清单14 相似图形基础（3个考点梳理+14种题型解读+提升训练）（含答案解析）

清单14相似图形基础（3个考点梳理+14种题型解读+提升训练）【知识导图】【知识清单】考点一比例线段比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段。其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比例的外项，b、c【补充】当比例的内项相等时，即ab=b【解题思路】1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成ab=cd（即：第一条【考试题型1】理解成比例线段的概念1．（2023上·湖南衡阳·九年级衡阳市外国语学校校考期中）下列各组线段中，是成比例线段的是（

）A．1cm,3cm,4cm,6cm． B．2cm,4cm,0.8cm,0.6cm．C．3cm,9cm,18cm,6cm． D．3cm,9cm,10cm,4cm．【答案】C【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段即可求解.【详解】解：A.因为13B.因为0.60.8C.因为36D.因为34≠故选：C.2．（2023上·陕西西安·九年级西安行知中学校考阶段练习）下列四组线段中，不成比例的是（

）A．3，9，2C．1，2，【答案】B【分析】本题主要考查了成比例线段，四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例，据此可得答案．【详解】解：A、∵2×9=3×6，∴长为3，B、∵1×9≠2×3，∴长为1，C、∵1×8=2×4，∴长为1，D、∵1×6∴长为1，3，23．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知线段b是线段a，c的比例中项，a=4cm，b=9cm，那么c=【答案】81【分析】本题考查线段的比例中项，根据线段比例中项定义得到b2【详解】解：∵线段b是线段a，c的比例中项，∴b2又a=4cm，b=∴c=b故答案为：8144．（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）已知线段a、b、c满足a:b:c=2:3:4，且2a+b+c=22．(1)求a、b、c的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】(1)a=4(2)2【分析】本题主要考查了比例的性质，成比例线段，（1）根据题意可设a=2k，b=3k，c=4k，由（2）根据比例中项的定义得到x2【详解】（1）解：∵a:b:c=2:3:4，∴可设a=2k，∵2a+b+c=22，∴4k+3k+4k=22，∴k=2，∴a=4，（2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2∴x=26（负值舍去）．【考试题型2】1．（2023上·山西临汾·九年级校考期中）在比例尺为1:10000000的地图上，A，B两城市之间的距离为5cm，则这两城市之间的A．0.5km B．5km C．50km【答案】D【分析】本题考查了比例尺，根据比例尺=图上距离÷实际距离进行计算．【详解】解：∵5÷150000000cm∴A、B两城市之间的实际距离是500km故选：D．2．（2023上·广西贺州·九年级统考期中）小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长4毫米、宽2毫米的零件画在一张A3纸（42A．1∶80 B．80∶1 C．1∶800 D．800∶1【答案】B【分析】此题考查了比例尺的计算方法，图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离:实际距离”即可求得适合的比例尺.，解题的关键要掌握比例尺的计算方法．【详解】解：∵零件的实际长度为4mm，零件的图上长度为42cm，即∴适合的比例尺=420∶4=105∶1≈80∶1，故选：B．3．（2022下·九年级单元测试）在比例尺为1:100000的地图上，若A，B两地相距20km，则两地的图上距离为（

A．0.2cm B．2cm C．20cm【答案】C【分析】根据比例尺=图上距离÷实际距离进行求解即可．【详解】解：两地的图上距离为xcm由题意得，x20×1000×100解得x=20，∴两地的图上距离为20cm故选C．【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺=图上距离÷实际距离是解题的关键．4．（2022下·九年级单元测试）如图，直线a是直线b沿着箭头平移所得的像，如果直线a、b表示两条公路，比例尺：1:16000，那么请你通过测量，判断一下，公路a、b的实际距离约为（

）（精确到1m）A．224m B．208m C．240m【答案】A【分析】用直尺和三角板测出a、b之间的距离，然后根据比例尺=图上距离÷实际距离进行求解即可．【详解】解：经过测量可知a、b之间的距离约为1.4cm∵比例尺为1:16000，∴实际距离约为1.4×16000=22400cm故选：A．【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺=图上距离÷实际距离是解题的关键．【考试题型3】成比例线段的实际应用1．（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AEAD=AD

