清单16 相似三角形与实际问题（9种题型解读）

清单16相似三角形与实际问题（9种题型解读）【知识导图】【知识清单】【考试题型1】测量树高问题1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考阶段练习）如图，某学生利用标杆EC测量一棵大树BD的高度，如果标杆EC的高为2m，并测得BC=2m，CA=1m，那么树DBA．4m B．6m C．8m2．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，淇淇的身高为1.6mA．3.4m B．4.8m C．5.1m D．6.8m3．（2023上·四川内江·九年级校考期中）如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影长为1.2米，同一时刻这棵树落在地面上的影长为1.8米，落在墙上的影长为

4．（2023上·福建三明·九年级统考期中）阅读下列材料，回答问题．任务：测量一棵树的高度，该树AB的底端可到达，顶部不可到达，如图．工具：一把皮尺，自制的直角三角形纸板DEF．测量过程：小明站在点P处，调整自己的位置，使得三角尺DEF斜边DF与地面平行，且边DE与点B在同一直线上．小亮和小颖用皮尺测量EF=am，DE=bm，AP=cm，点D与点P之间的距离PD=dm．求树高AB．(用含a，b，c5．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，王老师为测得学校操场上小树CD的高，他站在教室里的A点处，恰好能看见小树的整个树冠HD．经测量，窗口高EF=1.8m，HC=1.4m，A，C两点在同一水平线上，A点距墙根G点1.6m，CG=4.8m，且A、G、C三点在同一直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树CD的高．【考试题型2】测量旗杆高度1．（2021上·辽宁沈阳·九年级统考期末）小明同学要测量学校旗杆AB的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为0.8米，同时测量旗杆AB的影长时，由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长BC为6米，留在墙上的影高CD为3米，请利用以上信息，求旗杆AB的高度．2．（2021上·全国·九年级专题练习）九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=12m，人的眼睛离地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆的高AB．3．（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，有以下两种方案：请你根据以下两种方案，选择其中一种方案，求出旗杆的高度．方案一：如图1，小明在地面直立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上．测量：人与标杆的距离DF=1m，人与旗杆的距离DB=16m，人的目高和标杆的高度差EG=0.9m方案二：如图2，小聪在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长BD=21米，留在墙上的影高CD=2米．4．（2022上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）光污染是继废气、废水、废渣和噪声等污染之后的一种新的环境污染源，主要包括白亮污染、人工白昼污染和彩光污染，如图，小明家正对面的高楼外墙上安装着一幅巨型广告宣传牌AB，小明想要测量窗外的广告宣传牌AB的高度，他发现晚上家里熄灯后对面楼上的广告宣传牌从A处发出的光恰好从窗户的最高点C处射进房间落在地板上F处，从窗户的最低点D处射进房间向落在地板上E处（B、O、E、F在同一直线E），小明测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m．请根据以上测量数据，求广告宣传牌AB的高度．5．（2021上·江苏无锡·九年级宜兴市树人中学校联考阶段练习）为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F

