMAD【详解】解：∵四边形EFGH是正方形∴EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴AMAD=EH解得：EH=20∴EFGH的边长为20【点睛】本题考查相似三角形的应用，根据正方形的性质得到△AEH∽△ABC是解题关键．3．如图，已知在△ABC中，AD是BC上的高，且BC=6，AD=4，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．

(1)设EF=x(0<x<4)，矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；(2)当EFGH为正方形时，求EF的长度．【答案】(1)y=-x+12(0<x<4)(2)12【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、一次函数的关系式，正方形的性质．（1）根据EH∥BC，得（2）根据正方形的性质，得EF=EH即可．熟练掌握相似三角形的性质和判定是本题的关键，注意二次函数自变量的取值．【详解】（1）解：设AD,EH交于点M，

∵四边形EFGH是矩形，AD是BC上的高，∴EH∥BC∴△AEH∽△ABC，∴EHBC∵EF=DM=x，AD=4，∴AM=4-x，∴EH6∴EH=3∴y=2(EH+EF)=2x+2×3故y关于x的函数解析式为：y=-x+12(0<x<4)；（2）解：当EFGH为正方形时，∴EF=EH，∴x=12-3x解得：x=125，即4．一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图∵S∴BC=∵AC=∴S∴BH=又∵DE∥AC∴DE∴x52设正方形的边长为x米，如图乙∵DE∥AB∴DE∴x1.5=∵6∴乙木匠的加工方法符合要求．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．【三平行模型】1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC=2，则MN的长为．【答案】65【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得△BNM∼△BCA,△CNM∼△ABD,可得MNAC=BNBC,MNBD=CN【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC,∠ACB=90°∴AC∥MN∥DB，∴△BNM∼△BCA,△CNM∼△ABD，∴MN即MN2又∵BNBC∴MN2解得MN=6故填：65【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．2．图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝【答案】6【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，可证△CGH∽△CAB，由性质得出GHAB=CHBC，由GH∥CD，可证△【详解】解：∵AB∥∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴GHAB∵GH∥∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴GHCD∴GHAB∵AB=2，CD=3，∴GH2解得：GH=65【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°（如图）．以线段AB为边向外作等边三角形ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）连接CD，交AB于点M．①若AB=6，求BM的长；②作MN⊥AC，垂足为N，求证：1BC【答案】（1）证明见解析；（2）①BM=2；②证明见解析．【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得∠BAD=∠ABD=∠D=60°，再根据直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质可得∠CEB=∠CBE=∠ABC=60°，然后根据平行线的判定可得CF//BD，（2）①先根据相似三角形的判定与性质可得BMAM=BCAD，再根据（1）已求②先根据平行线的判定可得BC//MN//DA，再根据相似三角形的判定与性质可得MNBC【详解】（1）∵△ABD是等边三角形∴AD=AB=BD，∠BAD=∠ABD=∠D=60°在Rt△ABC中，∠CAB=30°∴∠ABC=60°∵点E是线段AB的中点∴CE=BE=AE=∴△BCE是等边三角形∴∠CEB=∠CBE=∠ABC=60°，BC=CE∴∠ABD=∠CEB=60°∴CF∵∠CBD+∠D=∠CBE+∠ABD+∠D=60°+60°+60°=180°∴BC∴四边形BCFD为平行四边形；（2）①如图，连接CD，交AB于点M∵BC∴△BCM∼△ADM∴BM∵BC=CE=12∴BM∵AB=BM+AM=6∴BM=1②如图，作MN⊥AC，垂足为N∵∠ACB=90°，∠CAD=∠BAC+∠BAD=30°+60°=90°，MN⊥AC∴BC∴△AMN∼△ABC，△CMN∼△CDA∴MNBC=∴MN∴1BC【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【手拉手相似模型】1．在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.(1)观察猜想如图①，当α=60°时，BDCP的值是_______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________(2)类比探究如图②，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②【答案】(1)1，60°；(2)2，45°，理由见解析【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得△APC≌△ADB(SAS)，如图①中，设直线PC与直线BD交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果；(2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得ABAC=ADAP，可证得∠DAB=∠PAC，即可证得△DAB∽△PAC，如图②中，设直线BD交【详解】（1）解：∵∠ACB=60°，∠APD=60°，CA=CB，AP=DP，∴△ACB与△APD都是等边三角形，∴∠CAB=∠PAD=60°，AC=AB，AP=AD，∴∠CAP=∠CAB-∠PAB=∠PAD-∠PAB=∠BAD，在△APC与△ADB中，AC=AB∠CAP=∠BADAP=AD∴BD=CP，∠ACP=∠ABD，∴BD设CP与BD的延长线交于点I，如图①，∴∠CIB=180°-∠PCB-∠CBD=180°-(60°-∠ACP)-(60°＋∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为60°；（2）解：BDCP=2，直线BD与直线CP理由如下：∵∠ACB=90°，CA=CB，∴∠CAB=45°，ABAC同理可得：∠PAD=45°，ADAP∴AB∵∠CAB=∠PAD.∴∠CAB＋即∠DAB=∠PAC，∴△DAB∽∴BDCP=设BD交CP于点G，BD交CA于点H，如图②，∵∠BHA=∠CHG，∴∠CGH=∠BAH=45°，∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题．2．

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)