【答案】a=2【分析】根据题意，得到AE=1【详解】解：根据题意可知，AB=am，宽AD=2m，由AEAD得1即1∴a开平方，得a=23，a=-232．（2021上·九年级课时练习）一块三角形土地的一边长为120m，在地图上量得它的对应边长为0.06m，这边上的高为0.04m，求这块地的实际面积．【答案】这块地的实际面积为4800m2【分析】设边长为120m所对应的高为h，利用比例线段得到h：0.04＝120：0.06，解得h＝80，然后根据三角形面积公式求解．【详解】解：设边长为120m所对应的高为h，根据题意得h：0.04＝120：0.06，解得h＝80，所以这块地的实际面积=12×120×80=4800（【点睛】本题考查了比例线段，掌握求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系是解题关键．考点二比例的性质①基本性质：a②变形：ab=③合、分比性质：a【注意】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：a④等比性质：如果ab=⑤黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACAB【考试题型4】利用比例的性质判断式子变形正误1．（2023上·山东潍坊·八年级统考期中）已知ab=cA．ac=bd B．a+bb=【答案】A【分析】根据比例的基本性质，逐个进行判断即可．【详解】解：A、∵ab=cd，∴ac=bd，故A成立，符合题意；B、C、∵ab=cd，当b+d≠0，有D、∵ab=cd，∴故选：A．【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质．2．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）下列比例式中(a、b、c、d都不等于0)，不能得到ad=bc的是（

）A．ab=cd B．dc=【答案】D【分析】本题考查了比例的性质，根据“比例前项和后项的乘积等于比例中项的乘积”，据此逐个判断即可．【详解】解：A、∵ab=cd，∴B、∵dc=ba，∴C、∵ca=db，∴D、∵bd=ca，∴故选：D．3．（2023上·安徽合肥·九年级阶段练习）如果a2=bA．a+1b+1=34 B．b-ab=【答案】A【分析】本题主要考查比例和分式的基本性质，掌握比例的性质是解题的关键．【详解】解：设a2=bA.a+1b+1B.b-abC.abD.a+bb=2k+3k3k4．（2023上·广西·九年级校考期中）若5y=4x，下列比例式正确的是（

）A．xy=45 B．xy=【答案】B【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质分别对每一项进行判断即可得出答案，熟练掌握比例的性质是解题的关键．【详解】解：A、变成等积式是：4y=5x，故不符合题意；B、变成等积式是：5y=4x，故符合题意；C、变成等积式是：4y=5x，故不符合题意；D、变成等积式是：4y=9x，故不符合题意．故选：B．【考试题型5】利用比例的性质求未知数的值1．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知四个数2，-3，4，x成比例，则x的值是（