处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．（1）直接写出ABBC=（2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度．6．（2023上·山西运城·九年级统考期中）小明和小王同学一起合作来测量某建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、(1)求旗杆AB的长度．(2)填空：本题将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题______成数学问题，利用______的知识给予解决．通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学______的思想，从而提高了我们解决实际问题的能力，增强应用意识．(3)本题是利用什么方法来测量的，请再写出两个曾在课本上学过的测量不能直接测量物体高度方法的名称．【考试题型3】测量楼高问题1．（2023上·北京昌平·九年级校联考期中）如图，要测量楼高MN，在距MN为15m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB，恰好使得观测点E，直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上．若DB=5m，DE=1.52．（2023上·福建莆田·九年级校考阶段练习）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1)．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为27m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，3．（2023·陕西西安·校考一模）小张家住在一栋总高22层的单元楼的3层，他们家对面有栋不知高度的商业写字楼，在两楼之间还有一间室内体育馆．小张站在自己家阳台刚好只能看见写字楼的顶端，他又上到楼顶发现又刚好只能看见写字楼与自己家同高度以上的部分，此时他测得俯视角为45°．已知小张所住单元楼层高3米，他想要知道前面写字楼的高度，于是他又去1楼测得单元楼距体育馆的距离为20米，请你帮小张计算一下写字楼的高度．（结果保留0.1米，地面为1层）思维方向：相关知识：相关方法：标准呈现：4．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿QC后退，当退行3米到达B处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，平平在F处竖立了一根高3米的标杆EF，发现地面上的点M、标杆顶点E和钟楼顶端P在一条直线上，此时测得FM=4米，MC=18米，已知PQ⊥QB，AB⊥QB，EF⊥QB，点Q、F、M、C、B在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度PQ．5．（2023上·广东茂名·九年级校考期中）综合与实践主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度．素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具．步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离AB为1.5米；步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆EF，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得DF为6米，CF为4米．猜想与计算：已知MN⊥ND，AB⊥ND，EF⊥ND，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、

(1)直接写出平面镜到建筑物的距离CN与建筑物高度MN之间的数量关系；(2)计算建筑物的高度MN（平面镜大小忽略不计）．6．（2020上·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在甲、乙两座楼中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明、小光视线所及位置如图①所示．根据实际情况画出平面图形如图②（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），小明从点C可以看到点G处，小光从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，院墙AB高5米，DF=100米，BG=10米，分别求小明、小光两人的观测点到地面的高度CD、EF．

【考试题型4】测量河宽问题2．（2023上·河北邢台·九年级统考期末）如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM=PN，两岸均高出水平面0.75米，即DE=FP=0.75米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、（1）过点B作BH⊥EP于H，则BH=米；设AN交EP于O点，则OH=米；（2）河宽EP=米．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，为了估算河的宽度，某校数学课外活动小组在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和C，使点A、B、C共线且直线AB与河垂直，接着在过点C且与AB垂直的直线a上选择适当的点D，确定AD与过点B且垂直AC的直线b的交点E．已测得BC=12m，CD=16m，BE=10m3．（2023上·湖北十堰·九年级统考期末）如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走16m到达D处，使得A、O4．（2023下·云南昭通·八年级统考期末）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表：课题测量河流宽度工具测量角度的仪器，标杆，皮尺等小组第一小组第二小组第三小组测量方案观测者从B点向东走到C点，此时测得点C恰好在东南方向上．观测者从B点出发，沿着南偏西70°的方向走到点C，此时恰好测得∠ACB=35°．观测者从B点向东走到O点，在O点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点后，一直向南走到点D，使得树、标杆、人在同一直线上．测量示意图

(1)第一小组认为要知道河宽AB，只需要知道线段______的长度．(2)第二小组测得BC=30米，则AB=______．(3)第三小组认为只要测得CD就能得到河宽AB，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．【考试题型5】杠杆问题1．（2023上·山东临沂·九年级统考期末）铁道口栏杆的短臂长为0.8米，长臂长为8米，当短臂端点下降0.4米时，长臂端点升高米．（杆的粗细忽略不计）．2．（2023·吉林白城·校联考三模）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD=9cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB（AB与CD相交于点O），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的C点向下压cm．

3．（2022·山西·九年级专题练习）一根均匀的木棒OA所受重力G=10N，小亮以木棒的一端O为支点，竖直向上将木棒的另一端A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为F，若点B为OA的中点，AC，BD分别垂直地面于点C，D，则根据杠杆平衡原理得拉力F的大小为（

）A．5N B．10N C．15N D．20N4．（2022上·山东济南·九年级统考期中）图1是小玉制作的简易投石机的示意图，GP是杠杆，点A为支点，AD=AC，支架AH垂直于地面BC，且AH=CD=2．如图2，当投石机准备时，点G恰好与点B重合，且此时AG和A．4 B．25 C．6 D．5．（2023上·江苏泰州·九年级阶段练习）如图1，在△ABC中，G是BC的中点，E是AG的中点，CE的延长线交AB于D，求AD