）A．6 B．-6 C．32 D．【答案】B【分析】本题考查了比例线段，利用成比例的定义得到2∶-3=4∶x，然后根据比例性质求【详解】由题意得，2∶-3∴2x=-12，∴x=-6，故选：B．2．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）已知ab+c=ba+c=A．12 B．-1 C．12或-1 D．-【答案】C【分析】分两种情况讨论：当a+b+c=0时，当a+b+c≠0时，结合比例的基本性质，即可求解．【详解】解：当a+b+c=0时，a=-b+c∴k=-当a+b+c≠0时，∵ab+c∴a=kb+c∴a+b+c=kb+c∴2k=1，∴k=1综上所述，k的值为12或-1故选：C【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．3．（2023上·山西晋城·九年级统考期中）若线段a，b，c满足ab=bc，且A．4 B．6 C．8 D．16【答案】A【分析】本题考查了比例线段，根据比例的性质进行计算，即可解答．【详解】解：∵ab=b∴b∵b>∴b=故选：A．4．（2023上·山东青岛·九年级山东省青岛第五十九中学校考期中）已知a2=b3=c【答案】8【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的性质是解题的关键．由题意得，a=c2，b=3c【详解】解：∵a2∴a=c2，∵a+2b=16，∴c2解得，c=8，故答案为：8．【考试题型6】利用比例的性质求代数式的值1．（2023上·四川巴中·九年级校考阶段练习）如果x2=y3=z【答案】2【分析】本题考查了比例的性质，设x2=y3=z4=k，则x=2k，y=3k，z=4k，由x+y+z=18得出2k+3k+4k=18，求得k=2，从而得到【详解】解：∵x∴设x2=y3=z4∵x+y+z=18，∴2k+3k+4k=18，解得：k=2，∴x=4，y=6，z=8，∴x+y-z=4+6-8=2，故答案为：2．2．（2023上·四川成都·九年级校考期中）已知ab=cd=e【答案】4【分析】本题主要考查了比例的基本性质．由已知ab=cd=ef=2【详解】解：由已知aba=23b，c=∴a+c+e==23b+d+f故答案是：4.3．（2023上·全国·九年级专题练习）已知xy=23，则【答案】136/【分析】本题主要考查比例的性质，令x=2k，y=3k，（k≠0）代入求值即可．【详解】解：∵xy=23，令x=2k，∴x2故答案为：1364．（2023上·浙江·九年级期中）已知m-3nn=1【答案】7【分析】根据比例的基本性质得到2m-3n=n，整理得到2m=7n，即可得到【详解】解：∵m-3nn∴2m-3n∴2m=7n，∴mn5．（2021上·重庆渝中·八年级统考期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【答案】（1）85；（2【分析】（1）根据a+bb=c+dd计算即可；（2）先在等式两边同时减去【详解】（1）∵ab∴a+bb（2）∵ab∴ab∴a-bb又∵a+bb∴a-bb∴a-ba+b【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．【考试题型7】理解黄金分割的概念1．（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）若点P为线段AB的黄金分割点，且AP<BP，BP=10，则AP=．【答案】-5+55/【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．设AP=x，则AB=10+x，根据黄金分割的定义得到APBP=BP【详解】解：设AP=x，则AB=AP+BP=10+x，∵点P为线段AB的黄金分割点，∴APBP=BP∴x2解得x=-5+55或x=-5-5经检验，x=-5+55∴AP=-5+55故答案为：-5+552．（2023上·上海杨浦·九年级期末）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么AP-BPBP的值为．【答案】【分析】本题考查了黄金分割点的应用，“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是5-12【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴BPAP∴APBP∴AP-BPBP故答案为：5-13.（2023上·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考期中）如图，点C是线段AB的黄金分割点，计算线段AB的黄金比ACAB

【答案】黄金比为5-1【分析】本题考查的是黄金分割的含义，本题设线段AB=1，较长的线段AC的长为x，结合图形可得AC>BC，结合黄金分割点的含义建立方程求解即可.【详解】解：设线段AB=1，较长的线段AC的长为x，结合图形可得AC>BC，∵C是线段AB的黄金分割点，∴AC2=AB⋅BC解得：x1∴AC答：黄金比为5-1【考试题型8】黄金分割的实际应用1．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AP的长度为10cm，那么AB的长度是（

）

A．55+5 B．15-55 C．5【答案】A【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知：AP=5-12【详解】解：∵P为AB的黄金分割点，∴AP=5即AB=2故选：A．2．（2023上·山东济南·九年级统考期中）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段AB的黄金分割点（AC<CB），AB=10cm，则BC=cm【答案】55-5【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答．【详解】解：∵点C可看作是线段AB的黄金分割点(AC<CB)，AB=10cm∴BC=5故答案为：(553．（2023上·四川成都·九年级石室中学校联考期中）“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体．如图，舞台长AB=8米，C，D是线段AB的黄金分割点，若主持人从舞台黄金分割点C走到另一个黄金分割点D，则主持人所走的路程CD的长为【答案】8【分析】本题考查了黄金分割．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．【详解】解：∵点C，点D是线段AB的黄金分割点，AB=8米，∴AC=5BD=5∴BC=AB-AC=8-4∴CD=BD-BC=45故答案为：854．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，AC，BC，AB各部分长度的比满足ACBC=BCAB=5-12，已知【答案】28【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．依据黄金分割的定义进行计算即可．【详解】解：∵AC，BC，AB各部分长度的比满足ACBC=BC∴BC=5故答案为：2855．（2023上·江西鹰潭·九年级统考期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618:1，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？

【答案】这双高跟鞋的高度偏高【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键.【详解】解：设这双高跟鞋的高度为xcm由题意得：64:102+x解得：x≈1.6，∵6cm∴这双高跟鞋的高度偏高．考点三平行线分线的成比例平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例。1）已知l3∥l4∥l5,可得等2）把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：

把l4（图1）或l3（图2）看作平行底边BC的直线，再根据平分线分线段成比例的定理，我们可以得出，平行于三角形一边的直线和其两边相交（或其两边的延长线相交），所构成的三角形和原三角形相似。【考试题型9】由平行线分线段成比例判断比例式正误1．（2023上·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考期中）如图，AB∥CD∥

A．ACCE=DFC．ACCE=AB【答案】D【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，逐项分析判断即可求解．【详解】解：，A.∵AB∥CD∥EFB.∵AB∥CD∥EFC.∵AB∥CD∥EF，D.∵AB∥CD∥EF，∴故选：D．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC边于点E，N是BC边上一点，连接AN交DE于点M，则下列结论错误的是（）A．AMAN=MECN B．ADBD=【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，由DE∥BC，得到ADBD=AECE，△ADM∽△ABN，△AME∽△ANC，再根据相似三角形的性质得到【详解】解：∵DE∥BC，∴ADBD=AE∴AMAN=ME∴DMBN根据现有条件，无法证明BDAB∴四个选项中，只有D选项，符合题意，故选：D．3．（2023上·北京石景山·九年级校考期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，下列结论错误的是（

A．ADAB=AEC．BDAB=EC【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质逐项判断即可得到答案．【详解】解：∵DE∥∴ADAB=AEAC，BD∵DE∥∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=AEAC故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．【考试题型10】平行线分线段成比例（A型）1．（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段AC在横格纸上，与作业本的横格交于点B．若AB=6，则AC的长是（

）A．9 B．12 C．14 D．15【答案】D【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，先根据题意推出AD:AE=2:5，再由平行线分线段成比例定理得到ABAC【详解】解：如图所示，过点A作横线的垂线，由题意得，AD:DE=2：∴AD:AE=2:5，∴ABAC=AD故选D．2．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且DE∥BC，若AB=3BD，则CEACA．12 B．13 C．14【答案】B【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由AB=3BD得BDAB【详解】∵AB=3BD，∴BDAB∵DE∥∴CEAC故选B．3．（2023上·浙江·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=3,ADA．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】∵DE∥∴AEAC=AD解得：AC=6，故选：B．4．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）已知：如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若

【答案】53/【分析】根据平行线分线段成比例，可得ADBD【详解】解：∵DE∥BC，∴∵AD=3,BD=6,AC=5，∴36解得：AE=5【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．【考试题型11】平行线分线段成比例（X型）1．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于A，B，C；直线DF分别交a，b，c于D，E，F．若AB=2，AC=5，DE=3，则EF=（

）A．2 B．72 C．4 D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例，列比代数计算即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．【详解】解：∵a∥b∥c，∴AB∵AB=2，AC=5，DE=3，∴2解得：DF=15∴EF=DF-DE=15故选：D．2．（2023上·海南儋州·九年级儋州市第一中学校联考期中）如图，AB∥CD∥EF，AD:DF=3:1，BE=12，那么CEA．2 B．125 C．3 D．【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据AD:DF=3:1，BE=12，可计算出CE的长．【详解】解：∵AB∥∴BCCE∴BC=3CE，∴CE=1故选：C．3．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，AB∥CD∥EF，AD:DF=3:4，A．8 B．7 C．6 D．10【答案】C【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由AB∥CD∥【详解】解：∵AB∥CD∥∴BCBE=AD∴BC=6．故选：C．4．（2023上·山西长治·九年级统考期中）如图，AB∥CD∥EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，F和点B，D，E．若BDDE=23A．32 B．23 C．35【答案】D【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得ACCF【详解】解：∵AB∥CD∥EF，BDDE∴AC∴AC故选：D．5．（2023上·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，直线a∥b∥c，另两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F.已知AB=3，BC=2，DE=6，则