555555（1）解：过G作GF∥AB，交CD于F．请继续完成解答过程：（2）创新求解：利用“杠杆平衡原理”解答本题：（如图2）设G点为杠杆BC的支点，B端所挂物体质量为1kg；则C端所挂物体质量为1kg，G点承受质量为2kg；当E点为杠杆AG的支点，则A再以D为杠杆AB的支点时，AD：BD=1kg：2kg=1：2．应用：如图3，在△ABC中，G是BC上一点，E是AG上一点，CE的延长线交解：设G点为杠杆BC的支点，B端所挂物体质量为6kg，则C端所挂物体质量为kg，G点承受质量为kg；当E点为杠杆AG的支点，则A端所挂物体质量为kg；再以D为杠杆AB的支点时，AD：【考试题型6】实验问题1．（2023·河北衡水·统考三模）在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（）

A．245 B．325 C．12342．（2023·陕西咸阳·校考二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：AC与BD交于点O,AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度CD是6cm，则蜡烛火焰的高度AB是cm．

3．（2023·陕西西安·校考一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧：入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律．【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m，点FE到地面的高度CF=1.5m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4m，木板到墙的水平距离为CD=4m．图中A，B，C，【考试题型7】九章算术问题1．（2023·江苏宿迁·统考二模）《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四尺，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线DC交井口AB于点E，BE的长为4尺，则水面距井口距离为尺．2．（2022·福建泉州·统考一模）我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形ABC是10亩整．股差AD=90步，勾差BF=10步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩=240平方步）答：（

）A．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩 B．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩C．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩 D．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩3．（2022上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法如图所示，在处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB相交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么AC为（

）

A．7 B．7.4 C．8 D．9.24．（2022上·江苏镇江·九年级统考期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何?”它的意思是：如图，M、N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME=100步，NF=225步，那么该正方形城邑边长A．300 B．260 C．225 D．1855．（2021上·北京大兴·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．6．（2021下·山东烟台·八年级统考期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，同：邑方几何？”其大意是：如图，一座正方形城池，在各边的中点开门．A为北门的中点，出北门往正北方向走30步（“步”为古代的长度单位），有一棵树木（点B）．C为西门的中点，出西门往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，问：正方形城池的边长为多少步？请你用所学知识解决这个问题．7．（2022上·山东青岛·九年级统考期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，奠定了中国古代数学的基本框架．书中记载了这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙CD长9里，南边城墙BC长7里，东门点E，南门点M分别位于CD，BC的中点，EF⊥CD，MH⊥BC，EF=15里，HF经过C点，则MH的长为多少？【考试题型8】三角形内接矩形问题1．（2023下·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，有一块三角形土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．且大楼的宽DE与长DG的比是1:2，求这个矩形的长

2．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）张师傅有一块如△ABC的锐角三角形木料，其中BC=120mm，高AD=80mm，张师傅想把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PQ与AD交于点

(1)当点P恰好为AB中点时，PQ=______；(2)当四边形PQMN为正方形时，求出这个零件的边长；(3)若这个零件的边PN:PQ=1:2．则这个零件的长、宽各是多少？3．（2023上·河南周口·九年级统考期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5m，车宽AF=1.8m，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3DF=2AF，求汽车盲区4（2023上·湖南永州·九年级校考期中）如图，△ABC中，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．作矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M，且矩形长HG是宽HE的2(1)求证：AMAD(2)试求矩形EFGH的周长．【考试题型9】其它问题1．（2023上·山东青岛·九年级莱西市第四中学校考阶段练习）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN=23米，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米（点M、N、C在同一直线上），则窗户的高AB为（

A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米2．（2023上·山西长治·九年级统考期中）如图，一张底边长为20cm、底边上的高为30cm的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为4cm

A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张3．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）有一块锐角三角形余料△ABC，边BC为15cm，BC边上的高为12cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个4．（2022上·河南洛阳·九年级统考期中）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，