A．10 B．11 C．8 D．4【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：∵a∥∴ABBC=DE∴EF=4，∴DF=EF+DE=4+6=10，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．6．（2023上·广西·九年级校考期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F(1)如果EF=10，求DE、(2)如果AD=5,CF=12，求BE的长．【答案】(1)DE=4，DF=14(2)BE=7【分析】本题考查了平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例是解决问题的关键．（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出ABBC（2）由题意得出AD=HE=GF=5，由△ABH∽△ACG得出比例式求出BH=2，即可得出结果．【详解】（1）解：∵AB∴AB∵AD∥BE∥CF，∴AB∵EF=10，∴DE=4，∴DF=10+4=14；（2）解：∵AD∥BE∥CF，AG∥DF，AD=5，∴AD=HE=GF=5，∵CF=12∴CG=12-5=7，∵BE∥CF，∴△ABH∽△ACG，∴BHCG∴BH=2，∴BE=2+5=7．【考试题型12】平行线分线段成比例与三角形中位线综合1．（2021下·福建泉州·八年级泉州五中校考期末）【教材呈现】如图是华师版九年级上册第77-78页部分内容：如图，在ΔABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE//BC，且DE=1结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．证明：在ΔABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴AD∵∠A=∠A，∴ΔADE∼ΔABC，∴∠ADE=∠ABC，DEBC=ADAB=【探究】如图①，ΔABC中，点D、F分别为边AB、AC的中点，点G、E在边BC上．若DG//FE，求证：S四边形【应用】如图②，ΔABC中，点E、F分别为边AB、AC的中点，D在线段AB上（不与点A、B重合），点H、G分别为线段DB、DC的中点，若SΔADC=5，则S【拓展提升】如图③，在ΔABC中，D、E分别在边BA、BC上．BDDA=BEEC=23，在线段DE上取一点F，（点F不与点D、E重合），连接BF并延长BF交AC于点G．点M、N在线段AC上，且AM=2EF【答案】（1）见解析；（2）52；（3）【分析】（1）如图，过A作AP⊥BC于P，交DE于Q，根据已知条件以及中位线的性质，证明四边形DFEG是平行四边形，根据平行线分线段成比例，可得AQ=PQ，根据三角形面积公式和平行四边形的面积公式即可得出结论；（2）方法同（1）证明四边形DEFG是平行四边形，再根据（1）的结论即可求得；（3）由已知条件证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出高的比，面积之比，再根据三角形面积公式以及已知条件即可求得．【详解】（1）如图，过A作AP⊥BC于P，交DE于Q，∵点D、F分别为边AB、AC的中点，∴AD=DB,AF=FC，∴DF=1∴AQ∴AQ=PQ，∵DG//FE，∴四边形DFEG是平行四边形，AP⊥BC，∴GE=DF=1∴S四边形DFEG=GE×QP=∵S∴S四边形DFEG（2）如图②∵点E、F分别为边AB、AC的中点，点H、G分别为线段DB、DC的中点，∴AF=FC,CG=CD，∴FG//∵AE=EB,AF=FC，∴EF//BC，∴GH//∴EF//∴四边形EFGH是平行四边形，∴S四边形DEFG=∵SΔADC由（1）可知，S四边形DEFG=∴S四边形DEFG=5（3）如图③∵BDDA=BE∴△BDE∽△BAC，∴∠BDE=∠BAC，∴DE//设△BDE中DE边的高为h1，△ABC中AC边的高为h2，AC,DE的距离为h∴BDAB=∴h∴h∴S△BDE∵SΔABC∴S△BDE∵AM=2EF，CN=2DF，∴SΔFAM+=12(2EF+2DF)×3【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，中位线定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2023·山西运城·统考二模）请阅读下列材料，非完成相应的任务．利用辅助平行线求线段的比三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．举例：如图1，AD是△ABC的中线，AE:AD=1:5，BE的延长线交AC于点F．求AFCF下面是该题的部分解题过程：解：如图2，过点D作DH∥BF交AC于点H．∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC．∵DH∥BF，∴FHCH∴CH=FH．∵EF∥DH，…

任务：(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）A．方程思想

B．转化思想

C．分类思想

D．整体思想(3)请你换一种思路求AFCF【答案】(1)见解析(2)B(3)见解析【分析】（1）通过过点D作DH∥BF交AC于点H．根据△ABC的中线的定义即可得到BD=DC，根据平行线分线段成比例即可得到FHCH=BDCD与AEAD（2）由上述解题过程即可得到求AFCF的值转化为了求AFFH与（3）通过过点D作DM∥AC交BE于点M，根据△ABC的中线的定义即可得到BD=DC，进一步得到BDBC=12，根据平行线分线段成比例即可得到DMCM=BD【详解】（1）∴AEAD∵AE:AD=1:5，∴AF:AH=1:5，∴AF:FH=1:4，∵FH=CH，∴AFCF=1故选B（3）解：如图，过点D作DM∥AC交BF于点M．∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC=1∴BD∵DM∥AC，∴DMCF∵AF∥DM，∴AEDE∵AEAD∴AEED∴AFDM∴AF

【点睛】本题考查利用辅助平行线求线段的比，作出辅助线，利用平行线分线段成比例进行转化是解题关键．【考试题型13】平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线4．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD=CE，连接AD，BE交于点P(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)若AE:EC=5:3，求BP:PE的值；(3)若点P恰好落在以AC为直径的圆上，求AE:EC的值．【答案】(1)见解析(2)24(3)2【分析】（1）根据等边三角形的性质求出∠BAC=∠C=60°，AB=AC=BC，求出AE=CD，根据SAS推出全等即可；（2）过点E作EF∥AD交CD于F，根据平行线分线段成比例定理得ACAE=CD（3）由（1）知：△ABE≌△CAD，则∠CAD=∠ABE，根据三角形外角的性质可得∠APE=60°，∠DPE=120°，则∠DPE+∠DCE=180°，C、D、P、E四点共圆，由点P恰好落在以AC为直径的圆上，可得∠DPC=∠APC=90°，则点P也落在以CD为直径的圆上，连接DE，则∠CED=90°，∠CDE=∠CPE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得CDCE=2，即可得【详解】（1）解：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠BCA=60°，∵BD=CE，∴CD=AE，在△ABE与△CAD中，AB=AC∠BAE=∠ACD∴△ABE≌△CAD(SAS（2）过点E作EF∥AD交CD于F∴CEAE∵AE:EC=5:3，设AE=CD=5a，CE=BD=3a，∴CEAE∴ACAE∴DF=5∵PD∥∴BPPE∴BP:PE的值2425（3）连接CP，由（1）知：△ABE≌△CAD，∴∠CAD=∠ABE，∴∠APE=∠BAP+∠ABP=∠BAP+PAE=60°，∴∠DPE=120°，∴∠DPE+∠DCE=120°+60°=180°，∴C、D、P、E四点共圆，∵点P恰好落在以AC为直径的圆上，∴∠DPC=∠APC=90°，∴点P也落在以CD为直径的圆上，∵∠APE=60°，∴∠CPE=30°，连接DE，则∠CED=90°，∠CDE=∠CPE=30°，∴CDCE∵CD=AE，∴AEEC【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，圆的有关性质．5．（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，已知D为△ABC的边AC上的一点，E为CB的延长线上的一点，且EFFD=AC

【答案】证明见解析．【分析】如图，作辅助线；运用平行线分线段成比例定理式，结合已知条件得到EBBG【详解】证明：如图，

过点D作DG∥AB于点G，则EFFD∵EFFD∴EBBG∴AD=EB．【点睛】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理，正确列出比例式来判断解答．【考试题型14】平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线.1．（2023上·辽宁沈阳·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=15，BC=24．点P，Q分别为△ABC边上的动点，动点P以每秒10个单位长度的速度，沿B-A-C路线向终点C匀速运动，动点Q同时从点C出发，在边CB上以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动．当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动时间为t秒t>0．

(1)AP=______，BQ=______（用含t的代数式表示）；(2)当PQ∥AB时，求时间t的值；(3)当PQ=12时，请直接写出此时时间t的值．【答案】(1)15-10t或10t-15，24-4t(2)t=(3)65或【分析】（1）根据路程=速度×时间求解即可；（2）根据平行线分线段成比例列方程求解即可；（3）分两种情况求解即可．【详解】（1）∵AB=AC=15，动点P以每秒10个单位长度的速度运动，∴当点P在AB上时，AP=15-10t．当点P在AC上时，AP=10t-15，∵BC=24，动点Q以每秒4个单位长度的速度运动，∴当点Q在BC上时，BQ=24-4t．故答案为：15-10t或10t-15，24-4t；（2）∵PQ∥AB，∴APAC∵AP=10t-15，BQ=24-4t，AB=AC=15，BC=24，∴10t-1515=24-4t

（3）当点P在AB上时，15÷10=1.5秒．如图，作AE⊥BC于点E，作PF⊥BC于点F，∴PF∥AE，∴BPBA∵AB=AC=15，BC=24，∴BE=CE=1∴10t15∴BF=8t，∴AF=B∴FQ=24-8t-4t=24-12t在Rt△FPQ∵PF∴6t2解得t1=6

当点P运动到点C时，15+15÷10=3∵3×4=12，∴此时Q与E重合，即PQ=CE=12，即t=3时，PQ=12．综上可知，当t的值为65或3时，PQ=12【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，以及一元二次方程的应用，分类讨论是解（3）的关键．2．（2021下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．

(1)若CF=2，AE=3，求BE长；(2)证明：△EGC≌△DFC；(3)求证：∠CEG=1【答案】(1)7(2)见解析(3)见解析【分析】（1）求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根据勾股定理求出BE即可；（2）直接用AAS证△DCF≌△ECG即可；（3）证△DCF≌△ECG，推出CG=CF，求出M为AE中点，得出等腰三角形AGE，根据性质得出GM是∠AGE的角平分线，即可得出答案．【详解】（1）解：∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2，∴DC=CE=2CF=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=（2）证明：在△DCF和△ECG中，∠1=∠2∠C=∠C∴△DCF≌△ECG(AAS（3）证明：过G作GM⊥AE于M，

∵AE⊥BE，GM⊥AE，∴GM∥∵△DCF≌△ECG，∴CG=CF，CE=CD，∵CE=2CF，∴CD=2CG，即G为CD中点，∵AD∥∴EM∴M为AE中点，∴AM=EM，∵GM⊥AE，∴AG=EG，∴∠AGM=∠EGM，∴∠AGE=2∠MGE，∵GM∥∴∠EGM=∠CEG，∴∠CEG=1【点睛】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，关键是证△DCF≌△ECG解答．【提升练习】1．（2021下·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）已知非零实数a，b，c，d满足abA．ad=cb B．ac=bd C【答案】B【分析】依题意比例式直接求解即可．【详解】解：因为非零实数a，b，c，d满足ab所以肯定ac=bd，或故选：B．【点睛】本题考查比例线段问题,能够根据比例性质正确的进行解答是解题的关键．2．（2020上·浙江宁波·九年级校考期中）已知x+2yy=125，则A．5:2 B．5:4 C．4:5 D．2:5【答案】D【分析】根据两内项之积等于两外项之积得5x+10y=12y,进而得出5x=2y.【详解】解:∵x+2yy=∴5x=2y，∴x:y=2:5．故选D．【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键.3．（2020下·江苏苏州·八年级统考期末）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（）A．5+12 B．5-12 C．5+1 D【答案】D【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC＝5-12AC，将AC＝2代入即可得出【详解】∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，∴BC＝5-12∵AC＝2，∴BC＝5﹣1．故选：D．【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3-52倍，较长的线段=原线段的5-14．如图，已知AB // CD // EF，那么下列结论不正确的是（

）A．ADDF=BCCE B．BCCE=【答案】B【分析】已知AB//CD//EF,根据平行线分线段成比例定理,对各项进行分析即可.【详解】解：由AB//CD//EF,有BCCE=ADDF故选B.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理,找准对应关系,避免错选其他答案.5．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，设G是△ABC的重心，过G的直线分别交AB，AC于点P，Q两点，则PBPA+QC【答案】1【分析】过点B，C作BE//AD，CF//AD，交直线PQ于点E，F，得四边形BEFC是梯形，再利用重心的定义及性质，可得AG=2DG，点D是BC的中点，再利用梯形的中位线定理可得到BE+CF=2DG，利用平行线分线段成比例定理PBPA=BEAG，【详解】解：过点B，C作BE//AD，CF//AD，交直线PQ于点E，F，如图：∴四边形BEFC是梯形，∵G是重心，∴点D是BC的中点，点G是EF的中点，AG=2DG，∴DG是梯形BEFC的中位线，∴BE+CF=2DG，∵BE//AD，CF//AD，∴PBPA=BEPBPA故答案为：1．【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质、中位线的判定和性质和平行线分线段成比例定理；利用平行得成比例线段进行转化是解题关键．6．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．【答案】24【分析】如图，作CE∥AD交AB于E．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】如图，作CE∥AD交AB于E．∵EC∥AD，∴∠1=∠AEC，∠2=∠ACE，∵∠1=∠2，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC，∵EC∥AD，∴AE：AB=DC：BD，∴AC：AB=DC：BD，∵AB=2BC，设BC=x，则AB=2x，∴3：2x=4：（x+4），∴x=125∴AB=2x=245故答案为245【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题．7．（2011·云南曲靖·中考真题）已知△ABC中，DE//BC，EF//AB，AB＝3，BC＝6，AD:DB＝2：1，则四边形DBFE的周长为_______．【答案】10【分析】根据DE∥BC可以得到△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例求出DE的长度．再根据EF∥AB得到△ABC∽△EFC，并且求出CE：AC的值，利用相似三角形对应边成比例求出EF的长度，然后证明四边形DBFE是平行四边形，两邻边之和的2倍就是四边形的周长．【详解】解：∵AD：DB=2：1，∴ADAB∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC，∴DE=23×∵DE∥BC，∴AEEC∴CEAC又∵EF∥AB，∴CEAC∵AB=3，∴EF=AB×13=1∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE的周长=2(DE+EF)=2(4+1)=10．故答案为10．【点睛】本题主要考查平行线截线段成比例和平行四边形的判定．根据平行线判断出成比例的线段是解题关键．8．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=12DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x【答案】y=-【分析】作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．【详解】解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE与△EGF中∠B=∠FGE∠BDE=∠FEGDE=EF∴EG=DB，FG=BE=x，∴EG=DB=2BE=2x，∴GC=y-3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即x4∴y=-12x故答案为：y=-12x【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，熟练掌握辅助线的做法是解题的关键．9．（2022下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，延长BM交AC于点N，若AC=4，则AN=．【答案】43/113【分析】作DE//BN交AC于E，根据平行线分线段成比例定理得到NE＝EC和AN【详解】解：如图，作DE//BN交AC于E，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，又∵DE//BN，∴CENE∴NE＝EC，∵DE∥BN，AM＝MD，∴NEAN∴AN＝NE，∴AN＝NE＝EC，∴AN=1故答案为：43【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系得到相关的比例是解题的关键．10．（2021·四川内江·统考中考真题）已知非负实数a，b，c满足a-12=b-23=3-c4，设S=a+2b+3c的最大值为m，最小值为【答案】1116【分析】设a-12=b-23=3-c4=k，则a=2k+1，b=3k+2，c=3-4k，可得S=-4k+14；利用a，b，【详解】解：设a-12=b-23=3-c4∴S=a+2b+3c=2k